Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Mười Một 7, 2009

Đề thi giữa kỳ Giải tích V lớp K53A1C nhóm 1

kiemtragiuakyK53A1C

Tôi đã chấm xong bài thi giữa kỳ cho nhóm 1 lớp K53A1C. Điểm cao nhất 7 điểm.

 

Để lại phản hồi

Posted in Uncategorized

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Mười 25, 2009

Tích phân elliptic

Chu vi của đường cong ellip:

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1

với b>a>0

được tính như sau.

Tham số đường cong ellip: x=a\cos{\varphi}, y=b\sin{\varphi} với 0\le \varphi< 2\pi

có vi phân đường ds=\sqrt{b^2-(b^2-a^2)\sin^2{\varphi}}d\varphi

nên chu vi của đường cong ellip:

\int_0^{2\pi}\sqrt{b^2-(b^2-a^2)\sin^2{\varphi}}d\varphi=4bE(k)

với k=\sqrt{\frac{b^2-a^2}{b^2}} và

E(k)=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2{\varphi}}d\varphi=\int_0^1\sqrt{\frac{1-k^2t^2}{1-t^2}}dt.

E(k) được gọi là tích phân elliptic đầy đủ loại II.

Khi nghiên cứu về tích phân không xác định, còn được gọi là các tích phân elliptic,

\int R(t, s)dt

với R(t, s) là hàm hữu tỷ theo t, s còn s^2 là đa thức bậc hai hay ba của t,

Legendre đã chỉ ra rằng có thể chuyển tích phân elliptic về một trong ba dạng:

+ tích phân elliptic loại I:

F(\varphi, k)=\int\limits_{0}^{\varphi}\dfrac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2{\varphi}}};

+ tích phân elliptic loại II:

E(\varphi, k)=\int\limits_{0}^{\varphi}\sqrt{1-k^2\sin^2{\varphi}}d\varphi;

+ tích phân elliptic loại III:

\Pi(n,\varphi, k)=\int\limits_{0}^{\varphi}\dfrac{d\varphi}{(1-n\sin^2{\varphi})\sqrt{1-k^2\sin^2{\varphi}}}.

Khi \varphi=\dfrac{\pi}{2} ta gọi các tính phân elliptic trên là đầy đủ.

Việc tính thể tích khối lượng của dòng không nén chảy qua mặt cầu trong một khoảng thời gian dẫn đến việc tính tích phân elliptic theo cách như sau:

ta sẽ phải tích tính phân dạng

\iint\limits_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1}\sqrt{1-\frac{x^2}{c^2}-\frac{y^2}{d^2}}dxdy.

Bằng cách chuyển về hệ tọa độ cực x=ar\cos{\varphi}, y=br\sin{\varphi} tích phân cần tính có dạng

4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int\limits_{0}^1abr\sqrt{1-r^2(h^2\sin^2{\varphi}+l^2\cos^2{\varphi})}dr.

Sau một hồi biến đổi ta cần phải tính tích phân dạng

\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(1-k^2\sin^2{\varphi})^3}d\varphi.

Một vài ví dụ khác cũng liên quan đến tích phân elliptic, chẳng hạn tính chu vi của đường cong Lemniscate

r^2=a^2\cos{(2\varphi)} trong hệ tọa độ cực.

Một ví dụ khác về việc tính chu kỳ của con lắc:

x=L\cos{\theta}, y=L\sin{\theta}

trong đó, L chiều dài con lắc, \theta là góc hợp bởi con lắc và trục thẳng đứng.

Khi đó thời gian để con lắc đi hết một chu kỳ:

\sqrt{\dfrac{2L}{g}}\int\limits_{-\theta_0}^{\theta_0}\dfrac{d\theta}{\sqrt{\cos{\theta}-\cos{\theta_0}}}

với \theta_0 là góc tại thời điểm ta bắt đầu thả con lắc cho nó dao động tự do.

Đổi biến u=\dfrac{\sin{\frac{\theta}{2}}}{\sin{\frac{\theta_0}{2}}}

ta thu được tích phân:

2\sqrt{\dfrac{L}{g}}\int\limits_{-1}^1\dfrac{du}{\sqrt{1-u^2}\sqrt{1-u^2\sin^2{(\frac{\theta_0}{2})}}}.

Ai muốn quan tâm chi tiết về ví dụ con lắc có thể tìm trong cuốn

“Intrduction to Calculus and Analysis, Vol. I” của R. Courant và F. John.

1 phản hồi

Posted in Uncategorized

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Mười 23, 2009

Trường véc-tơ của dòng không nén

Nhóm 7, lớp K53A1S, cũng được giao bài tập về dòng không nén (bài 9(f), trang 1048). Bài tập yêu cầu tính tổng thể tích của một dòng không nén chảy qua mặt cầu x^2+y^2+z^2=a^2 trong khoảng thời gian t_0 và t_1. Trong đó, trường véc-tơ vận tốc được cho bởi

c(3xti+2ytj-5ztk)

datuan202

Ta có thể mô tả dòng này như sau. Dòng này, nếu từ phần dương theo 0z sẽ chảy xuống và áp sát dần vào mặt phẳng 0xy, còn nếu từ phần âm theo 0z sẽ chảy lên và cũng áp sát vào mặt phẳng 0xy. Các dòng này có phương trình

x=C_1 e^{\frac{3t^2}{2}}, y=C_2e^{t^2}, z=C_3e^{-\frac{5t^2}{2}}.

 

datuan200

Nếu ta tưởng tượng mặt cầu của ta như Mặt Đất với cực Bắc có tọa độ (0, 0, a) còn cực Nam (0, 0, -a) thì dòng đi vào Trái Đất từ vùng gần hai cực và đi ra từ vùng gần xích đạo.  Do dòng này không nén nên dòng đi vào Trái Đất bao nhiêu thì ra ngoài Trái Đất bấy nhiêu!

Tuy nhiên, bài toán đặt ra là tính tổng thể tích mà dòng chảy qua mặt cầu trong khoảng thời gian t_0 và t_1. Qua quá trình chảy theo dòng, những hạt trên Mặt Đất chuyển động và nếu tại thời điểm t_0 là Mặt Đất thì đến thời điểm t_1 Mặt Đất biến dạng thành ellipsoid

datuan201

 

Như vậy tổng thể tích dòng đi qua mặt cầu trong khoảng thời gian t_0 và t_1 gồm hai phần:

+ phần chảy vào trong hình cầu: phần này chính là phần hình cầu bỏ đi hình ellipsoid,

+phần chảy ra ngoài hình cầu: phần này chính là phần hình ellipsoid bỏ đi hình cầu.

Để tính được ta cần xác định nếu tại thời điểm t_0 các hạt nằm trên mặt cầu:

x^2(t_0)+y^2(t_0)+z^2(t_0)=C_1^2 e^{3t_0^2}+C_2^2e^{2t_0^2}+C_3^2e^{-5t_0^2}=1

thì theo dòng cuốn đi, đến thời điểm t_1 các hạt có tọa độ

(x(t_1), y(t_1), z(t_1))=(C_1e^{\frac{3t_1^2}{2}}, c_2e^{t_1^2}, C_3e^{-\frac{5t_1^2}{2}}) 

sẽ nằm trên mặt ellipsoid

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1

với a=e^{\frac{3(t_1^2-t_0^2)}{2}}, b=e^{\frac{2(t_1^2-t_0^2)}{2}}, c=e^{-\frac{5(t_1^2-t_0^2)}{2}}.

