Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Một 23, 2008

Giáo trình Phương trình Đạo hàm riêng

“An introduction to Partial Differential Equations” của Yehuda Pinchover, Jacob Rubinstein

“Giáo trình Phương trình Đạo hàm riêng” của Thầy Nguyễn Thừa Hợp

sẽ được tôi dùng làm giáo trình chính để giảng về

Lý thuyết Phương trình Đạo hàm riêng

cho lớp K51 A2 + A3.

Sinh viên K51A2+A3 có thể lấy file sách của Y. Pinchover, J. Rubinstein theo đường link

http://www.box.net/shared/dx0jrk7dsc

About these ads

Trả lời

  1. Em cam on thay !

    Thay con co ebook Toan OR Tin hoc nao nua thi post het len thay a :d

  2. Ở bài tập 3.3 có câu hỏi như sau.
    Tìm một nghiệm riêng của phương trình

    u_{xx}(x,y)+ 4u_{xy}(x, y)+u_x(x, y)=0

    sao cho:

    u(x,8x)=0; u_x(x,8x)=4*e^{-2x}.

    Em không hiểu tại sao u=0 rồi mà vẫn có u_x=4e^{-2x}?

  3. Chú ý rằng, bài toán cho u=0 trên đường thẳng \{(x, y)|\; y=8x\} chứ không phải trên một tập mở trong mặt phẳng. Do đó, u_x vẫn có thể khác không!!!
    Em thử lại cho tôi nghiệm
    u(x, y)= \big(x-\frac{y}{8}\big)e^{-\frac{y}{4}}
    có thỏa mãn bài toán không?

    • thưa thầy, e đang làm khóa luận tốt nghiệp về phương trình Parabolic và ứng dụng trong vật lý, nhưng em tìm ko có nhiều tài liệu lắm chủ yếu là sách về phương trình toán lý và đạo hàm riêng. Thầy có sách nào viết về vấn đề này hay ko a?có thể cho e biết được không a.
      e xin cảm ơn thầy

      • Những thứ kiểu này em tự tìm mới có ý nghĩa. Nếu tìm hộ em thì có lẽ em chưa biết có nên đọc hay không! Em có thể tìm ở library.nu.

  4. Cuối giờ ngày 20/02/2008, lớp K51A2 có hỏi tôi về việc chuyển sang dạng chính tắc của phương trình dạng Parabolic
    tg^2(x)u_{xx} - 2ytg(x)u_{xy}+y^2u_{yy}+tg^3(x)u_x=0.
    Vào cuối giờ, lớp K51A3 có chữa bài này. Việc lớp K51A2 không chuyển được là do việc đổi biến chưa đúng!!!
    Cụ thể, khi có
    tg(x)dy=-ydx
    thu được
    ln(|y|)=-ln(|\sin{x}|)+C
    ta không đổi biến
    \xi=y+\sin{x} hay \xi=y-\sin{x}
    mà phải đổi biến
    \xi= y\sin{x}
    vì từ phương trình trên có y\sin{x} là hằng số chứ không phải y-\sin{x} hay y+\sin{x} là hằng số!!!
    Cuối cùng ta thu được phương trình
    \eta^2 v_{\eta\eta}-2\xi v_\xi=0
    với \xi=y\sin{x}, \eta=y, v(\xi, \eta)=u(x, y).

  5. Thầy xem hộ em bài 3.6 có bị nhầm lẫn ở đâu không ạ? Vì em tìm ra là dạng Eliptic mà đầu bài yêu cầu tìm nghiệm Tổng quát, em không biết làm cách nào.

  6. Vậy em thử đổi u_{xx}+(1+y^2)^2u_{yy} thành u_{xx}-(1+y^2)^2u_{yy}!

  7. Em thưa thầy sao phần bài toán Dirichlet với biên hình chữ nhật em không tìm được trong giáo trình nào ạ!

  8. Em thưa thầy trong đề cương ôn thi giữa kì có bài về tìm nghiệm duy nhất? Vậy nghiệm duy nhất đó là thuộc dạng ellip, hyperbol,parabol ạ? Dạng bài này em chưa biết làm như nào cả? Thầy có thể cho em một vài ví dụ về loại bài như này để em hiểu rõ hơn được không ạ? Em cảm ơn thầy nhiều.

  9. Bài toán biên Dirichlet trên hình chữ nhật nằm trong Giáo trình tiếng Anh, từ trang 188 đến 195.
    Bài toán biên Dirichlet trên hình tròn nằm trong Giáo trình của Thầy Hợp, từ trang 129 đến 162.
    Không có bài về tìm nghiệm duy nhất!!! Chỉ có Định lý về tính duy nhất nghiệm của bài toán biên elliptic, bài toán biên hỗn hợp parabolic, hyperbolic! Tôi chỉ yêu cầu thi phần Định lý duy nhất nghiệm cho bài toán biên Dirichlet trên hình tròn hay hình chữ nhật!!!

  10. Em thưa thầy,trong đề thi giữa kì lần này có lí thuyết không ạ?

  11. Lý thuyết, nếu có, thuộc phần Định lý về tính duy nhất nghiệm!

  12. Em thưa thầy, đề thi giữa kì được sử dụng tài liệu ạ? Phần hình tròn chỉ có biên Dirichlet trong hay còn có cả ngoài và bài toán Neumann của hình tròn ko ạ?

  13. THƯA THẦY!SAO ĐỀ THI giữa kỳ GÌ MÀ NHƯ KHÔNG MUỐN CHO ĐIỂM SINH VIÊN VẬY:VỪA DÀI như đế cuối kỳ mà thời gian chỉ có 1h. Thầy ra đề như này thì nên đăng ký học lại sớm rồi.Chán quá!

  14. LẠI học lại môn PT ĐHR rồi! Nhóm 1 k51a2 đang làm một bài thì thày nhắc còn 30 phút nữa, rồi 15 phút nữa xong hết giờ mà bài chưa ra kết quả gì?
    THẦY cho bọn EM thời gian để tính nữa chứ. Bọn EM đâu có thể làm nhanh đươc như thầy đâu.

  15. Bài thi hôm qua tôi cũng đã xem qua! Nói chung kết quả cũng không quá tệ! Đề thi tuy dài nhưng không phải làm hết đề cũng vẫn được 10 điểm! Nhóm 1 K51A2 cũng có một người được 10 (Phạm Huy Thông), một được 9, .v.v.
    Phạm Kim Phượng, Vũ Phượng Hoàng điểm không dưới 8!
    Thấp nhất là 2,5!!!

  16. Vâng! Thế nhưng thưa thầy nếu đề thi cuối kỳ sắp tới thì bọn EM không biết có nhiều LÝ THUYẾT hay không ? Liệu như vậy thì thầy có thể cho bọn EM tài liệu mà thầy đang viết về PT ĐHR và đề cương môn này không?bởi kỳ này thực sự rất nặng cho SV TOÁN TIN bọn EM.

  17. Em thưa thầy, hôm kiểm tra giữa kì nhóm 1 K51A2 em làm dở bài 1a xong mãi ko ra e sang bài 3 thì làm đến phần v(x,y) là đúng. Xong run quá! Em quay lại bài 1b làm rồi cũng ko ra … Em lo quá thầy cho em biết điểm được ko ạ . Em là Nguyễn Quốc Khánh. Cảm ơn thầy ạ.

  18. Chiều nay, 01/04/2008, tôi sẽ thông báo kết quả cho nhóm 1 K51A2T.
    Tôi sẽ cố gắng viết bài giảng của môn này! Có thể cuối kỳ tôi sẽ chuyển cho mọi người! Thi cuối kỳ sẽ chủ yếu là bài tập tính toán! Lý thuyết sẽ ở dạng bài tập lý thuyết! Nói tóm lại tôi cố gắng cho thi theo kiểu học hiểu để áp dụng vào trường hợp cụ thể!!! Nói chung không cần phải hiểu sâu!!!

  19. Thưa thầy, nhóm em được giao bài tập ,nhưng toàn rơi vào phần chưa học như phương trình truyền nhiệt..như thế thì phải tự đọc rồi làm ạ!

  20. Phương trình truyền nhiệt, cách giải khá giống phương trình truyền sóng (dùng tách biến). Em có thể xem trong phần “Phương pháp tách biến” của tôi!
    Tuy nhiên, bài toán Cauchy cho Phương trình truyền nhiệt trên toàn không gian, có công thức nghiệm luôn. Em có thể xem trong Giáo trình của Thầy Hợp, trang 362.

  21. Thầy ơi, trong ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân thì người ta sẽ tìm ra nghiệm riêng của bài toán với điều kiên biên cụ thể. Vậy có cách nào để tìm ngược lại nghiệm tổng quát của bài toán không ạ? Trong cách giải thông thường khi không dùng phép biến đổi Laplace ta sẽ tìm được nghiệm tổng quát sau đó mới tìm ra nghiệm riêng.

  22. Tôi chưa hiểu em định nói ứng dụng của phép biến đổi Laplace cho phương trình vi phân thường hay phương trình vi phân đạo hàm riêng?

  23. Thầy ơi ý em nói là phương trình vi phân thường ạ.

  24. Tôi không phải là chuyên gia về PT VP thường! Theo tôi nghĩ, nếu điều kiện biên không cho dưới dạng cụ thể thì nghiệm tìm được là nghiệm tổng quát!

  25. Thay chi dum em cach giai phuong trinh vi phan he so ham bang phep bien doi Laplace

  26. Tôi không rõ em viết hệ số “hàm” hay “hằng”?

  27. Em chao thay!
    Thay cho em hoi cach giai pt dao ham rieng
    U_t(x,t)=D.U_{xx}(x,t)
    voi dieu kien dau:
    u(x, 0) = u_0(x)
    va dieu kien bien:
    u(0, t) = f_0(t), u(L, t) = f_1(t).
    Cam on thay!

  28. Đây là bài toán biên hỗn hợp đối với phương trình truyền nhiệt. Có thể giải bài toán này bằng phương pháp tách biến. Khi đó, ta cần thêm điều kiện cho các hàm u_0, f_0, f_1. Chi tiết em có thể xem trong phần “Phương pháp tách biến” trong blog này của tôi.

  29. Thua thay, em khong download duoc tai lieu” Phuong phap tach bien”
    Trong truong hop cac ham uo,fo,f1 da biet truoc va la hang so, thay chi ro cho em cach giai nhu the nao?
    Cam on thay!

  30. Tôi đã kiểm tra lại và tài liệu “Phương pháp tách biến” là download được. Em chỉ cần nhấn vào chữ đỏ “Phương pháp tách biến” là lấy được file đó!

  31. thưa thầy em muốn hỏi về bài tập nhom của lớp K52A3 môn PTDHR :bài 7.4 giáo trình Tieng Anh. delta u = 0;0<x,y<pi;u(x,0) = u(x,pi)=1, u(0,y) = u(pi,y) = 0
    Thì ta phai di tim ham v(x,y)
    Nhưng em thấy là khi ta tinh trên dk biên thì u(0,0) khi tinh theo x,y thi lai cho hai ket quả khác nhau(tt như vậy với các biên khác)
    Xin thay giải đáp giùm Em . cảm ơn thầy ạ !

  32. Và bài 7.10 đề bài cho DK biên là : Uy(x,pi) =x2 -a, các biên còn lai =0 ( 0<x,y < pi)
    thi Uy(x,pi),Ux(0,y)… la nhu the nao ?
    và U(0,pi) cung co the nhan hai gia tri khi tinh theo Ux() hay Uy()

    Em xin cám ơn thầy !!!!

  33. Thưa thầy, thầy có giao cho nhóm em bài tập 33, nó nói về công thức Poatxong nhưng chúng em chưa được thầy giảng trên lớp về phần này. Em cũng đã hỏi thầy giải bài này như thế nào, thầy bảo làm như bình thường mà không cần sử dụng công thức đó. Nhưng chúng em không thấy giống dạng nào như thầy đã chứa, điều kiện biên nó ra hằng số phải không ạ, mà là hằng số sao lại cho dạng cos làm gì ạ

  34. Về bài tập 33: việc đổi biến sang hệ tọa độ cực ở đây khác so với tôi dạy. Cụ thể
    x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.
    Vậy nên điều kiện biên
    u=\cos\theta, 0\le \theta\le 2\pi.

  35. Về bài tập 7.4, 7.10 trong sách tiếng Anh; em cứ tách biến rồi lập chuỗi tính toán bình thường.
    Ở đây, đề bài cho điều kiện biên không liên tục nên nghiệm thu được là nghiệm không cổ điển, nghĩa là nó không nhất thiết liên tục.

  36. Về bài 7.10, tôi mới xem lại đề bài.
    Đây là bài toán biên Neumann nên điều kiện biên phải thóa mãn đẳng thức tích phân bài toán mới có nghiệm!
    Nói cách khác ở bài này ta phải tìm a đề bài toán có nghiệm!

    Còn về việc thử gõ các công thức em nên tự lập một blog trên wordpress.com để làm!

  37. thưa thầy! thầy có thể cho em kết quả của bài 7.4 được không ạ.Em tính ra rồi nhưng không chắc chắn lắm. Em cam ơn!

  38. Ở cuối cuốn sách tiếng Anh có đáp án. Em có thể xem ở đó.

  39. da thua thay nhung ko co dap an bai 7.4 a

  40. Thưa thầy!Nhóm em được phân làm bài 50 trong sách thầy NTH.Nhưng chúng em chưa biết làm bài này như thế nào.Thầy có thể hướng dẫn chúng em giải bài này ko ạ?

  41. Bài 50, đầu tiên đưa về dạng chính tắc rồi tìm nghiệm tổng quát. Áp nghiệm tổng quát vào điều kiện ban đầu. Do bài toán này đặt điều kiện ban đầu đặt trên một đường cong đặc trưng nên không phải vế phải nào bài toán cũng có nghiệm. Nói chung vế phải \varphi, \psi phải liên quan đến nhau.

  42. thua thay cho em hoi cuon sach tham khao ve ptdhr bang tieng anh va cach giai bai toan dirichlet tren mien hinh quat

  43. Tai lieu tham khao ve PTDHR bang tieng anh em co the nhap chuot vao dong tren cung cua bai nay.
    Ve bai toan bien Dirichlet cho phuong trinh Laplace tren hinh quat em co the xem trong cuon
    “Partial Differential Equations, an introduction”
    cua Strauss W.A.,
    trang 164, 165.
    Em co the download cuon nay tu cua so Box.net cua trang web nay. Cuon do nam trong file PDEs>PDEs.

