Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Tám 8, 2014

Mối quan hệ giữa không gian dãy và không gian các toán tử

Cho H là không gian Hibert phức, khả ly. Khi đó H có một cơ sở trực chuẩn đếm được \{e_n\}_{n\in\mathbb N}. Ký hiệu B(H) gồm các toán tử tuyến tính bị chặn trên H. Xét ánh xạ

\Phi: \ell_\infty(\mathbb N; \mathbb C)\to B(H), (a_n)_{n\in\mathbb N}\mapsto \Phi((a_n)_{n\in\mathbb N})=A với

A(x)=\sum\limits_{n\in\mathbb N}a_n\langle x, e_n\rangle e_n.

Không khó khăn để thấy:

+) \Phi là một phép đẳng cự vì

- do \{e_n\}_{n\in\mathbb N} là cơ sở trực chuẩn nên

||Ax||^2=\sum\limits_{n\in\mathbb N}|a_n|^2|\langle x, e_n\rangle|^2\le ||(a_n)_{n\in\mathbb N}||^2_{\ell_\infty}||x||\; \forall x\in H,

||Ae_n||=|a_n|\; \forall n\in\mathbb N;

+) \Phi là một đồng cấu đại số vì

- nó bảo toàn phép toán tuyến tính

(\alpha A+\beta B)(e_n)=\alpha A(e_n)+\beta B(e_n);

- nó bảo toàn phép nhân với chú ý

(a_n)_{n\in\mathbb N}(b_n)_{n\in\mathbb N}=(a_nb_n)_{n\in\mathbb N}.

Tuy nhiên \Phi không là toàn ánh vì A\in \Phi(\ell_\infty(\mathbb N; \mathbb C)) nhận cơ sở \{e_n\}_{n\in\mathbb N} là các hàm riêng. Điều này không làm giảm ý nghĩa của phép đồng cấu đại số, đẳng cự này. Dưới đây tôi sẽ trình bày ý nghĩa này. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Tám 2, 2014

Toán tử compact

Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính bị chặn A: X\to Y được gọi là toán tử compact nếu nó biến tập bị chặn thành tập compact tương đối, hay đơn giản hơn ảnh của hình cầu đơn vị A(B), B=\{x\in X|\; ||x||_X\le 1\}, là tập compact tương đối.

Một vài ví dụ đơn giản về toán tử compact.

VD1. X, Y là các không gian hữu hạn chiều thì mọi ánh xạ tuyến tính A: X\to Y đều là toán tử compact.

VD2. X= C^1([0, 1]) là không gian các hàm giá trị thực khả vi liên tục trên đoạn [0, 1], có đạo hàm trái tại 1 và đạo hàm phải tại 0, với chuẩn

||f||_{C^1}=\sup\limits_{x\in[0, 1]}(|f(x)|+|f'(x)|).

Y=C([0, 1]) là không gian các hàm giá trị thực liên tục trên đoạn [0, 1] với chuẩn

||f||_C=\sup\limits_{x\in[0, 1]}|f(x)|.

Khi đó phép nhúng C^1([0, 1])\hookrightarrow C([0, 1]) là toán tử compact.
(Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Bảy 24, 2014

Định lý Sard trong trường hợp 1-chiều

Trong bài “Phản ví dụ Định lý Sard” tôi đã trình bày ví dụ của E. L. Grinberg: một hàm f\in C^1(\mathbb R^2; \mathbb R) mà tập các giá trị tới hạn của nó chứa đoạn [0, 2]. Ví dụ này cho thấy nếu k<1+\max\{n-m, 0\} thì có thể có hàm f\in C^k(\mathbb R^n; \mathbb R^m) mà tập các giá trị tới hạn của nó có độ đo dương trong \mathbb R^m. Cụ thể ở ví dụ này

+) k=1<2=1+\max\{2-1, 0\};

+) tập [0, 2] có chiều dài 2 trên đường thẳng \mathbb R.

Trong trường hợp 1-chiều, nghĩa là f:\mathbb R\to\mathbb R tình hình có nhiều điểm rất khác. Dưới đây tôi sẽ trình bày điểm khác biệt này. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Bảy 23, 2014

Phản ví dụ Định lý Sard

Trong bài “Tập không đâu trù mật” tôi có phát biểu Định lý Sard ở dạng sau.

Cho f\in C^1(A, \mathbb R^n), A là tập mở trong \mathbb R^n. Khi đó, tập các giá trị tới hạn

\{f(x)|\; x\in A, det(Df(x))=0\}

có độ đo không.

Dạng tổng quát hơn của Định lý Sard:

Cho f\in C^k(A, \mathbb R^m), A là tập mở trong \mathbb R^n. Nếu k\ge 1+\max\{n-m, 0\} thì tập các giá trị tới hạn

\{f(x)|\; x\in A, rank(Df(x))<m\}

có độ đo không.

