Sáng nay 12/09/2014 tôi trình bày seminar về “Giải tích điều hòa”. Trong phần trình bày tôi gặp tích phân phụ thuộc tham số

F(x)=\int\limits_0^x f(t)dt

với f\in L^1([0, 2\pi]).

Tích phân phụ thuộc tham số này cho ta một hàm liên tục tuyệt đối trên [0, 2\pi], nghĩa là

với bất kỳ \epsilon>0 đều tìm được \delta>0

để với bất kỳ bộ các khoảng (a_1, b_1), (a_2, b_2), \dots, (a_n, b_n) rời nhau thỏa mãn [a_k, b_k]\subset [0, 2\pi], \sum\limits_{k=1}^n(b_k-a_k)<\delta

thì

\sum\limits_{k=1}^n|F(b_k)-F(a_k)|<\epsilon.

Để chứng minh điều này ta chứng minh điều mạnh hơn sau:

Với mỗi \epsilon>0 đều có \delta>0

để với bất kỳ tập đo được Lebesgue A\subset[0, 2\pi]m(A)<\delta

thì \int\limits_{A}|f(x)|dx<\epsilon.

Dưới đây tôi trình bày hai cách chứng minh kết quả này. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Chín 11, 2014

Trao đổi bài giảng môn PT ĐHR lớp K57A1C

Hôm nay 11/09/2014 tôi bắt đầu dạy PTĐHR cho lớp K57A1C. Giáo trình tôi sẽ dùng

“Giáo trình PTĐHR” của thầy N. T. Hợp,

“An ỉntroduction to PDEs” của Y. Pinchover, J. Rubinstein.

Các bạn có thể tham khảo thêm bài

http://bomongiaitich.wordpress.com/2014/02/10/trao-doi-bai-giang-mon-ptdhr-lop-k56a1t/

Có gì cần trao đổi các bạn viết vào phần “Phản hồi” phía dưới.

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Chín 8, 2014

Trao đổi bài giảng Giải tích 1 lớp K59A3

Hôm nay 08/09/2014 tôi bắt đầu dạy Giải tích 1 cho lớp K59A3. Đề cương môn học các bạn xem

Đề cương môn học-Ngành Toan tin-Giai tich 1

Ngoài ra các bạn có thể tham khảo thêm bài trao đổi với lớp K58A3 ở

http://bomongiaitich.wordpress.com/2013/09/16/trao-doi-bai-giang-giai-tich-1-lop-k58-a3/

Các bạn có gì cần trao đổi có thể viết vào phần “Phản hồi” ở phía dưới bài viết.

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Tám 8, 2014

Mối quan hệ giữa không gian dãy và không gian các toán tử

Cho H là không gian Hibert phức, khả ly. Khi đó H có một cơ sở trực chuẩn đếm được \{e_n\}_{n\in\mathbb N}. Ký hiệu B(H) gồm các toán tử tuyến tính bị chặn trên H. Xét ánh xạ

\Phi: \ell_\infty(\mathbb N; \mathbb C)\to B(H), (a_n)_{n\in\mathbb N}\mapsto \Phi((a_n)_{n\in\mathbb N})=A với

A(x)=\sum\limits_{n\in\mathbb N}a_n\langle x, e_n\rangle e_n.

Không khó khăn để thấy:

+) \Phi là một phép đẳng cự vì

- do \{e_n\}_{n\in\mathbb N} là cơ sở trực chuẩn nên

||Ax||^2=\sum\limits_{n\in\mathbb N}|a_n|^2|\langle x, e_n\rangle|^2\le ||(a_n)_{n\in\mathbb N}||^2_{\ell_\infty}||x||\; \forall x\in H,

||Ae_n||=|a_n|\; \forall n\in\mathbb N;

+) \Phi là một đồng cấu đại số vì

- nó bảo toàn phép toán tuyến tính

(\alpha A+\beta B)(e_n)=\alpha A(e_n)+\beta B(e_n);

- nó bảo toàn phép nhân với chú ý

(a_n)_{n\in\mathbb N}(b_n)_{n\in\mathbb N}=(a_nb_n)_{n\in\mathbb N}.

Tuy nhiên \Phi không là toàn ánh vì A\in \Phi(\ell_\infty(\mathbb N; \mathbb C)) nhận cơ sở \{e_n\}_{n\in\mathbb N} là các hàm riêng. Điều này không làm giảm ý nghĩa của phép đồng cấu đại số, đẳng cự này. Dưới đây tôi sẽ trình bày ý nghĩa này. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Tám 2, 2014

Toán tử compact

Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính bị chặn A: X\to Y được gọi là toán tử compact nếu nó biến tập bị chặn thành tập compact tương đối, hay đơn giản hơn ảnh của hình cầu đơn vị A(B), B=\{x\in X|\; ||x||_X\le 1\}, là tập compact tương đối.

Một vài ví dụ đơn giản về toán tử compact.

VD1. X, Y là các không gian hữu hạn chiều thì mọi ánh xạ tuyến tính A: X\to Y đều là toán tử compact.

VD2. X= C^1([0, 1]) là không gian các hàm giá trị thực khả vi liên tục trên đoạn [0, 1], có đạo hàm trái tại 1 và đạo hàm phải tại 0, với chuẩn

||f||_{C^1}=\sup\limits_{x\in[0, 1]}(|f(x)|+|f'(x)|).

Y=C([0, 1]) là không gian các hàm giá trị thực liên tục trên đoạn [0, 1] với chuẩn

||f||_C=\sup\limits_{x\in[0, 1]}|f(x)|.

Khi đó phép nhúng C^1([0, 1])\hookrightarrow C([0, 1]) là toán tử compact.
(Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Bảy 24, 2014

Định lý Sard trong trường hợp 1-chiều

Trong bài “Phản ví dụ Định lý Sard” tôi đã trình bày ví dụ của E. L. Grinberg: một hàm f\in C^1(\mathbb R^2; \mathbb R) mà tập các giá trị tới hạn của nó chứa đoạn [0, 2]. Ví dụ này cho thấy nếu k<1+\max\{n-m, 0\} thì có thể có hàm f\in C^k(\mathbb R^n; \mathbb R^m) mà tập các giá trị tới hạn của nó có độ đo dương trong \mathbb R^m. Cụ thể ở ví dụ này

+) k=1<2=1+\max\{2-1, 0\};

+) tập [0, 2] có chiều dài 2 trên đường thẳng \mathbb R.

Trong trường hợp 1-chiều, nghĩa là f:\mathbb R\to\mathbb R tình hình có nhiều điểm rất khác. Dưới đây tôi sẽ trình bày điểm khác biệt này. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Bảy 23, 2014

Phản ví dụ Định lý Sard

Trong bài “Tập không đâu trù mật” tôi có phát biểu Định lý Sard ở dạng sau.

Cho f\in C^1(A, \mathbb R^n), A là tập mở trong \mathbb R^n. Khi đó, tập các giá trị tới hạn

\{f(x)|\; x\in A, det(Df(x))=0\}

có độ đo không.

Dạng tổng quát hơn của Định lý Sard:

Cho f\in C^k(A, \mathbb R^m), A là tập mở trong \mathbb R^n. Nếu k\ge 1+\max\{n-m, 0\} thì tập các giá trị tới hạn

\{f(x)|\; x\in A, rank(Df(x))<m\}

có độ đo không.

Giả thiết k\ge 1+\max\{n-m, 0\} là cần thiết. Dễ dàng thấy nó được thỏa mãn ở dạng phát biểu đầu. Dưới đây, tôi trình bày ví dụ đơn giản của E. L. Grinberg để ta thấy được phần nào sự cần thiết của giả thiết này. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Bảy 4, 2014

Tập không đâu trù mật

Trong một không gian tô-pô X, một tập con A được gọi là không đâu trù mật (nowhere dense) nếu phần trong của bao đóng của nó là tập rỗng, hay

int(\bar{A})=\emptyset.

Có thể lấy rất nhiều ví dụ về tập không đâu trù mật.

Khi X=\mathbb R với tô-pô thông thường, những tập có hữu hạn điểm là tập không đâu trù mật. Tập các số tự nhiên \mathbb N, tập các số nguyên \mathbb Z đều là không đâu trù mật. Tuy nhiên tập các số hữu tỷ \mathbb Q không phải là tập không đâu trù mật.

Điểm khác nhau giữa \mathbb Z\mathbb Q là tính đóng. Nói cách khác ta có

tập con đóng có lực lượng đếm được là không đâu trù mật.

Mạnh hơn một chút ta có (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Sáu 17, 2014

Đề thi – Đáp án môn PTĐHR lớp K56A1T

DeThiCuoiKy_so1_2014

Chúng tôi vừa chấm xong bài thi môn PTĐHR cho lớp K56A1T. Điểm cao nhất 9,0.

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Sáu 16, 2014

Đề thi môn PTĐHR lớp K56 TT+TN

finalexam1_2014

Chúng tôi đã chấm xong bài thi môn PDEs cho lớp K56TT+TN.

Thang điểm:

Câu 1: 2,5+1,5.

Câu 2: 1,5+2,0+0,5.

Câu 3: 1,0+1,0+1,0.

Câu 4: 1,0+1,0+1,0.

Older Posts »

Danh mục

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.