1 phản hồi

Posted in Uncategorized

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Mười 21, 2009

Thế vị trọng trường

Trong phần bài tập giao cho nhóm 7, lớp K53A1S, có bài 9(e) trang 1048 trong sách của W. Kaplan, D. J. Lewis như sau:

Tính thế vị trọng trường tại điểm P gây nên từ khối cầu B bán kính a, có mật độ khối tỷ lệ với bình phương khoảng cách đến tâm O của khối cầu B. Biết rằng điểm P cách tâm O của khối cầu một khoảng là b (b>a).

Việc đầu tiên, ta lập tích phân tính thế vị trọng trường. Tại mỗi điểm Q trong hình cầu B sinh ra thế vị tại điểm P:

\dfrac{-k\rho(Q)}{d(Q, P)}dV

trong đó, \rho(Q)=Cd^2(O, Q) là mật độ khối tại điểm Q, k là hằng số trọng trường.

Khi đó thế vị tại P gây nên bởi hình cầu B:

\iiint_{B}-\dfrac{kCd^2(O, Q)}{d(Q, P)}dV.

Ta đặt một hệ tọa độ vào hệ mà tâm O chính là gốc của hệ tọa độ, còn P có tọa độ (x_0, y_0, z_0) với

x_0^2+y_0^2+z_0^2=b^2>a^2 

khi đó thế vị tại P do khối cầu B gây nên

V(P)=-\iiint\limits_{x^2+y^2+z^2\le a^2}\dfrac{Ck(x^2+y^2+z^2)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}}dxdydz.

Nếu đặt f(x, y, z)=\dfrac{1}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}} và chuyển sang hệ tọa độ cầu

V(P)=-\int_0^a dr \iint_{S_r}Ck r^2 f(x, y, z)dS_r.

Do f(x, y, z) là hàm điều hòa nên theo cách

http://bomongiaitich.wordpress.com/2008/10/20/cong-th%e1%bb%a9c-gia-tr%e1%bb%8b-trung-binh-ham-di%e1%bb%81u-hoa/

có \iint_{S_r} f(x, y, z)dS_r= f(0, 0, 0) \iint_{S_r}dS_r

và f(0, 0, 0)=\dfrac{1}{b} nên

V(P)=-\dfrac{k}{b}\int_0^a dr \iint_{S_r} Cr^2 dS_r= -\dfrac{k}{b}\iiint_{B}\rho(x, y, z)dxdydz=-\dfrac{kM_0}{b}

với M_0 là khối lượng của hình cầu B.

Để lại phản hồi

Posted in Uncategorized

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Mười 15, 2009

Bài tập tích phân bội lớp K53A1S

Tôi đã xem qua phần bài tập lớp K53A1S làm. Nhìn chung, mọi người đã rất cố gắng làm đầy đủ. Có vài nhóm làm nhầm hoặc thừa. Cụ thể, nhóm 7 đáng ra phải làm câu 7(c) trang 997  thì lại làm câu 7(b); cũng vậy với nhóm 4 làm nhầm câu 1(b) cho câu 1(c) trang 1029. Nhóm 1, 3, 5 làm khá tốt trong khi nhóm 2, 4 thiếu sót nhiều!!!

13 phản hồi

Posted in Uncategorized

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Chín 22, 2009

Ví dụ về việc đổi thứ tự lấy tích phân

Như đã biết trong nhiều trường hợp việc thay đổi thứ tự lấy tích phân không làm thay đổi kết quả.

Tuy nhiên, có những trường hợp điều trên không còn đúng.

Ai quan tâm có thể tìm hiểu qua trang web:

http://www.statemaster.com/encyclopedia/A-counterexample-related-to-Fubini%27s-theorem

hoặc xem các bài báo

nofub (nằm trong trang web http://www.math.jhu.edu/~jmb/)

fubini (nằm trong trang web http://www.math.ubc.ca/~feldman/m226/)

còn nếu biết tiếng Nga:

getFT (đây là bài báo của  A. V. Uglanov, “Four counterexamples to the Fubini theorem”, Mat. Zametki, 62:1 (1997), 124-127).

Để lại phản hồi

Posted in Uncategorized

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Chín 16, 2009

Định lý Fubini – Phép đổi biến

Để tính được tích phân bội, hai công cụ quan trọng là Định lý Fubini và Phép đổi biến.

Thứ nhất, Định lý Fubini cho phép ta chuyển từ tích phân bội về tích phân lặp, nhờ đó công việc còn lại là tính các tích phân xác định (phụ thuộc tham số). Công việc chuyển từ tích phân bội về tích phân lặp không liên quan đến hàm dưới dấu tích phân mà chủ yếu liên quan đến miền lấy tích phân và các cận của các tích phân xác định. Việc chuyển này chính là việc xác định các cận của các tích phân xác định từ miền lấy tích phân. Để xem công việc này diễn ra như nào tôi sẽ minh họa qua ví dụ sau.

datuan101Miến lấy tích phân là hình vành khăn (màu vàng) D=\{(x, y)|\; \dfrac{1}{4}\le (x-1)^2+(y-1)^2\le 1\}.

Để xác định cận, đầu tiên ta phải xem để tích phân nào ở ngoài (tính sau), tích phân nào bên trong (tính trước). Chẳng hạn

\int_{?}^{?}dx \int_{?}^{?}dy

nghĩa là ta tính tích phân theo y trước rồi sau đó tính tích phân theo x.

Ta đặt một nguồn phát sóng trên trục hoành 0x, cho nó di chuyển trên trục hoành và sóng được phát ra song song với trục tung 0y.

Ta nhận được sóng phản hồi khi sóng chạm vào miền D. Như vậy, chỉ khi nguồn nằm trong khoảng (0, 2) mới có sóng phản hồi. Để ý rằng (0, 2) chính là hình chiếu của miền D trên trục hoành.

Ngoài ra, dễ nhận thấy trong khoảng (0, 2), trên mỗi khoảng (0, 1/2), (1/2, 3/2), (3/2, 2) tín hiệu nhận được là khác nhau. Cụ thể

+) trên (0, 1/2) ta nhận được khoảng (1-\sqrt{1-(y-1)^2}, 1+\sqrt{1-(y-1)^2}),

+)trên (1/2, 3/2) ta nhận được hai khoảng (1-\sqrt{1-(y-1)^2}, 1-\sqrt{\frac{1}{4}-(y-1)^2}) và (1+\sqrt{\frac{1}{4}-(y-1)^2}, 1+\sqrt{1-(y-1)^2}),

+)trên (3/2, 2) ta nhận được khoảng (1-\sqrt{1-(y-1)^2}, 1+\sqrt{1-(y-1)^2}).

Như vậy, tích phân bội sẽ chuyển thành tích phân lặp sẽ như  sau:

\iint_D f(x, y)dxdy=\int_{0}^{1/2}dx\int_{1-\sqrt{1-(y-1)^2}}^{1-\sqrt{1+(y-1)^2}}f(x, y)dy

+\int_{1/2}^{3/2}dx\big(\int_{1-\sqrt{1-(y-1)^2}}^{1-\sqrt{\frac{1}{4}-(y-1)^2}}f(x, y)dy+\int_{1+\sqrt{\frac{1}{4}-(y-1)^2}}^{1+\sqrt{1-(y-1)^2}}f(x, y)dy\big)

+\int_{3/2}^{2}dx\int_{1-\sqrt{1-(y-1)^2}}^{1+\sqrt{1-(y-1)^2}}f(x, y)dy.

Nếu chỉ dừng lại ở việc chuyển về tích phân lặp, ta vẫn có thể gặp một số tích phân bội khó tính. Việc đổi biến có thể giúp ta chuyển về tích phân dễ tính hơn. Nếu nhìn kỹ, việc đổi biến cũng khá giống quá trình chuyển sang tích phân lặp. Để minh họa tôi sẽ đưa ra ví dụ về việc đổi sang hệ tọa độ cực:

x=r\cos{\varphi}, y=r\sin{\varphi}.

Miền lấy tích phân là hình vành khăn D=\{(x, y)|\; 4\le x^2+y^2\le 16\}.

datuan102

Cách đầu tiên, từ gốc (0, 0) ta phát ra sóng tròn.

Ta nhận được tín hiệu phản hồi khi bán kính sóng r nằm trong khoảng (2, 4). Trong khoảng này, ta nhận được tín hiệu là các đường tròn S_r bán kính r. Khi đó tích phân trên miền D chuyển thành

\iint_D f(x, y)dxdy=\int_2^4 dr \int_{S_r} f(r\cos{\varphi}, r\sin{\varphi})ds.

Tích phân bên trong là tích phân đường loại I trên đường tròn S_r=\{(r\cos{\varphi}, r\sin{\varphi})|\; 0\le \varphi\le 2\pi\} nên

ds=\sqrt{x^2_{\varphi}+y^2_{\varphi}}d\varphi=r d\varphi, 0\le\varphi\le 2\pi

nên

\iint_D f(x, y)dxdy=\int_2^4 dr \int_{0}^{2\pi} f(r\cos{\varphi}, r\sin{\varphi})rd\varphi.

datuan103

Cách hai, từ  gốc ta  phát ra các tia sóng. Mỗi tia sóng ta nhận được tín hiệu là các khoảng

L_{\varphi}=\{(r\cos{\varphi}, r\sin{\varphi})|\; 2\le r\le 4\}.

Khi đó, tích phân bội trên miền D chuyển thành

\iint_D f(x, y)dxdy=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_2^4 f(r\cos{\varphi}, r\sin{\varphi})rdr.

Để lại phản hồi

Posted in Uncategorized

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng tám 18, 2009

Đề thi cuối kỳ lần thứ 2 môn PT VPĐHR K52A2+K52A3

Thời gian làm bài 90 phút. Đề thi do thầy Nguyền Văn Ngọc, Viện Toán học, ra.

Bài 1. Cho phương trình

\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+2\dfrac{\partial^2u}{\partial x\partial y}-3\dfrac{\partial ^2u}{\partial y^2}=0.
a) Đưa phương trình đã cho về dạng chính tắc và cho biết nó thuộc loại nào?

b) Tìm nghiệm của phương trình đã cho thỏa mãn các điều kiện

u|_{y=0}= 3x^2, \quad \dfrac{\partial u}{\partial y}\Big|_{y=0}=0.

Bài 2. Cho một dây chiều dài l(m), ở vị trí cân bằng nằm trên trục 0x, hai đầu được giữ chặt tại x=0 và x=l. Tại thời điểm ban đầu dây có vận tốc bằng không và có dạng \varphi(x)= A\sin \dfrac{\pi x}{l}+B\sin \dfrac{2\pi x}{l}. Vận tốc truyền sóng dọc dây là a(m/s).

1) Viết phương trình dao động tự do của dây đối với chuyển vị u(x, t).

2) Viết các điều kiện biên và điều kiện ban đầu.

3) Tìm chuyển vị u(x, t) của dây ở tọa độ x và thời điểm t.

Bài 3. Cho phương trình Laplace

\Delta u(x, y)=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, y)+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}(x, y),

(x, y)\in\Omega=\{(x, y): R^2<x^2+y^2<\infty\}.

1) Hãy viết phương trình Laplace trong hệ tọa độ cực (r, \varphi) của v(r, \varphi)=u(r\cos{\varphi}, r\sin{\varphi}) (không yêu cầu lập biểu thức của Laplacian).

2) Phát biểu bài toán biên Dirichlet đối với phương trình Laplace nói trên trong miền \Omega với điều kiện biên f(\varphi).

3) Tìm v(r, \varphi) bị chặn trong \Omega với f(\varphi)= \sin ^3\varphi, \quad |\varphi|\leqslant \pi.

 

Thang điểm:

Bài 1. a) 2đ, b) 2đ.

Bài 2. 1) PT: 0,5đ; 2) ĐK biên: 0,5đ; ĐK ban đầu: 0,5đ; 3) 1,5đ

Bài 3. 1) 0,5đ, 2) 0,5đ, 3)2đ.

2 phản hồi

Posted in Đề thi

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng tám 17, 2009

Sự phân kỳ của dãy sin, cos

Như đã biết dãy \{\sin n\}_{n=1}^\infty hay \{\sin(n!)\}_{n=1}^\infty phân kỳ.

Tuy nhiên cả hai dãy \{\sin(n2\pi)\}_{n=1}^\infty và \{\sin(n!2\pi)\}_{n=1}^\infty đều hội tụ.

Câu hỏi đặt ra với một dãy \{\lambda_n\}_{n=1}^\infty tăng ra vô cùng liệu có tồn tại x để dãy \{\sin(\lambda_n x)\}_{n=1}^\infty phân kỳ?

Câu trả lời là khẳng định! Nó dựa trên sự kiện sau:

hai dãy \{\Big\{\dfrac{\lambda_n}{2\pi}\Big\}\}_{n=1}^\infty và \{\{\lambda_n\}\}_{n=1}^\infty không cùng hội tụ, trong đó \{\lambda\} được hiểu là phần lẻ của \lambda.

Từ kết quả trên dẫn đến kết quả sau.

Cho dãy số thực \{\alpha_n\}_{n=1}^\infty. Nếu dãy \{e^{i\alpha_n x}\}_{n=1}^\infty hội tụ điểm trên \mathbb R thì dãy \{\alpha_n\}_{n=1}^\infty hội tụ!

Để lại phản hồi

Posted in Uncategorized

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng tám 17, 2009

Từ Định lý Bolzano-Cauchy đến Định lý Borsuk-Ulam

Định lý Bolzano-Cauchy đơn giản khẳng định một điều sau:

Trong Hà Nội, để đi thăm hồ Gươm từ trường Đại học Khoa học Tự nhiên, theo đường bộ, kiểu gì ta cũng phải đi qua đường sắt!

Dùng Định lý Bolzano-Cauchy ta có thể chứng minh được nhiều điều, trong đó có một sự kiện.

datuan88

 

Cho mặt trụ như trên hình vẽ (đường tròn dưới nằm trên mặt phẳng, đường cong trên nằm trong mặt cong). Cho một đường thẳng dựa trên đường cong trên của trụ, quay tựa xung quanh trục của trụ. Khi đó, sẽ có lúc đường thẳng nằm song song với đường tròn dưới.

Khẳng định trên cũng còn có thể diễn đạt như sau:

Ta nung một vòng tròn thép. Ở một thời điểm, ta luôn tìm được một cặp điểm đối xứng qua tâm mà ở đó chúng đạt cùng một nhiệt độ.

Mở rộng lên trường hợp hai chiều:

Hãy tưởng tượng Trái Đất của chúng ta có dạng hình cầu. Tại một thời điểm, ta luôn tìm được hai vị trí trên mặt đất, đối xứng qua tâm, mà ở đó chúng có cùng nhiệt độ và áp suất.

Tiếp tục mở rộng ta có Định lý Borsuk-Ulam:

Cho hàm f: \mathbb S^n\to \mathbb R^n liên tục, trong đó \mathbb S^n=\{x\in \mathbb R^{n+1}|\; ||x||=1\} là mặt cầu trong không gian \mathbb R^{n+1}. Khi đó sẽ có điểm x\in \mathbb S^n sao cho f(-x)=f(x).

1 phản hồi

Posted in Uncategorized

Bài viết cũ hơn »

Chuyên mục