Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Mười Một 4, 2007

Sử dụng các Công thức để tính diện tích và thể tích

Như đã học trong Giáo trình, để tính diện tích của một hình D, được bao quanh bởi đường cong kín L (trong mặt phẳng) ta dùng Công thức Green

\iint_D dxdy= \int_L xdy= -\int_L ydx= \dfrac{1}{2}\int_L (xdy-ydx),

trong đó đường cong L được định hướng dương là hướng mà nếu ta đi theo hướng đó thì miền D ở bên tay trái.

Vậy trong không gian thì ta sẽ dùng Công thức Stokes thay thế! Ta sẽ phải chọn các hàm P, Q, R phù hợp! Trước hết tôi nhắc lại Công thức Stokes

\int_L (Pdx+Qdy+Rdz)=

\iint_D \big((Q'_x-P'_y)dxdy+(R'_y-Q'_z)dydz+(P'_z-R'_x)dzdx\big)=

\iint_D \big((Q'_x-P'_y)n_z+(R'_y-Q'_z)n_x+(P'_z-R'_x)n_y\big)ds

với n=(n_x, n_y, n_z) là véc-tơ pháp tuyến đơn vị định hướng mặt D, đường cong L được định hướng dương sao cho ở mỗi điểm trên D ta đứng theo hướng của n rồi nhìn xuống thì thấy đó là hướng ngược chiều kim đồng hồ.

Như vậy nếu tôi chọn

P=zn_y-yn_z, Q=xn_z-zn_x, R=yn_x-xn_y

ta có diện tích của mặt D cho bởi

\dfrac{1}{2}\int_L \big((zn_y-yn_z)dx+(xn_z-zn_x)dy+(yn_x-xn_y)dz\big).

Công thức Ostrogradski- Gauss cho phép ta tính thể tích của một miền V (trong không gian) qua tích phân mặt loại II trên mặt S bao quanh nó được định hướng theo phía ngoài của miền; và tính diện tích của mặt S bằng tích phân bội trên V!

Trước hết, ta nhớ lại Công thức Ostrogradski-Gauss

\iiint_V (P'_x+Q'_y+R'_z)dxdydz=

\iint_S (Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)=

\iint_S(Pn_x+Qn_y+Rn_z)ds,

với n=(n_x, n_y, n_z) là véc-tơ pháp tuyến đơn vị của mặt S hướng ra ngoài miền V.

Nếu tôi chọn

P=x, Q=y, R=z

thể tích của miền V được cho bởi

\iint_S xdydz=\iint_S ydzdx=\iint_S zdxdy=

=\dfrac{1}{3}\iint_S (xdydz+ ydzdx+ zdxdy).

Còn nếu tôi chọn

P=n_x, Q=n_y, R=n_z

diện tích của mặt S được cho bởi

\iiint_V ((n_x)'_x+(n_y)'_y+(n_z)'_z)dxdydz.

About these ads

Responses

  1. Cần chú ý về các công thức tính diện tích của mặt trong không gian! Công thức Stokes được sử dụng để tính diện tích cho mặt không kín được giới hạn bởi đường cong! Trong khi đó Công thức Ostrogradski- Gauss được áp dụng để tính diện tích cho mặt kín!


Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Danh mục

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: