Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Mười 27, 2014

Tập điểm phân kỳ – Chuỗi Fourier

Như trong bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/12/11/chuoi-fourier-cua-ham-lien-tuc/

với bất kỳ điểm x_0\in\mathbb T ta đều tìm được một hàm liên tục trên \mathbb T mà chuỗi Fourier của nó phân kỳ tại điểm đó. Câu hỏi bài viết này quan tâm:

Tập các điểm mà có một hàm liên tục có chuỗi Fourier của nó phân kỳ trên tập đó là tập như nào?

Tập điểm như vậy ta gọi là tập phân kỳ. (Đọc tiếp…)

Bằng phương pháp đặc trưng (characteristic method) ta đã biết nghiệm tổng quát của phương trình truyền sóng

u_{tt}(x, t)=a^2u_{xx}(x, t), x\in\mathbb R, t>0, \quad(a>0),

có dạng

u(x, t)=\dfrac{1}{2}(F(x-at)+G(x+at))

trong đó

F(x-at) được gọi là sóng tiến (forward wave) vì khi t tăng đồ thị của F(x-at) sẽ tiến về phía phải,

G(x+at) được gọi là sóng lùi (backward wave) vì khi t tăng đồ thị của G(x+at) sẽ lùi về phía trái.

Nếu ta biết thêm điều kiện ban đầu

u(x, 0)=f(x), u_t(x, 0)=g(x)

ta có công thức D’Alembert cho sóng tiến, sóng lùi

F(x-at)=f(x-at)-g^*(x-at), G(x+at)=f(x+at)+g^*(x+at)

với g^*(x)=\dfrac{1}{a}\int\limits_0^x g(y)dy.

Nếu các điều kiện ban đầu f, g đủ tốt, cụ thể

f\in C^2(\mathbb R), g\in C^1(\mathbb R)

thì nghiệm u(x, t) có đạo hàm riêng đến cấp 2 và nó thỏa mãn phương trình truyền sóng và các điều kiện ban đầu theo nghĩa thông thường. Lúc này ta nói nghiệm u(x, t) là nghiệm cổ điển (classical solution).

Tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng có được điều kiện ban đầu tốt. Khi đó câu hỏi: liệu nghiệm thu được nhờ công thức D’Alembert có là nghiệm cổ điển không? Cụ thể hơn:

+ nghiệm u(x, t) có đạo hàm riêng đến cấp 2 không?

+ nếu có, các đạo hàm riêng cấp 2 của u(x, t) có thỏa mãn phương trình truyền sóng không?

+ nghiệm u(x, t) có thỏa mãn điều kiện ban đầu không? (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Mười 1, 2014

Cận trên đúng – Giới hạn trên

Cận trên đúng của một tập các số thực và giới hạn trên của một dãy các số thực có lẽ là hai trong số khái niệm mới và khó làm quen đối với sinh viên năm thứ nhất. Trước hết ta tìm hiểu cận trên đúng của một tập A\subset\mathbb R. Về mặt định nghĩa,

- nếu tập A=\emptyset ta quy ước cận trên đúng của nó \sup A=-\infty,

- nếu tập A\not=\emptyset và không bị chặn trên ta quy ước \sup A=+\infty,

- nếu tập A\not=\emptyset là tập bị chặn thì nó có các tập các chặn trên là khác rỗng và có số bé nhất, số bé nhất này được gọi là cận trên của A và ký hiệu \sup A.

Lý do có các quy ước trên là nhằm đảm bảo tính bảo toàn thứ tự

nếu A\subset B\subset\mathbb R thì \sup A\le \sup B.

Hai trường hợp đầu của định nghĩa khá dễ làm quen. Ta quan tâm đến trường hợp thứ ba A\not=\emptyset và bị chặn trên. Thường các bạn thấy được cận trên đúng của tập A nhưng các bạn chưa đưa ra được các lý do một cách thuyết phục để mọi người cùng thấy được. Các bạn thường chỉ đưa ra lý do số mà các bạn nghĩ rằng nó là cận trên đúng lớn hơn tất cả các phần tử của tập A. Điều này chưa đủ vì:

đồng ý số các bạn đưa ra thuộc vào tập các chặn trên của tập đã cho, nhưng nó có phải là số bé nhất trong tập các chặn trên này không?

hay

biết đâu còn có số nào đó khác cũng lớn hơn các phần tử của A và bé hơn số các bạn đưa ra?

Nói điều này thì ai cũng có thể hiểu nhưng vượt qua nó như nào thực sự là không dễ! Gặp điều khó khăn này là vì ta chưa xác định được tập các chặn trên của tập đã cho, hay nói đúng hơn việc xác định được tập các chặn trên này thực chất cũng chính là việc xác định cận trên đúng! Điều này thường dẫn đến suy luận kiểu “quả trứng – con gà”? Vấn đề ở đây là phải làm gì để thoát được điều này? (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Chín 27, 2014

Tiêu chuẩn Cauchy

Khi bắt đầu học về dãy số ta bắt gặp tiêu chuẩn Cauchy. Tiêu chuẩn Cauchy cho ta biết khi nào một dãy hội tụ chỉ bằng những thông tin lấy ra từ trong bản thân dãy đó. Dĩ nhiên, cũng cần lưu ý rằng chỉ có tiêu chuẩn Cauchy cho dãy số thực chứ không có tiêu chuẩn Cauchy cho dãy số hữu tỷ! Nghĩa là một dãy Cauchy gồm các số hữu tỷ chưa chắc đã hội tụ đến một số hữu tỷ, mặc dù chắc chắn nó hội tụ đến một số thực. Chẳng hạn dãy

u_n=(1+\frac{1}{n})^n\in\mathbb Q, n\in\mathbb N,

hội tụ đến số e\not\in\mathbb Q.

Câu hỏi bài viết này quan tâm: những không gian nào có tiêu chuẩn Cauchy hay những không gian nào đầy đủ? (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Chín 21, 2014

Dãy không âm, lồi, chẵn, hội tụ về 0 – chuỗi Fourier

Dãy \{a_n\}_{n\in\mathbb Z} được gọi là dãy lồi, chẵn nếu:

+) a_{n-1}+a_{n+1}\ge 2a_n, n\ge 1,

+) a_{-n}=a_n.

Nếu dãy lồi, chẵn \{a_n\}_{n\in\mathbb Z} chỉ gồm các số không âm và hội tụ về 0 thì

+) dãy \{a_n-a_{n+1}\}_{n\in\mathbb N} là dãy giảm về 0,

+) dãy \{a_n\}_{n\in\mathbb N} là dãy giảm về 0,

+) \lim\limits_{n\to\infty} n(a_n-a_{n+1})=0,

+) chuỗi \sum\limits_{n=0}^\infty (a_n-a_{n+1}) hội tụ đến a_0,

+) chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty n(a_{n-1}+a_{n+1}-2a_n) hội tụ đến a_0,

+) chuỗi \sum\limits_{n=|k|+1}^\infty n(a_{n-1}+a_{n+1}-2a_n)(1-\frac{|k|}{n}) hội tụ đến a_{|k|}.

Dãy không âm, lồi, chẵn và hội tụ về 0 liên quan gì đến chuỗi Fourier? Xét chuỗi hàm sau

\sum\limits_{n=1}^\infty n(a_{n-1}+a_{n+1}-2a_n)K_{n-1}(t)

với K_{n-1}(t) là nhân Fejer

K_{n-1}(t)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{m=0}^{n-1} \sum\limits_{k=-m}^m e^{ikt}=\sum\limits_{k=-n+1}^{n-1} (1-\frac{|k|}{n})e^{ikt}=\dfrac{1}{n}\Big(\dfrac{\sin(\frac{nx}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}\Big)^2. (Đọc tiếp…)

Sáng nay 12/09/2014 tôi trình bày seminar về “Giải tích điều hòa”. Trong phần trình bày tôi gặp tích phân phụ thuộc tham số

F(x)=\int\limits_0^x f(t)dt

với f\in L^1([0, 2\pi]).

Tích phân phụ thuộc tham số này cho ta một hàm liên tục tuyệt đối trên [0, 2\pi], nghĩa là

với bất kỳ \epsilon>0 đều tìm được \delta>0

để với bất kỳ bộ các khoảng (a_1, b_1), (a_2, b_2), \dots, (a_n, b_n) rời nhau thỏa mãn [a_k, b_k]\subset [0, 2\pi], \sum\limits_{k=1}^n(b_k-a_k)<\delta

thì

\sum\limits_{k=1}^n|F(b_k)-F(a_k)|<\epsilon.

Để chứng minh điều này ta chứng minh điều mạnh hơn sau:

Với mỗi \epsilon>0 đều có \delta>0

để với bất kỳ tập đo được Lebesgue A\subset[0, 2\pi]m(A)<\delta

thì \int\limits_{A}|f(x)|dx<\epsilon.

Dưới đây tôi trình bày hai cách chứng minh kết quả này. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Chín 11, 2014

Trao đổi bài giảng môn PT ĐHR lớp K57A1C

Hôm nay 11/09/2014 tôi bắt đầu dạy PTĐHR cho lớp K57A1C. Giáo trình tôi sẽ dùng

“Giáo trình PTĐHR” của thầy N. T. Hợp,

“An ỉntroduction to PDEs” của Y. Pinchover, J. Rubinstein.

Các bạn có thể tham khảo thêm bài

http://bomongiaitich.wordpress.com/2014/02/10/trao-doi-bai-giang-mon-ptdhr-lop-k56a1t/

Có gì cần trao đổi các bạn viết vào phần “Phản hồi” phía dưới.

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Chín 8, 2014

Trao đổi bài giảng Giải tích 1 lớp K59A3

Hôm nay 08/09/2014 tôi bắt đầu dạy Giải tích 1 cho lớp K59A3. Đề cương môn học các bạn xem

Đề cương môn học-Ngành Toan tin-Giai tich 1

Ngoài ra các bạn có thể tham khảo thêm bài trao đổi với lớp K58A3 ở

http://bomongiaitich.wordpress.com/2013/09/16/trao-doi-bai-giang-giai-tich-1-lop-k58-a3/

Các bạn có gì cần trao đổi có thể viết vào phần “Phản hồi” ở phía dưới bài viết.

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Tám 8, 2014

Mối quan hệ giữa không gian dãy và không gian các toán tử

Cho H là không gian Hibert phức, khả ly. Khi đó H có một cơ sở trực chuẩn đếm được \{e_n\}_{n\in\mathbb N}. Ký hiệu B(H) gồm các toán tử tuyến tính bị chặn trên H. Xét ánh xạ

\Phi: \ell_\infty(\mathbb N; \mathbb C)\to B(H), (a_n)_{n\in\mathbb N}\mapsto \Phi((a_n)_{n\in\mathbb N})=A với

A(x)=\sum\limits_{n\in\mathbb N}a_n\langle x, e_n\rangle e_n.

Không khó khăn để thấy:

+) \Phi là một phép đẳng cự vì

- do \{e_n\}_{n\in\mathbb N} là cơ sở trực chuẩn nên

||Ax||^2=\sum\limits_{n\in\mathbb N}|a_n|^2|\langle x, e_n\rangle|^2\le ||(a_n)_{n\in\mathbb N}||^2_{\ell_\infty}||x||\; \forall x\in H,

||Ae_n||=|a_n|\; \forall n\in\mathbb N;

+) \Phi là một đồng cấu đại số vì

- nó bảo toàn phép toán tuyến tính

(\alpha A+\beta B)(e_n)=\alpha A(e_n)+\beta B(e_n);

- nó bảo toàn phép nhân với chú ý

(a_n)_{n\in\mathbb N}(b_n)_{n\in\mathbb N}=(a_nb_n)_{n\in\mathbb N}.

Tuy nhiên \Phi không là toàn ánh vì A\in \Phi(\ell_\infty(\mathbb N; \mathbb C)) nhận cơ sở \{e_n\}_{n\in\mathbb N} là các hàm riêng. Điều này không làm giảm ý nghĩa của phép đồng cấu đại số, đẳng cự này. Dưới đây tôi sẽ trình bày ý nghĩa này. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Tám 2, 2014

Toán tử compact

Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính bị chặn A: X\to Y được gọi là toán tử compact nếu nó biến tập bị chặn thành tập compact tương đối, hay đơn giản hơn ảnh của hình cầu đơn vị A(B), B=\{x\in X|\; ||x||_X\le 1\}, là tập compact tương đối.

Một vài ví dụ đơn giản về toán tử compact.

VD1. X, Y là các không gian hữu hạn chiều thì mọi ánh xạ tuyến tính A: X\to Y đều là toán tử compact.

VD2. X= C^1([0, 1]) là không gian các hàm giá trị thực khả vi liên tục trên đoạn [0, 1], có đạo hàm trái tại 1 và đạo hàm phải tại 0, với chuẩn

||f||_{C^1}=\sup\limits_{x\in[0, 1]}(|f(x)|+|f'(x)|).

Y=C([0, 1]) là không gian các hàm giá trị thực liên tục trên đoạn [0, 1] với chuẩn

||f||_C=\sup\limits_{x\in[0, 1]}|f(x)|.

Khi đó phép nhúng C^1([0, 1])\hookrightarrow C([0, 1]) là toán tử compact.
(Đọc tiếp…)

Older Posts »

Danh mục

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.