Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Năm 29, 2007

Đề thi giữa kỳ- Giải tích 2b

1. Cho tập A=\{(x, y)\in \mathbb R^2|\; |x|+|y|\le 1, x >0\}.

(i) Xác định phần trong int(A) và bao đóng \bar{A}. Chứng minh rằng A là tập bị chặn, \bar{A} là tập compact.

(ii) Cho f: A \to \mathbb R là một hàm liên tục. Hỏi có hàm F: \bar{A}\to \mathbb R liên tục sao cho F(x)=f(x), \forall x\in A. Nếu có thì có bao nhiêu hàm F như vậy? Chứng minh rằng ảnh của hàm f, f(A) là tập bị chặn.

(iii) Cho g: A\to \mathbb R được xác định như sau

g(x, y)= \dfrac{1}{x} +y.

Hỏi g có là ánh xạ liên tục đều không?

2. (i) Tìm ví dụ một hàm f sao cho các giới hạn lặp \lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}f(x, y), \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}f(x, y) cùng tồn tại và

\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}f(x, y)\not= \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}f(x, y).

(ii) Tìm ví dụ một hàm f sao cho giới hạn lặp \lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}f(x, y), và giới hạn kép \lim\limits_{x\to 0\atop y\to 0}f(x, y) tồn tại còn giới hạn lặp \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}f(x, y) không tồn tại

(iii) Tìm ví dụ một hàm f sao cho giới hạn kép \lim\limits_{x\to 0 \atop y\to 0}f(x, y) tồn tại còn các giới hạn lặp \lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0} f(x, y), \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x \to 0}f(x, y) không tồn tại.

3. Cho hàm f:\mathbb R^2\to \mathbb R xác định như sau

f(x, y)= (x^{4/3}+ y^{4/3})\sin\frac{1}{x^2+y^2}  nếu (x, y)\not= (0, 0)

và f(0, 0)=0.

(i) Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của f. Xét tính liên tục của chúng.

(ii) Hỏi f có khả vi tại gốc (0, 0) không?

Posted in Đề thi

«
»

Gửi phản hồi






Phản hồi của bạn:

Chuyên mục