Giả thiết k\ge 1+\max\{n-m, 0\} là cần thiết. Dễ dàng thấy nó được thỏa mãn ở dạng phát biểu đầu. Dưới đây, tôi trình bày ví dụ đơn giản của E. L. Grinberg để ta thấy được phần nào sự cần thiết của giả thiết này. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Bảy 4, 2014

Tập không đâu trù mật

Trong một không gian tô-pô X, một tập con A được gọi là không đâu trù mật (nowhere dense) nếu phần trong của bao đóng của nó là tập rỗng, hay

int(\bar{A})=\emptyset.

Có thể lấy rất nhiều ví dụ về tập không đâu trù mật.

Khi X=\mathbb R với tô-pô thông thường, những tập có hữu hạn điểm là tập không đâu trù mật. Tập các số tự nhiên \mathbb N, tập các số nguyên \mathbb Z đều là không đâu trù mật. Tuy nhiên tập các số hữu tỷ \mathbb Q không phải là tập không đâu trù mật.

Điểm khác nhau giữa \mathbb Z\mathbb Q là tính đóng. Nói cách khác ta có

tập con đóng có lực lượng đếm được là không đâu trù mật.

Mạnh hơn một chút ta có (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Sáu 17, 2014

Đề thi – Đáp án môn PTĐHR lớp K56A1T

DeThiCuoiKy_so1_2014

Chúng tôi vừa chấm xong bài thi môn PTĐHR cho lớp K56A1T. Điểm cao nhất 9,0.

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Sáu 16, 2014

Đề thi môn PTĐHR lớp K56 TT+TN

finalexam1_2014

Chúng tôi đã chấm xong bài thi môn PDEs cho lớp K56TT+TN.

Thang điểm:

Câu 1: 2,5+1,5.

Câu 2: 1,5+2,0+0,5.

Câu 3: 1,0+1,0+1,0.

Câu 4: 1,0+1,0+1,0.

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Sáu 8, 2014

Bài toán đẳng chu trên mặt tròn xoay

Tiếp tục trả lời câu hỏi của thầy Dư Đức Thắng: bài toán đẳng chu trên mặt cong có kết quả như nào?

Trong bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2014/06/04/hai-cau-hoi-thu-vi-cua-ngay-bao-ve-kltn-k55/

tôi xét trường hợp rời rạc đặc biệt là góc tam diện. Tiếp theo tôi xét góc n-diện Ox_1x_2\dots x_n có các góc

\angle Ox_jx_{j+1}, j=1, 2, \dots, n(x_{n+1}=x_1) bằng nhau. Đặt \alpha=\angle Ox_jx_{j+1}.

Bài toán đẳng chu: xác định vị trí các điểm A_j\in Ox_j, j=1, 2, \dots, n sao cho

+ tổng độ dài các cạnh \sum\limits_{j=1}^n |A_jA_{j+1}|=L cố định,

+ tổng diện tích các tam giác \sum\limits_{j=1}^n |\Delta OA_jA_{j+1}| lớn nhất,

trong đó A_1=A_{n+1}.

Nếu đặt |OA_j|=a_j thì

+) \sum\limits_{j=1}^n|A_jA_{j+1}|=\sum\limits_{j=1}^n \sqrt{a_j^2+a_{j+1}^2-2a_ja_{j+1}\cos\alpha},

+) \sum\limits_{j=1}^n |\Delta OA_jA_{j+1}|=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^n a_ja_{j+1}\sin\alpha.

Đến đây ta có thể nghĩ đến việc sử dụng Giải tích để tiếp cận. Dưới đây tôi thử tiếp cận bằng hình học.

(Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Sáu 4, 2014

Hai câu hỏi thú vị của ngày bảo vệ KLTN-K55

Câu hỏi 1 (của thầy Lê Huy Chuẩn cho khóa luận của Trần Thị Nhâm): Liệu ánh xạ tuyến tính A:\ell_p \to \ell_q có bị chặn không?

Câu hỏi 2 (của thầy Dư Đức Thắng cho khóa luận của Bùi Mai Linh): Nếu bài toán đặt trên mặt cong thì câu trả lời như nào?

Tôi thử trả lời một phần hai câu hỏi đó như sau. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Sáu 4, 2014

Mặt tròn xoay

Mặt tròn xoay (surface of revolution) được tạo bởi đồ thị của hàm khả vi liên tục y=f(x): [a, b]\to[0, +\infty) quay quanh trục 0x. Chẳng hạn f:[1, 2]\to[0, \infty), f(x)=x^3 cho ta mặt

219847.image5

Diện tích mặt tròn xoay được cho bởi

2\pi\int\limits_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx.

Khi f(x)=h>0 mặt tròn xoay là mặt trụ và diện tích của nó

2\pi h(b-a)

tỷ lệ thuận với độ dày (b-a).

Mặt trụ không phải là mặt duy nhất có tính chất này. Thật vậy, bài 5 trong đề thi cuối kỳ GT2 lớp K58A2+A3 nói rằng mặt cầu cũng có tính chất như vậy. (Đọc tiếp…)

Older Posts »

Danh mục

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.