    Trong cuon nay trinh bay cach tim nghiem voi dieu kien tren hai canh cua quat nghiem bang 0.
    Phuong phap duoc su dung la phuong phap tach bien nhu trong hinh tron.

  44. thay oi, thay co the giai ho e 1 bai cu the chi tiet 1 bai ve bai toan hinh quat, hay hinh chu nhat duoc ko? co phai trong hinh tron thi minh viet ngay cung thuc U(r,a) =…con trong hinh chu nhat va hinh quat thi phai thanh lap cong thuc ko thay?

  45. Em có thể cho tôi một bài nào đó. Khi đó, ta dễ nói chuyện hơn!

  46. thầy ơi, thầy giải chi tiết hộ e mấy bài này để e làm bài mẫu em tham khảo với thầy nhé:
    bài 1 :
    giải bài toán dỉichlet trong
    cho W là hình quạt
    0=1
    0 <= θ<=anlpha

    delta U=0 TRONG W
    u(1,θ)=θ.e^θ( e mu θ)
    U(1,θ)=U(r,anlpha)=0

    bai 2 la bai ve phan phuong trinh dao ham rieng cap 2 doi voi phuong trinh parabol
    cho W là hình cầu tâm O bàn kính r trong R^3
    U thuộc C2(W) giao VỚI C1(W)

    -delta U =f trong W
    U=g trên biên của W

    f,g là hàm liên tục tương ứng trong miền đóng của W và biên của W
    chứng minh rằng
    max|U|0 x thuộc [0,pi]
    U(x,0)=sinx(1-4cosx) x thuộc [0,pi]
    U(0,T)=U(pi,t)=0

    bài 4 :

    cho W là miền bị chặn trong R^3
    V(x) liên tục khả vi 2 lần trong miện đóngW
    ,-delta V(x)<=0 với mội x thuộc W
    a. chứng minh rằng V(X) là hàm điều hòa trong W
    b. max V(x) trên miền đóng W = max V(x) trên biên W
    c. U(x) là hàm điều hòa trong W, chứng minh rằng V(x)= β(U,r) là hàm điều hòa dưới trong W . trường hợp riêng V(x)=|DU|^2 LÀ HÀM ĐIỀU HÒA DƯỚI

    làm ơn giải chi tiết hộ e từng bài với thầy nhé, cảm ơn thầy nhiều

  47. Bài 1. Nếu tôi không nhầm đề bài:
    Cho quạt Q=\{(r, \theta)|\; 0\le r\le 1, 0\le \theta\le \alpha\}.
    Tìm nghiệm của phương trình Laplace trên quạt Q: \Delta u=0
    với điều kiện biên:
    u(1, \theta)=\theta\times e^{\theta}, 0\le \theta\le \alpha,
    u(r, 0)=u(r, \alpha)=0, 0\le r\le 1.

    Để giải bài toán này chuyển về về hệ tọa độ cực
    x=r\cos{\theta}, y=r\sin{\theta}
    phương trình Laplace chuyển thành
    u_{rr}+\dfrac{1}{r}u_r+\dfrac{1}{r^2}u_{\theta\theta}=0.
    Rồi tách biến
    u(r, \theta)=R(r)\Theta(\theta)
    ta có hệ phương trình
    \Theta^{,,}(\theta)+C\Theta(\theta)=0,
    r^2 R^{,,}(r)+r R^{,}(r)-CR=0.
    Do \Theta(0)=\Theta(\alpha)=0 nên C=\dfrac{n\pi}{\alpha} với n là số nguyên dương.
    Khi đó
    \Theta_n(\theta)=\sin{(\dfrac{n\pi\theta}{\alpha})},
    R_n(r)=r^{\frac{n\pi}{\alpha}}.
    Ta thu được nghiệm dạng chuỗi:
    u(r, \theta)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n r^{\frac{n\pi}{\alpha}}\sin{(\dfrac{n\pi\theta}{\alpha})}.
    Thay vào điều kiện u(1, \theta)=\theta\times e^{\theta} có dãy \{a_n\}_{n=1}^\infty là hệ số Fourier-Sin của hàm \theta \times e^{\theta} chu kỳ 2\alpha.
    Cụ thể
    a_n=\dfrac{2}{\alpha}\int_0^\alpha \theta\times e^{\theta}\times\sin{(\dfrac{n\pi\theta}{\alpha})}d\theta.

  48. Bài 2 và 4, tôi không hiểu đề bài?
    Thứ nhất, trong bài 2 đang nói về phương trình parabol sao lại chỉ có -\Delta U=f? Có phải U\in C^2(W)\cap C^1(\bar{W})?
    Trong bài 2 cần chứng minh gì?
    Thứ hai, trong bài 4 câu (a) chứng minh V là hàm điều hòa hay điều hòa dưới? Vì đơn giản lấy V(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 không là hàm điều hòa và -\Delta V\le 0.
    Trong bài 4, dùng định nghĩa nào của hàm điều hòa dưới? Định nghĩa bất đẳng thức trung bình tích phân?
    Ở câu (c) bài 4 hàm \beta(U, r) là hàm gì?

  49. sorry thay, hj e chep nham de bai de , e chep lai thay nhe

  50. BAI2.

    cho W là hình cầu tâm O bàn kính r trong R^3, U\in C^2(W)\cap C^1(\bar{W})
    -\Delta U=f trong W
    U=g trên biên của W
    f,g là hàm liên tục tương ứng trong miền đóng của W và biên của W
    chứng minh rằng:
    MAX |U| < ( MAX |g| + MAX |f| )
    \bar{W} trên biên W \bar{W}

  51. BÀI3: GIẢI bài toán

    Ut=9Uxx t>0 ,x thuộc [0,pi]
    U(x,0)=sinx(1-4cosx) x thuộc [0,pi]
    U(0,t)=U(pi,t)=0

  52. BÀI4: cho W là miền bị chặn trong R^3 ,V\in C^2(W) , -Delta VR là hàm lồi và trơn
    U(x) là hàm điều hòa trong W, chứng minh rằng V(x)= B(U,r) là hàm điều hòa dưới trong W . trường hợp riêng V(x)=|DU|^2 là hàm điều hòa dưới ( DU là vecto đạo hàm riêng của U)

    bài 4 phần a ko biết có phải e chép đề sai hay không nữa ạ , nhưng nếu là ( chứng minh V(x) là hàm điều hòa dưới) thì làm thế nào hả thầy?

  53. BÀI4: cho W là miền bị chặn trong R^3 ,V\in C^2(W) , -\Delta V\le 0 mọi x thuộc W.

    a. chứng minh rằng V(X) là hàm điều hòa trong W

    b. max V(x) trên miền đóng W = max V(x) trên biên W

    c. giả sử B: R–>R là hàm lồi và trơn
    U(x) là hàm điều hòa trong W, chứng minh rằng V(x)= B(U,r) là hàm điều hòa dưới trong W . trường hợp riêng V(x)=|DU|^2 là hàm điều hòa dưới ( DU là vecto đạo hàm riêng của U)

    bài 4 phần a ko biết có phải e chép đề sai hay không nữa ạ , nhưng nếu là ( chứng minh V(x) là hàm điều hòa dưới) thì làm thế nào hả thầy?

  54. thầy ơi, e chẳng biết đánh công thức toán thế nào thầy thông cảm nhé, cảm ơn thầy

  55. thay oi em xem lai roi, bai 4 phan a la chung minh V(X) la ham dieu hoa duoi thay ah

  56. Bài 3: Tìm nghiệm của bài toán biên hỗn hợp cho phương trình parabol:
    u_t=9u_{xx}, t>0, 0<x<\pi
    với điều kiện ban đầu
    u(x, 0)=\sin{(x)}(1-4\cos{(x)})=\sin{(x)}-2\sin{(2x)}, 0\le x\le \pi,
    và điều kiện biên:
    u(0, t)=u(\pi, t)=0.
    Dùng tách biến u(x, t)=X(x)T(t)
    thu được hệ
    X^{,,}+CX=0,
    T^{,}+9CT=0.
    Do X(0)=X(\pi)=0 nên C=k^2 với k là số nguyên dương.
    Khi đó
    X_k(x)=\sin{(kx)},
    T_k(t)=e^{-9k^2t}.
    Nghiệm của bài toán biên hỗn hợp có dạng chuỗi
    u(x, t)=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k e^{-9k^2t}\sin{(kx)}.
    Thay vào điều kiện ban đầu t=0, dùng đồng nhất hệ số ta có nghiệm
    u(x, t)=e^{-9t}\sin{(x)}-2e^{-36t}\sin{(2x)}.

  57. Bài 2. Cho W=\{(x, y, z)|\; x^2+y^2+z^2 < R^2\}, hàm U\in C^2(W)\cap C^1(\overline{W})
    -\Delta U=f trong W,
    U=g trên biên \partial W.
    Ta có công thức:
    U(x)=\int\limits_{\partial W}g(y)\dfrac{\partial G(x, y)}{\partial\nu_y}dS+\int\limits_W f(y)G(x, y)dy;
    với G(x, y) là hàm Green trong hình cầu W, \nu_y là véc-tơ pháp tuyến đơn vị ngoài của mặt cầu \partial W tại điểm y.
    Nhưng tôi nghĩ bất đẳng thức:
    \max\limits_{x\in W}|U(x)|\le C(\max\limits_{x\in W}|f(x)|+\max\limits_{y\in\partial W}|g(y)|)
    với C là hằng số dương.
    Hằng số của em C=1, tôi nghĩ không đúng.

  58. Bài 4. Nếu em dùng định nghĩa hàm điều hòa dưới
    với mọi mặt cầu S(x, r)\subset W có:
    u(x)\le \dfrac{1}{|S(x, r)|}\int\limits_{S(x, r)}u(y)dS
    thì dùng công thức như tôi đã viết ở bài 2.
    Từ bất đẳng thức trên không khó khăn ta có
    với mọi hình cầu B(x, r)\subset W có:
    u(x)\le \dfrac{1}{|B(x, r)|}\int\limits_{B(x, r)}u(y)dy.
    Khi đó dễ dàng chứng minh câu (b).
    Tôi vẫn chưa hiểu hàm V(x)=B(U, r)?
    Còn ví dụ của em
    V(x)=|DU(x)|^2=\sum\limits_{k=1}^n\Big(\dfrac{\partial U(x)}{\partial x_i}\Big)^2
    ta cứ tính trực tiếp -\Delta V.
    Nếu tôi không nhầm
    \Delta V(x)=\sum\limits_{i, j=1}^n\Big(\dfrac{\partial^2 U(x)}{\partial x_i \partial x_j}\Big)^2+\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{\partial U(x)}{\partial x_i}\dfrac{\partial}{\partial x_i}\big(\Delta U(x)\big).

  59. Trong bài 4, nếu V(x)=\beta(U(x))
    với \beta:\mathbb R\to \mathbb R là hàm lồi trơn.
    Khi đó \beta^{,,}(r)\ge 0
    \Delta V(x)=\beta^{,,}(U(x))\sum\limits_{k=1}^n \Big(\dfrac{\partial U(x)}{\partial x_k}\Big)^2+
    +(\beta^{,}(U(x)))^2\Delta U(x).

    Khi đó để V(x)=|DU(x)|^2 tôi không rõ hàm \beta(r)?

  60. bai 2 la hang so C THAY AH, nhung e van chua hieu lam cach chung minh cua thay, thay co the giai chi tiet hon giup e duoc ko ah? cam on thay nhieu

  61. Bài 2, ta lấy trị tuyệt đối hai vế của đẳng thức. Chuyển dấu trị tuyệt đối vào trong. Kéo max của các hàm f, g ra ngoài dấu tích phân.
    Nhớ rằng
    + hàm G(x, y) có cỡ kỳ dị khi x=y cấp (n-2) nên khả tích tuyệt đối;
    + hàm \dfrac{\partial G(x, y)}{\partial \nu_y} không đổi dấu trên mặt cầu \partial W
    \int_{\partial W} \dfrac{\partial G(x, y)}{\partial\nu_y}dS_y=1.

  62. thầy cho e hỏi khi giải 1 bài toán phương trình truyền nhiệt có cần phải đi xây dựng công thức poatxong không hay chỉ cần áp dụng ngay công thức poatxong vây? ví dụ giải bài toán

    Ut=Uxx
    U(x,0)=cos3x ,t>0 ,x thuộc R

  63. Tôi không rõ em học lớp nào? Với Lớp K52A3 thì tôi chỉ yêu cầu áp dụng công thức để giải.

    Tuy nhiên, bài này có thể dùng tách biến để tìm nghiệm bị chặn.
    Cụ thể ta tách biến U(x, t)=X(x)T(t) ta có hệ
    X^{,,}(x)+CX(x)=0,
    T^{,}(t)+CT(t)=0.
    Chú ý rằng nghiệm X(x)T(t) là bị chặn nên C=k^2 với k là số nguyên không âm.
    Với k=0 có nghiệm bị chặn X(x)T(t)=a_0 là hằng số.
    Với k\ge 1 có nghiệm bị chặn
    X(x)T(t)=e^{-k^2t}(a_k\cos{(kx)}+b_k\sin{(kx)}).
    Nghiệm của bài toán Cauchy có dạng chuỗi
    u(x, t)=a_0+\sum_{k=1}^\infty e^{-k^2t}(a_k\cos{(kx)}+b_k\sin{(kx)}).
    Thay vào điều kiện ban đầu t=0, đồng nhất hệ số ta có nghiệm bị chặn của bài toán Cauchy
    u(x, t)=e^{-9t}\cos{(3x)}.

  64. vâng, e cũng ra kết quả như thầy thầy ah, hj,, nhưng mà e không dùng chuỗi như thầy mà dùng tích phân chuỗi fourier rồi đưa về công thức poatxông để áp dụng thầy ah

  65. ah quên mất e không học lớp k52a3 của thầy đâu ah, hì em học lớp K51A1T do thầy hoàng quốc toàn dạy ạ, môn này thi cuối kì không biết lớp e có thi cùng đề với lớp thầy không thầy nhỉ? hjchjc ah e cảm ơn thầy đã giúp đỡ e thầy nhé

  66. thua thay em muon hoi thay mot bai toan ve phuong trinh dao ham rieng duoc khong a
    thua thay em muon hoi ve cach giai bai toan neumann

  67. Em có thể lấy ví dụ một bài nào đó được không?

  68. Thưa thầy! cho em hỏi là.
    Môn PTDHR của k52 thi phần bài toán dirichler cho hình tròn và miền ngoài hình tròn nếu mà có thi thì cũng chỉ là lý thuyết chứ không phải là bài tập có đúng không ạ!

  69. Theo tôi nghĩ, tôi không phải người ra đề, thi cuối kỳ chủ yếu là bài tập.

  70. thưa thầy, lý thuyết môn này nhiều quá, mà thầy hoàng quốc toàn dạy bọn em không cho 1 tí giới hạn nào cả, cho em hỏi lớp em và lớp thấy (em học K51A1T) có chung 1 đề không ạ? và ôn lý thuyết và bài tập như thế nào cho hiệu quả ạ? trong tâm ôn vào phần nào hả thầy?

  71. Lớp K52A3 (tôi dạy) thi rồi. Tôi cũng đưa đề lên mạng rồi. Nói chung lớp toán tin tôi dạy và lớp toán được dạy khác nhau. Lớp toán tin chỉ hai tiết một tuần, còn lớp toán nhiều hơn. Tôi không rõ thầy Toàn dạy như nào và ra đề như nào?

  72. ai co the gui cho em 1 so de thi het hoc phan mon ptdao ham rieng ko a

  73. Em co the tim mot so de thi cuoi ky mon PTDHR cho lop Toan Tin hai nam gan day tren trang web nay. Tu khoa la “De thi”.

  74. thưa thầy , thầy có cuốn Phương trình đạo hàm riêng của Nguyễn Thừa Hợp ebook ko ? (Nếu có) thầy có thể cho em địa chỉ để download được ko ? Cảm ơn thầy nhiều !

  75. Tôi không có bản điện tử cuốn này! Em có thể tìm mua trong các hiệu sách của trường ĐH KHTN Hà Nội!

  76. Cho em hoi la trong khi giai bai toan tim nghiem tong quat thf gap bai sau ma loay hoay mai vn chua tim ra, hi vong thay cho y kien
    u_{xy}  - \frac{1}{{6(x + y)}}\left( {u_x  + u_y } \right) = 0
    Ban nao thich hoc PDE co the vieng tham cho nay
    http://mathvn.org/forum/viewthread.php?thread_id=1205
    thao luan ve ca bai tap cua cuon L.C EVans kha hay.

  77. Nếu là bài như này:
    u_{xy}+\dfrac{1}{x+y}(u_x+u_y)=0
    thì ta đặt u(x, y)=\dfrac{1}{x+y}v(x, y).
    Tôi chưa biết làm thế nào để mất số 6!

  78. dạ, đúng là với hệ số 1 thì nó ok và khá đơn giản nhưng với hệ số 6, và tổng quát là số thực tuỳ ý thì có vẻ ko đơn giản chút nào.
    Hình như với hệ số nằm ở tử thì có vẻ dễ hơn không biết ý thầy thế nào.

    • Phương trình
      u_{xy}-\dfrac{1}{6(x+y)}(u_x+u_y)=0
      có một nghiệm đặc biệt u(x, y)=(x+y)^{4/3}.

  79. em là sinh viên khoa Hóa bach khoa
    em đang làm đề tài về quá trình kết tinh ure
    thầy hướng dẫn cho em giải phương trình truyền nhiệt
    với tọa độ cầu với
    chân thành cám ơn thầy.

  80. Em có thể nói rõ phương trình như nào?

  81. thầy ơi thầy có thể chỉ cho em cách đưa về dạng chính tắc 1 phương trình tuyến tính cấp 2 đối với hàm nhiều biến(3 biến) được không ạ? Ví dụ:
    2u xx + 2u yy – 15u zz + 8u xy – 12u yz -12u xz= 0
    Em cảm ơn thầy!

    • Ta có thể xét phương trình tổng quát sau:
      au_{xx}+bu_{yy}+cu_{zz}+2du_{xy}+2eu_{zx}+2fu_{yz}=0
      với a, b, c, d, e, f là các hằng số thực.
      Mỗi phương trình như vậy ứng với ma trận đối xứng
      A=\begin{bmatrix} a & d & e\\ d & b & f\\ e & f & c\end{bmatrix}.

      Việc chuyển phương trình tổng quát trên về dạng chính tắc tương đương với việc chéo hóa ma trận A.
      Nếu ma trận C chéo hóa ma trận A, nghĩa là C^t A C là ma trận chéo, thì phép đổi biến sẽ là

      (\xi, \eta, \zeta)=(x, y, z)C

      u(x, y, z)=v(\xi, \eta, \zeta).

      Ta có
      \begin{bmatrix} u_x\\ u_y\\ u_z \end{bmatrix}=C\begin{bmatrix} v_\xi\\ v_\eta\\ v_\zeta \end{bmatrix}.
      Biến đổi tiếp ta được phương trình chính tắc đối với v.

  82. thưa thầy cho em hỏi trong bài toán sau:

    Utt = 9Uxx (o <= x<= pi)

    U(x,0)=0 Ut(x,t) = (cosx)^3
    Ux(0,t) = Ux(pi,t) =0

    Khi em giải theo tách biến thì được
    X''(x) / X(x) = T''(t) / 9T(t) =c

    thì trong cả hai trường hợp c=0 và c= -k^2 đều có nghiệm không tầm thường
    cụ thể trường hợp c=0 có nghiệm ở dạng U(x,t)= ax + b
    Thầy cho em hỏi khi xây dựng chuỗi kết hợp với trường hợp c=-k^2 thì em phải làm như thế nào không ạ?
    Em cảm ơn thầy

    • Em cộng thêm nghiệm dạng (ax+b) vào chuỗi nghiệm.

  83. Thưa thầy, thầy có thể hướng dẫn em làm bài 4.7 và bài 4.11 trong An-introduction được không ạ? Em không biết dạng bài này phải làm như thế nào

    • Bài 4.7 em chuyển về dạng chính tắc rồi tìm nghiệm tổng quát, từ đó chứng minh được công thức hình bình hành. Để làm câu c, dùng công thức hình bình hành. Còn câu b thì làm như câu a cho phương trình
      u_{tt}=c^2u_{xx}.
      Bài 4.11 em chỉ cần sử dụng công thức D’Alembert để tìm giá trị của u(x,t).

  84. thầy có thề chỉ em tìm ngiệm tổng quát trong an-introduction cai 1.4 b) dc ko ah?>

    • Phương trình đối với h(r):
      rh^{,,}+h^{,}(1+(h^{,})^2)=0.
      Đặt k=h^{,} ta có
      r\dfrac{dk}{dr}=k(1+k^2) hay \dfrac{dk}{k(1+k^2)}=-\dfrac{dr}{r}.
      Tích phân lên rồi tìm k=\dfrac{dh}{dr}=k(r).
      Tiếp tục tích phân ta thu được nghiệm tổng quát.

  85. Cảm ơn thầy ! thầy có thể giới thiệu cho em các sách có nội dung giống an-introduction nhưng bằng tiếng việt được ko ah ?

    • Sách PDEs bằng tiếng Việt cũng có vài cuốn nhưng rất ít. Tôi nghĩ đọc sách toán bằng tiếng Anh không phải vấn đề. Đọc vài lần sẽ quen.

  86. Em chào thầy.
    Thưa thầy, bài 37 (trang 422) trong cuốn giáo trình của thầy Hợp thì em thấy:
    điều kiện biên r=1 không thỏa mãn đẳng thức tích phân, ( tích phân=pi khác 0) nên em kết luận là bài toán vô nghiệm có đúng không ạ?
    Em cảm ơn thầy ạ.

    • Em phải lấy tích phân trên cả hai biên, lưu ý hướng của véc-tơ pháp tuyến để xem tích phân trên biên r=1, r=2 là cộng hay trừ.
      Hằng số k trên biên r=2 sẽ quyết định bài toán có nghiệm hay không.

  87. Cho em hỏi bài 3.10 b) trong tai liêu an-introduction ở câu a) có the cononical from la Vst=e^t .Em ko giài đc pt này

    • Em tích phân dần lên. Phương trình này tôi dạy nhiều lần trên lớp K54A2+A3. Em hỏi các bạn.

  88. Thay oi cho em hoi.
    Trong mot so bai toan yeu cau tim mien eliptic, prabolic cua phuong trinh dao ham rieng. Sau do yeu cau dua ve dang chinh tac eliptic.
    E da biet cach dua mot phuong trinh ve dang chinh tac nhung tim mien nao do cua phuong trinh thi e khong ro. Thay chi giup e nhe!

    • Em cần chú ý định nghĩa về tính elliptic, parabolic, hyperbolic của các phương trình. Các tính chất này được định nghĩa xuất phát từ một điểm trong miền xác định của hàm số, rồi sau đó mới đưa ra toàn miền.
      Trong trường hợp phương trình với hệ số hằng tính chất của phương trình là như nhau tại mọi điểm trong miền. Khi hệ số của phương trình biến thiên nói chung không còn đúng.

      Chẳng hạn phương trình
      u_{xx}+xu_{yy}=0, (x, y)\in\mathbb R^2.\;\;(1)

      Khi x>0: phương trình (1) là elliptic.
      Khi x<0: phương trình (1) là hyperbolic.
      Khi x=0: phương trình (1) là parabolic.

  89. e cam on Thay. Vay Thay oi, tim mien eliptic co phai la tim nghiem cua phuong trinh do khong, e hoc vat li nen chi moi lam quen voi cach dua phuong trinh ve dang chinh tac la chu yeu, vi vay khi hoi la tim mien cua phuong trinh e van chua biet nen lam the nao. Cam on Thay rat nhieu a.

  90. a em da hieu cach hoi cua bai toan. Thuc chat ta chi can tim cac gia tri cua x, y de phuong trinh la eliptic hay prabolic Thay nhi. Chang han nhu bai vi du cua Thay thi mien eliptic la x>0 con y tuy y, phai khong Thay.

    • Dung roi.

  91. Thay oi cho em hoi bai nay nua Thay nha.
    De bai cho Da thuc Lagrang voi x tu -1 den 1. Chung minh no thoa man he thuc truc giao va chuan hoa. E chua biet cach lam the nao. E khong biet cach go da thuc Lagrang tren nay. Hi vong Thay hieu cau hoi cua em.

    • Em có nhầm đa thức Lagrange với đa thức Legendre?

      Các đa thức Legendre P_n(x), n=0, 1, 2, \dots, x\in[-1, 1] thu được từ việc trực giao hóa hệ đa thức 1, x, x^2, \dots trong không gian Hilbert L^2[-1, 1] với tích vô hướng
      \int_{-1}^1 f(x)g(x)dx,\; f, g\in L^2[-1, 1].

      Cụ thể em xem

      http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials

  92. da, em nham. La da thuc Lengendre, e da doc tai lieu Thay chi nhung nhung van khong hieu. De bai yeu cau chung minh cong thuc thuc ” tich phan tu -1 den 1 cua Pm(x).Pn(x) bang 2/(2n+1).kronechker”
    Thay co the noi ro hon cach giai duoc kg a?
    e cam on Thay nhieu!

  93. van de cua em la o cho do. T chi cho e cong thuc Lepnit duoc kg a?

    • Để chứng minh đẳng thức
      \int_{-1}^1P_n(x)P_m(x)dx=\dfrac{2}{2n+1}\delta_{nm}
      một trong các cách nên thử là dùng quy nạp và sử dụng công thức truy hồi
      (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x)
      với P_0(x)=1, P_1(x)=x.

      Ta chứng minh quy nạp theo cách sau:
      +Do vai trò m, n như nhau nên ta chỉ cần chứng minh khi 0\le m\le n.
      +Ta bắt đầu với n=0: chỉ có m=n=0 nên chỉ cần kiểm tra
      \int_{-1}^1 P^2_0(x)dx=2?
      +Tiếp ta xét n=1m=0, 1 nên cần kiểm tra
      \int_{-1}^1 P_0(x)P_1(x)dx=2?
      \int_{-1}^1 P^2_1(x)dx=2/3?
      +Giả sử đã đúng với mọi k=0, 1, \dots, n ta cần chứng minh đúng với k=n+1 nghĩa là cần kiểm tra
      \int_{-1}^1 P_m(x)P_{n+1}(x)dx=0, 0\le m\le n?
      \int_{-1}^1 P^2_{n+1}(x)dx=2/(2n+3)?

      Cách khác, em sử dụng tính chất đa thức Legendre P_n(x) thỏa mãn phương trình vi phân cấp 2
      \dfrac{d}{dx}\Big((1-x^2)\dfrac{d}{dx}P_n(x)\Big)+n(n+1)P_n(x)=0
      và khai triển Taylor
      \dfrac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{n=0}^\infty P_n(x)t^n
      như trong tài liệu
      http://www.serc.iisc.ernet.in/~amohanty/SE288/l.pdf

  94. cam on thay rat nhieu nhieu

  95. Thay oi Thay chi cho em cach dua vecto nay sang toa do cau hoac
    toa do tru voi a.
    vec to A=(x+y)i+(y-z)j+(z+x)k
    Vi de bai la tim thong luong cua vecto nay qua mat cau don vi co
    tam o goc toa do.
    (Cam on Thay rat nhieu, vi nhung luc gap nhieu bai tap chang biet
    hoi ai la len mang lai co phuong an giai quyet, mac du e khong phai la hoc sinh cua truong Thay)

    • Đưa về tọa độ cầu:

      bán kính: R=\sqrt{(x+y)^2+(y-z)^2+(z+x)^2},

      góc \phi\in [0, \pi] tạo bởi véc-tơ A và trục Oz\cos(\phi)=\dfrac{z+x}{R},

      hình chiếu của véc-tơ A trên mặt phẳng Oxy: (x+y)i+(y-z)j nên góc \varphi\in [0, 2\pi] tạo bởi hình chiếu này và trục Ox
      \cos(\varphi)=\dfrac{x+y}{\sqrt{(x+y)^2+(y-z)^2}}, \sin(\varphi)=\dfrac{y-z}{\sqrt{(x+y)^2+(y-z)^2}}.

      Tôi nghĩ em không cần chuyển mà chỉ cần sử dụng Định lý Ostragradski-Gauss
      thông lượng của véc-tơ A qua mặt cầu đơn vị

      \iint_S A.n dS=\iiint_B div(A)dv.

  96. e cung da nghi den dinh li O-G nhung cung hoi cham hieu nen chua biet cach lam.

    • Định lý O-G chuyển việc tính thông lượng bằng tích phân mặt sang bằng tích phân bội ba lớp. Chú ý thông lượng của một trường qua một mặt cần nói rõ theo hướng nào (ra ngoài hay vào trong mặt kín) để từ đó áp dụng đúng công thức O-G.

  97. Dap so cua bai la 4pi phai khong Thay nhi?
    e thay trong cong thuc O-G khong noi ro huong cua vecto. Em van khong hieu y Thay la can chi ro theo huong nao la sao a?

    • Kết quả sẽ là -4\pi nếu tính thông lượng của trường véc-tơ hướng vào trong mặt cầu.

  98. da

  99. Thay oi e van chua hieu lam ve cach lay dau trong tich phan mat loai 2. e da doc giao trinh toan cao cap nhung van chua hieu lam.
    Vi du bai nay nhe: tinh tich phan tren mat S cua (Xdydz+Ydxdz+zdxdy)
    Voi S la mat elipsoit: x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1
    Trong hai truong hop vec to phap tuyen cua mat S huong vao va huong ra mat S.
    E ap dung cong thuc O-G de lam, nhung trong 2 truong hop viec lay dau cua bai toan em van chua hieu ro lam

    • Nếu hướng ra ngoài mặt S công thức O-G sẽ như bình thường
      \iint_S (xdydz + y dzdx+ zdxdy)=\iiint_B div(x, y, z) dxdydz.

      Nếu hướng vào trong thì thêm dấu “-” vào vế phải.

  100. da!

  101. Thầy cho em hỏi bài này với ạ.
    Giải bài toán bằng phương pháp Fourier:
    ut = uxx – 2u, 0<x<pi, 0<t<T
    u(0,t) = u(pi,t) = 0
    u(x,0)=x^2 – (pi)*x

    Em cảm ơn thầy!

    • Em tìm tất cả các nghiệm dạng tách biến u_n(x, t)=X_n(x)T_n(t) của phương trình

      u_t=u_{xx}-2u, 0<x<\pi, 0<t,

      và thỏa mãn điều kiện biên

      u(0, t)= u(\pi, t)=0.

      Sau đó, ta lập công thức nghiệm dạng chuỗi của bài toán ban đầu:

      u(x, t)=\sum_{n}a_n u_n(x, t).

      Nhờ điều kiện ban đầu ta tính ra hệ số a_n.

  102. Vâng,em cảm ơn,sáng đợi thầy mãi sốt ruột quá,em tự làm rồi,hi.Hy vọng sau này em cũng tâm huyết được như thầy! Best teacher!

    • Có lẽ phải để em sốt ruột như này thì tốt cho em hơn!

      Tôi chưa rõ trong đề bài của em lại có
      0<t<T?

      Vì như thế thời gian sẽ hữu hạn và có vẻ sẽ cần thêm điều kiện?

      • … thế em làm sai rồi ah?Đúng là em không để ý 0<t<T .Điều kiện bài toán em viết đủ rồi thầy ạ,đây là đề thi của khóa trước.Thôi thầy không phải nghĩ tiếp đâu,mệt ra,chắc cô giáo em không ra đề khó đâu vì môn này cô chẳng dạy buổi nào mà…Cảm ơn thầy!

      • Khi T=+\infty thực ra có thêm điều kiện

        u(x, t) bị chặn khi t ra vô cùng.

  103. Thay giup e bai nay voi a, tinh thong luong cua vec to A (0,0,z) qua mat cau x^2+3.y^2+z^2=a.
    em ap dung dinh li O-G ma chang tinh duoc a.
    Thua thay neu tinh thong luong cua vec to A(x,y,z) ma qua 2 mat cau x^2+y^2=1, z=0 va mat cau (x-2)^2+y^2=1, z=0 co phai bang nhau va bang 2pi khong a?
    cam on thay nhieu.

    • Theo Định lý O-G, thông lượng của trường véc-tơ A(0, 0, z) đi qua mặt S_1: x^2+3y^2+z^2=a^2
      \iiint_{V_1}div(A)dxdydz

      trong đó V_1: x^2+3y^2+z^2\le a^2div(A)=\dfrac{d 0}{dx}+\dfrac{d 0}{dy}+\dfrac{d z}{dz}=1.

      Vậy thông lượng cần tính là thể tích |V_1|.

      Hai mặt
      x^2+y^2=1, z=0(x-2)^2+y^2=1, z=0

      đều vô hạn cả nên có lẽ em viết nhầm?

  104. O bai 1 em khong biet cach tinh the tich V1, Thay chi giup e voi.
    Con o bai 2 de bai hoan chinh la tinh luu thong cua truong vecto A(x,y,z) doc theo cac duong tron:
    a. x^2+y^2=1, z=0
    b. (x-2)^2+y^2=1, z=0
    Thay chi giup em voi.

    • Tính thể tích V_1 em dùng hệ tọa độ cầu:
      x=r\cos(\varphi)\sin(\theta),
      y=\sqrt{3}\sin(\varphi)\sin(\theta),
      z=\cos(\theta).

      Thông lượng của trường A(x, y, z) qua đường tròn
      C_1: x^2+y^2=1, z=0

      được cho bởi

      \int_{C_1}A.nds

      với n=(x, y, 0) là véc-tơ pháp tuyến ngoài đơn vị của đường tròn C_1 tại điểm (x, y, 0).

      Khi đó A.n = x^2+ y^2 + 0=1 và thông lượng cần tính

      \int_{C_1} 1ds

      chính là chu vi của đường tròn C_1.

      Với đường tròn C_2: (x-2)^2+y^2=1, z=0 có véc-tơ pháp tuyến ngoài đơn vị tại điểm (x, y, 0)((x-2), y, 0). Phần này cách tính vẫn thế nên em tự tính nhé.

  105. cam on thay nhieu a

  106. Thầy có thể giúp em làm các bài tập dưới đây được không. Em cảm ơn thầy!
    Bài 1
    Cho A v à B là hai không gian Banach, là một tập con tuyến tính của , là toán tử tuyến tính từ vào , được gọi là toán tử đóng trên nếu từ
    Suy ra và . Chứng minh rằng toán tử thác triển yếu của toán tử được cho bởi công thức (1.5) là toán tử đóng
    Bài 2
    Giả sử A,B, đã được cho bởi Bài 1. Toán tử tuyến tính từ vào B được gọi là khả đóng trên nếu nó có thể mở rộng miền xác định để trở thành toán tử đóng. Chứng minh rằng toán tử được cho bởi công thức (1.5) là khả đóng
    Bài 3
    Giả sử v à tồn tại ( là thác triển yếu của theo công thức (1.6). Chứng minh rằng có thể chọn thích hợp để khi đó u có đạo hàm suy rộng theo biến bất kì
    Với công thức (1.5), (1.6) được định nghĩa trong sách:
    Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
    Tác giả : Nguyễn Mạnh Hùng
    Trong phần
    Hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một

    Kí hiệu . Giả sử

    là các hàm đã cho phụ thuộc vào biến . Xét phương trình đạo hàm riêng cấp một sau:
    ,
    ở đó là các hàm của biến .
    Hệ (1.1) gọi là hệ đối xứng các phương trình đạo hàm riêng cấp một nếu thỏa mãn:

    Hệ (1.1) được gọi là hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một nếu (1.1) là hệ đối xứng các phương trình dạo hàm riêng cấp một và thỏa mãn thêm điều kiện:
    (1.3)
    với mọi
    Ta đưa vào kí hiệu các ma trận

    Khi đó phương trình 1(.1) được viết dưới dạng ma trận
    (1.4)
    ở đó và ,

    Vậy, nếu là các ma trận đối xứng, thi hệ (1.4) là hệ phương trình đạo hàm riêng cấp một, còn nếu thêm giả thiết là xác định dương, thì (1.4) là hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một.

    2.1.Nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một

    Xét toán tử vi phân ma trận
    (1.5)
    Giả thiết tồn tại các đạo hàm riêng
    Khi đó có toán tử vi phân liên hợp hình thức của toán tử :

    ở đó và là các ma trận liên hợp tương ứng với và . Giả sử là bất kì trong ta đưa vào không gian tích vô hướng

    với mọi hàm thuộc . Khi đó chuẩn được sinh ra từ tích vô hướng này là:

    Tất cả các khái niệm đã đưa vào ở trên trong được chuyển vào trong . Khi đó toán tử được cho bởi công thức (1.5) là một toán tử tuyến tính từ vào trong . Tuy nhiên nó chưa phải là toán tử đóng trên . Do đó ta có thể mở rộng miền xác định của toán tử , tức là thác triển toán tử . Thác triển yêú toán tử ta được toán tử từ đến với là miền xác định của . Bây giờ cùng với (1.5) ta xét phương trình sau:
    (1.6)
    ở đó là một số nào đó, là toán tử cho bởi công thức (1.5), , còn .
    Một hàm được gọi là nghiệm suy rộng trong không gian của phương trình (1.6) nếu và thỏa mãn đẳng thức

    ở đây . Khi đó ta viết và là thác triển yếu của toán tử

    • Tôi không hiểu em viết gì?

  107. Em thưa thầy, thầy có thể giúp em làm các bài tập 4.2; 4.3;4.4
    ở trang 227-228, trong sách:
    Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
    Tác giả : Nguyễn Mạnh Hùng
    Em cảm ơn thầy!

    • Tôi không có sách của thầy Hùng nên không biết giúp em bằng cách nào?

  108. em chào thầy,thầy hướng dẫn cho em cách giải bài toán này với ạ

    Đưa phương trình sau về dạng chính tắc
    u_xx^” -〖 (1+y)〗^2.u_yy^” +〖 u〗_x^’ = 0

    • Tôi không rõ em viết phương trình gì?

      • Uxx^” – (1+y)^2.Uyy^” + Ux^’ = 0

  109. em thưa thầy ^” không phải là của xx mà là của U,còn Uxx không phải là phép nhân U với xx
    em đánh word 7 copy sang nhưng không được nhìn khó hiểu

    • Có phải phương trình
      u_{xx}-(1+y)^2u_{yy}+u_x=0?

      Nếu đúng như vậy, ta xét phương trình đặc trưng

      (dy)^2-(1+y)^2(dx)^2=0

      có hai họ nghiệm

      ln|1+y|=\pm x+C

      hay

      (1+y)e^{\pm x}=C.

      Đổi biến

      \xi=(1+y)e^x, \eta=(1+y)e^{-x}

      ta được phương trình cho v(\xi, \eta)=u(x, y) như sau

      -4\xi\eta v_{\xi\eta}+2\eta v_\eta=0

      (em tự tính nhé).

      Rút gọn ta được

      2\xi v_{\xi\eta}=v_\eta.

      Đến đây em tích phân lên là được.

      Em có thể đổi biến theo cách khác

      \xi=ln|1+y|+x, \eta=ln|1+y|-x

      ta được phương trình

      -4v_{\xi\eta}-2v_\eta=0.

  110. thầy ơi không phải thầy ah ở Uxx, Uyy, còn có ^” nữa ạ còn Ux thêm ^’ là phương trình đạo hàm riêng hạng hai thầy ạ

    • Ký hiệu u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}, u_{xx}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}.

      Không rõ đã đúng như việc em thêm ^’, ^”?

  111. thầy cho em gmail em chụp đề bài rồi gửi cho thầy được không ạ,em chuẩn bị thi cao học vật lý phải thi toán mà toán em học lâu rồi không rõ làm có đúng nữa không,em cảm ơn thầy ạ

    • Tôi nghĩ mình viết khá rõ để em hiểu. Nếu em vẫn thấy chưa hiểu tôi có viết nữa chắc cũng chỉ vậy thôi. Như vậy em hỏi người khác sẽ hữu ích hơn cho em.

      • dạ cảm ơn thầy,em đã hiểu đề bài thầy viết nhưng đó không phải là đề bài em cần hỏi ( U”xx ) thầy ạ

      • Cho tôi hỏi lại:

        U”xx = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}?

        Nếu không phải thì tôi chịu không biết giải thế nào?

        Nếu đúng thì xin em đọc kỹ những gì tôi viết!

        Tôi xin dừng việc trả lời em ở đây. Mong em thông cảm!

  112. đúng như thầy viết rồi ah,cảm ơn thầy

  113. Thầy ơi, thầy giúp em viết công thức nghiệm của bài toán này được không ạ?
    \delta u=u_{xx}+u_{yy}=0 trên \Omega
    u(x,0)=\varphi(x)
    u_{y}(x,0)=\psi(x)

    Và bài toán:
    \delta u=u_{xx}+u_{yy}=0 trên \Omega
    u(x,a)=f(x)
    u_{y}(x,0)=\psi(x)

    với điều kiện biên : u(0;y)=u(1;y)=0

    Thưa thầy, có phải bài toán 1 , các dữ kiện biên chỉ được cho trên cạnh dưới hình chữ nhật là bài toán đặt ko chỉnh, còn bài toán biên hỗn hợp thứ 2 lại là bài toán đặt chỉnh ?

    • Em không cho \Omega là gì tôi không biết trả lời em thế nào?

  114. à, em xin lỗi thầy ạ, \Omega là hình chữ nhật ạ(có 2 cạnh chính là 2 trục Ox và Oy, chiều dài là 1, chiều rộng là a)!bài toán cho điều kiện ở 2 cạnh bên=0, và chỉ cho biết giá trị của u trên cạnh dưới, và đk neumann. Bài bên dưới lại cho giá trị của u trên cạnh trên, và đạo hàm ở cạnh dưới! Về mặt ý nghĩa thì điều đó có gì khác nhau hả thầy?

    • Bài toán 1 đúng là không đặt chỉnh vì nó có vô số nghiệm.

      Bài toán 2 đặt chỉnh và giải được bằng phương pháp tách biến.

      Về ý nghĩa vật lý thì tôi không biết.

      • Dạ, em cám ơn thầy ạ!^^ Nhờ tài liệu về phương pháp tách biến của thầy mà em biết cách giải bài toán trên rồi ạ! Cám ơn thầy rất nhiều. Chúc thầy mạnh khỏe và dạy tốt!


Gửi phản hồi

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Chuyên mục

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: