Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Mười Hai 8, 2007

Tích phân mặt

Việc tính toán tích phân mặt loại I, cũng như loại II, cho thấy sự khác biệt với việc tính tích phân xác định như trong phổ thông! Tính tích phân xác định đôi khi quên mất vi phân dx cũng không làm ảnh hưởng đến kết quả! Tính tích phân mặt, một trong những công việc khó chính là tính vi phân mặt dS! Nếu có đôi chút so sánh với tích phân xác định, có thể coi đây là quá trình đổi biến vì thực chất quá trình đổi biến rất giống với quá trình tham số hóa mặt!!! Sau khi tính vi phân mặt, xác định hướng, công việc còn lại là tính tích phân xác định! Khác với sự đánh đố tính toán các tích phân xác định khó, người khéo léo ở đây là người có  khả năng tham số hóa mặt để chuyển tích phân mặt về tích phân xác định dễ tính toán!!! Nếu tính phân xác định đó thực sự khó tính toán thì đó là cái khó bản chất!!!

Quay trở lại công việc làm sao để thực hành công việc tính tích phân mặt! Đầu tiên, ta cần biết mặt được cho dưới dạng nào:

(i) Dạng tổng quát f(x, y, z)=0,

(ii) Dạng tham số x= x(u, v), y= y(u, v), z= z(u, v),

(iii) Dạng z=z(x, y).

Để tính được vi phân mặt dS thường ta phải chuyển mặt về dạng (ii) và (iii), nghĩa là mặt được xác định bởi hai tham số (u, v) hay (x, y)!

Đối với dạng (ii) ta tính E, F, G hay A, B, C bằng cách sau:

E=\Big(\dfrac{\partial x}{\partial u}\Big)^2 +\Big(\dfrac{\partial y}{\partial u}\Big)^2 +\Big(\dfrac{\partial z}{\partial u}\Big)^2= ||U||^2,

G= \Big(\dfrac{\partial x}{\partial v}\Big)^2 +\Big(\dfrac{\partial y}{\partial v}\Big)^2+ \Big(\dfrac{\partial z}{\partial v}\Big)^2=||V||^2,

F=\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial v}+ \dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v} +\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial z}{\partial v}=\langle U, V\rangle,

với U=\Big(\dfrac{\partial x}{\partial u}, \dfrac{\partial y}{\partial u}, \dfrac{\partial z}{\partial u}\Big), V=\Big(\dfrac{\partial x}{\partial v}, \dfrac{\partial y}{\partial v}, \dfrac{\partial z}{\partial v}\Big);

A=\dfrac{D(y, z)}{D(u, v)}= \dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial z}{\partial v}-\dfrac{\partial y}{\partial v}\dfrac{\partial z}{\partial u},

B= \dfrac{D(z, x)}{D(u, v)}= \dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial v}-\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{\partial x}{\partial u},

C=\dfrac{D(x, y)}{D(u, v)}= \dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v}-\dfrac{\partial x}{\partial v}\dfrac{\partial y}{\partial u}.

Không khó khăn kiểm tra D= EG-F^2=A^2+B^2+C^2!

Vi phân mặt loại I

dS=D^{1/2}dudv!

Vi phân mặt loại II

Pdydz+ Qdzdx+Rdxdy= (PA+ QB +RC)dudv

khi véc-tơ (A, B, C) cùng phương, cùng hướng với vec-tơ pháp tuyến định hướng dương cho mặt!!! Nếu cùng phương, khác hướng thì ở đẳng thức trên ta thêm dấu trừ ở vế phải!

Vậy làm sao để biết (A, B, C) là véc-tơ pháp tuyến định hướng dương của mặt! Trước hết, ta cần kiểm tra xem (A, B, C) có là vec-tơ pháp tuyến của mặt không? (Vì đôi khi ta tính sai!!?) Lúc này, mặt được cho bởi (i) giúp ta kiểm tra bởi véc-tơ pháp tuyến của mặt khi đó

grad(f)=\Big(\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}, \dfrac{\partial f}{\partial z}\Big).

Nếu (A, B, C) tỉ lệ với grad(f), nghĩa là

\dfrac{\frac{\partial f}{\partial x}}{A}= \dfrac{\frac{\partial f}{\partial y}}{B}= \dfrac{\frac{\partial f}{\partial z}}{C}=k

thì ta đã tính đúng!!! Nếu không thì thường là nhầm dấu!?!

Bây giờ, ta xem nó có là định hướng dương cho mặt không? Có hai kiểu thường gặp cho việc định hướng dương cho mặt:

(i) Định hướng dương theo phía trên của mặt (phía trên thường được hiểu là phía dương trục 0z, đôi khi hiểu khác tùy vào hoàn cảnh);

(ii) Định hướng dương theo phía ngoài của mặt.

Kiểu thứ nhất thường áp dụng cho mặt không kín, chẳng hạn trong trường hợp sử dụng Định lý Stokes! Đối với kiểu này, nghĩa là mặt được định hướng dương theo hướng dương trục 0z, ta xem tích vô hướng

\langle (A, B, C), (0, 0, 1)\rangle =C.

Nếu C>0, nghĩa là góc hợp bởi (A, B, C) với hướng dương trục 0z là góc nhọn, thì (A, B, C) là véc-tơ pháp tuyến định hướng dương cho mặt! Còn nếu C<0 thì góc đó tù hay (A, B, C) ngược hướng với véc-tơ định hướng dương cho mặt! (Hôm 06/12/2007, cậu Hướng, lớp K51A2, có nói về điều này. Nhưng hôm đó, thực sự tôi chưa hiểu!!!)

Với kiểu thứ hai áp dụng cho mặt kín, chẳng hạn trong trường hợp sử dụng Định lý Ostrogradski-Gauss, ta lấy một điểm (x_0, y_0, z_0) nằm trong miền giới hạn bởi mặt kín đó (thường ta lấy tâm như trong trường hợp hình ellipsoit, hay một điểm trên trục giữa như trong trường hợp nón hay trụ). Ta xét tích vô hướng

\langle (A, B, C), (x-x_0, y-y_0, z-z_0)\rangle=

=A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=D,

trong đó (x, y, z) là điểm trên mặt mà ta đang xét véc-tơ pháp tuyến (A, B, C) tại đó.

Tương  tự trên, nếu D>0 véc-tơ (A, B, C) là pháp tuyến ngoài; nếu D<0 thì (A, B, C) là véc-tơ pháp tuyến trong!

Đôi khi ta chỉ cần xem tỉ lệ k giữa véc-tơ grad(f)(A, B, C)!

Nếu vẽ hình được thì tốt nhất!

Với dạng (iii) có

A=\dfrac{\partial z}{\partial x}, B=\dfrac{\partial z}{\partial y}, C=1,

E=1+\Big(\dfrac{\partial z}{\partial x}\Big)^2, G= 1+\Big(\dfrac{\partial z}{\partial y}\Big)^2, G=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial z}{\partial y}.

Khi đó:

(I) dS=\sqrt{\big(\frac{\partial z}{\partial x}\big)^2+\big(\frac{\partial z}{\partial y}\big)^2+1}dxdy,

(II) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\Big(P\dfrac{\partial z}{\partial x}+ Q\dfrac{\partial z}{\partial y}+1\Big)dxdy.

Các công việc còn lại làm giống trên!

Tất cả những điều viết trong bài này sẽ trở nên vô nghĩa nếu không thực hành trên các mặt cụ thể!!! Chẳng hạn mặt cầu, ellipsoid, mặt paraboloid, hyperboloid, nón, trụ, … và mặt phẳng!!!

About these ads

Responses

  1. Cần lưu ý thêm trong quá trình tham số hóa mặt cần xác định miền chạy của các biến (u, v) đối với cách tham số (ii), hay (x, y) đối với cách tham số (iii).
    Trong nhiều trường hợp ta phải cắt miền ra để tham số vì trên từng phần mặt được tham số bởi các phương trình khác nhau!!!

  2. Thưa thầy, em chưa rõ về điểm (x,y,z) ở dòng “Trong đó (x,y,z) là điểm trên mặt mà ta đang xét véc-tơ pháp tuyến (A,B,C) tại đó. Thầy có thể nói thêm được không ạ?

  3. Tôi không hiểu em cần nói thêm gì ở chỗ đó? Vì muốn có véc-tơ pháp tuyến trên một mặt thì cần biết gốc của véc-tơ đó nằm ở chỗ nào trên mặt đó.

  4. Em ví dụ bài 1236- Sách BT Giải tích III(Thầy Trần Đức Long…) thì em đặt (toạ độ trụ)
    x=rcos(phi),y=rsin(phi),z=r thì A=-rcos(phi), B=-rsin(phi), C=r(Em tính đúng rồi ạ). Bây h áp dụng công thức trên thì làm thế nào ạ. Thầy cố gắng giúp em.

  5. Tôi muốn em nói rõ mặt trong bài tập là gì?

  6. Dạ đấy là mặt nón: z^2=x^2+y^2 ạ. (0<=z<=h). Hướng dương là phía ngoài mặt nón.

  7. Với trường hợp nón z^2=x^2+y^2, z>0 có hướng dương hướng ra ngoài, khi ta vẽ hình, hướng dương sẽ quay xuống nghĩa là có thành phần z âm. Véc-tơ (A, B, C)=(-r\cos{\varphi}, -r\sin{\varphi}, r) có thành phần zr>0 nên ngược với hướng dương của mặt. Khi đó, tích phân trên mặt
    \iint Pdydz +Qdzdx + Rdxdy
    chuyển thành
    -\iint (PA+QB+RC)drd\varphi.

  8. Vâng, nếu nhìn từ hình thì có thể biết được ngay ạ. Rất cảm ơn thầy vì em google search ra được bài này của thầy rất hay !!!

  9. Thưa thầy, thầy có thể nói rõ cho em khi nào thì bài tập cần chia nhỏ miền và cách định hướng dương cho tích phân mặt loại 2 được không ạ?

    • Em hỏi không đầu không đuôi thế này tôi không biết phải trả lời em thế nào?

      Tôi kém việc nói chung chung đại thể! Em không có ví dụ cụ thể nào để nói thì tôi không thể đoán xem em cần gì được?

      • ví dụ như bài tập tính tích phân mặt l2 trên miền S với S là mặt ngoài biên của B giới hạn bởi z^2+x^2=1 và 2 mp y=0,x+y=2.tại sao chúng ta không tình trực tiếp như bình thường được mà lại phải chia miền ah?

      • Lý do khá đơn giản như sau.

        Thứ nhất, chưa nói về hướng dương của mặt, mặt biên của hình trụ cắt vát B giới hạn bởi mặt trụ x^2+z^2=1 và hai mặt phẳng y=0, y=2-x được tạo bởi ba phần có ba phương trình khác nhau:

        +) mặt trụ S_1: x^2+z^2=1 với 0\le y\le 2-x,

        +) mặt đáy S_2: y=0 với x^2+z^2\le 1,

        +) mặt vát S_3: x+y=2 với x^2+z^2\le 1.

        Ba phương trình khác nhau dẫn đến:

        việc tham số hóa không thể chung cho toàn bộ biên của B,

        việc xác định hướng dương, cụ thể véc-tơ pháp tuyến trên biên chỉ hướng dương, không có công thức chung cho toàn bộ biên của B.

        Tiếp theo, nói về định hướng dương là hướng chỉ ra ngoài khối B, ta dùng hình học để thấy:

        -) mặt trụ S_1 có hướng dương là pháp tuyến trên mặt chỉ ra xa trục 0y;

        -) mặt đáy S_2 có hướng dương là pháp tuyến ngược với chiều tăng của y, hay nó chỉ về phía -\infty của trục 0y, nghĩa là có tọa độ y âm;

        -) mặt vát S_3 có hướng dương là pháp tuyến cùng chiều tăng của y, nghĩa là có tọa độ y dương.

        Để tính các pháp tuyến này hoặc ta tính luôn dựa vào

        pháp tuyến tại điểm P=(x_0, y_0, z_0) của mặt cho bởi phương trình f(x, y, z)=0

        Là véc-tơ có gốc P được xác định

        gradf(x_0, y_0, z_0).

        Sau đó điều chỉnh lại hướng theo cách nhìn hình học ở trên.

        Cụ thể như sau.

        +)Trên S_1 mặt có phương trình
        x^2+z^2-1=0
        nên véc-tơ pháp tuyến trên mặt (2x, 0, 2z).
        Nó đã hướng ra xa trục 0y nên không phải chỉnh!

        +) Trên S_2 mặt có phương trình
        y=0
        nên véc-tơ pháp tuyến trên mặt (0, 1, 0).
        Nó có tọa độ y dương nên cần đổi lại hướng (0, -1, 0)!

        +) Trên S_3 có phương trình
        x+y-2=0
        nên véc-tơ pháp tuyến trên mặt (1, 1, 0).
        Nó có tọa độ y dương nên không cần chỉnh!

  10. Thầy cho em hỏi việc xác định hướng của các mặt vừa chia làm như thế nào không ạ. Nếu được thì thầy có thể làm rõ bằng việc vẽ hình không ạ?

    • Ve hinh o day rat mat thoi gian nen toi xin phep khong ve. Em hoan toan co the tu ve ra giay duoc. Cac cong thuc toi deu chi cho san roi.

      • vâng.em cảm ơn thầy

    • Hình vẽ
      Trụ Vát

      Ở đây tôi đã chuẩn hóa các véc-tơ xác định hướng dương của mặt biên của B.

  11. Rất cảm ơn thầy đã phân tích giúp em rõ vấn đề.


Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Danh mục

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: