Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Tư 15, 2008

Phương pháp tách biến

Phương pháp tách biến

Một trong những công cụ hiệu quả để giải Phương trinh vi phân đạo hàm riêng là Phương pháp tách biến. Vậy nội dung của Phương pháp tách biến là gì?

Phương pháp tách biến nhằm tìm những nghiệm đặc biệt của Phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng cách chuyển về các phương trình vi phân thường. Các nghiệm đặc biệt có một số tích chất đặc biệt. Thứ nhất, nó có dạng tích hay tổng của các hàm một biến. Thứ hai, và rất quan trọng, nó lập nên một cơ sở trực chuẩn của không gian nghiệm của Phương trình. Nghĩa là, mọi nghiệm của Phương trình đều có thể biểu diễn qua chuỗi vô hạn các nghiệm đặc biệt đó. Điều này rất có ý nghĩa khi ta tìm nghiệm của Bài toán biên (hỗn hợp) cho Phương trình elliptic (parabolic, hyperbolic). Các điều kiện biên giúp cho ta xác định hệ số của chuỗi vô hạn. Từ đó ta xác định được nghiệm của Bài toán biên (hỗn hợp).

Chi tiết hơn, xin độc giả xem qua tài liệu “Phương pháp tách biến” trên.

 

Posted in Uncategorized

«
»

Trả lời

  1. Bài tập 5.9, trong Giáo trình Tiếng Anh, tìm u thỏa mãn
    u_t(x, t)- u_{xx}(x, t)- hu(x, t)=0, 0<x< \pi, t>0,
    u(0, t)=u(\pi, t)=0, t>0,
    u(x, 0)= x(\pi-x), 0<x < \pi.
    Ta giải bằng phương pháp tách biến u(x, t)=X(x)T(t).
    Ta sẽ thu được hai phương trình vi phân thường
    X^{''} - \mu X=0,
    T^{'}- (h+\mu)T=0.
    Từ điều kiện biên X(0)=X(\pi)=0.
    Để nghiệm thu được không tầm thường thì \mu=-k^2, k\in\mathbb N.
    Khi đó
    X_k(x)=\sin{(kx)}, T_k(t)=e^{(h-k^2)t}.
    Nghiệm của bài toán ban đầu được tìm dưới dạng
    u(x, t)=\sum_{k=1}^\infty b_ke^{(h-k^2)t}\sin{(kx)}.
    Thay vào điều kiện ban đầu
    u(x, 0)=\sum_{k=1}^\infty b_k\sin{(kx)}=x(\pi- x)
    có
    b_k=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x(\pi - x)\sin{(kx)}dx= \frac{4}{k^3\pi}\big(1-(-1)^k\big).
    Như vậy nghiệm của bài toán ban đầu
    u(x, t)=\sum_{k=1}^\infty\frac{4}{k^3 \pi} \big(1-(-1)^k\big) e^{(h-k^2)t}\sin{(kx)}.
    Lý luận của tôi (29/04/2008) về sự hội tụ của giới hạn \lim_{t\to +\infty}u(x, t) theo h là không đúng!
    Chính xác phải như sau.
    Nếu h>1 thì có một số tự nhiên k_0 sao cho (k_0+1)^2\ge h>k_0^2. Đặt h_0=(k_0+1)^2-h
    Có
    \sum_{k=k_0+1}^\infty b_k e^{(h-k^2)t}\sin{(kx)}=
    =e^{-h_0t}\sum_{k=k_0+1}^\infty b_ke^{((k_0+1)^2-k^2)t}\sin{(kx)}
    hội tụ khi t tiến ra vô cùng vì
    |b_ke^{((k_0+1)^2-k^2)t}\sin{(kx)}|\le |b_k|\le \frac{C}{k^3}, k\ge k_0+1.
    Còn khi 1\le k^2\le k_0^2<h hàm u(x, t) không có giới hạn khi t tiến ra vô cùng với x phù hợp.
    Với h<1, lý luận như phần đầu có \lim_{t\to\infty}u(x, t)=0.
    Với h=1, giới hạn đó \frac{8}{\pi}\sin{x}.
    Sự hội tụ này là hội tụ đều theo Weierstrass.

    Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Tư 29, 2008
    lúc 4:48 chiều

    Trả lời

  2. Em cảm ơn thầy nhiều!

    Bởi: phamkimphuong ngày Tháng Năm 4, 2008
    lúc 1:43 chiều

    Trả lời

  3. Em thưa thầy! Khi h=1 thì tại sao giới hạn đó là 8 \sin{x} ạ?

    Bởi: phamkimphuong ngày Tháng Năm 5, 2008
    lúc 3:39 chiều

    Trả lời

  4. Tôi có nhầm đôi chút! Khi h=1 giới hạn đó \frac{8}{\pi}\sin{x}.
    Vì bỏ k=1 ở trong chuỗi ra, thì lập luận như phần đầu h=1<2^2, giới hạn khi t tiến ra vô cùng bằng $0.$
    Còn với k=1 chú ý h=1=k^2 nên số hạng ứng với k=1
    b_1\sin{x}=\frac{8}{\pi}\sin{x}.

    Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Năm 6, 2008
    lúc 3:00 sáng

    Trả lời

  5. Xác định dao động của thanh nếu 1 nút gắn chặt còn 1 nút tự do. Biết cả điều kiện ban đầu
    vận tốc truyền sóng bằng F(x) và độ lệch của dây lúc ban đầu bằng 0. Thầy ơi giải giúp em! Em cám ơn thầy nhiều.

    Bởi: nguyen hong ha ngày Tháng Mười 4, 2008
    lúc 8:28 sáng

    Trả lời

  6. Thầy ơi giải giúp em ngay nhé! Vì em sắp phải kiểm tra mà em chưa hiểu gì cả.

    Bởi: nguyen hong ha ngày Tháng Mười 4, 2008
    lúc 10:01 sáng

    Trả lời

  7. Bài toán này thuộc về bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyền sóng
    \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, L>x>0, t>0,
    với điều kiện ban đầu
    u(x, 0)=0, L>x>0, (độ lệch ban đầu của dây)
    \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)=F(x), L>x>0 (vận tốc truyền sóng ban đầu của dây)
    và điều kiện biên Dirichlet
    u(0, t)=0, t>0. (đầu cố định)
    Nhưng tôi thấy vẫn còn thiếu nhiều dữ kiện: a, đầu kia của dây chuyển động thế nào
    u(L, t)=?
    Nếu có những thứ đó ta sẽ tìm nghiệm bằng phương pháp tách biến!

    Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Mười 5, 2008
    lúc 12:25 chiều

    Trả lời

  8. Tôi xin lỗi! Đầu tự do của thanh ứng với điều kiện Neumann
    \frac{\partial u}{\partial x}(L, t)=0, t>0.

    Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Mười 6, 2008
    lúc 12:51 sáng

    Trả lời

  9. Sau khi dùng tách biến, ta tìm nghiệm dưới dạng:
    u(x, t)=\sum\limits_{k=0}^\infty \sin{\big[(\frac{\pi}{2}+k\pi)\frac{x}{L}\big]}\times
    \times\Big\{a_k\sin{\big[(\frac{\pi}{2}+k\pi)\frac{at}{L}\big]}+b_k\cos{\big[(\frac{\pi}{2}+k\pi)\frac{at}{L}\big]}\Big\}.
    Vấn đề còn lại tìm a_k, b_k qua điều kiện ban đầu:
    u(x, 0)=0,
    \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)=F(x).
    Ta cứ thay công thức nghiệm dạng chuỗi như trên vào, rồi tìm hệ số Fourier là tính được a_k, b_k.

    Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Mười 6, 2008
    lúc 3:35 sáng

    Trả lời

  10. Em cám ơn thầy nhưng bài giảng của thầy. Em không đọc được. Em không biết là tại sao nữa?
    Em hiểu rùi thầy ạ! Em cám ơn thầy nhiều. Em chúc thầy luôn dồi dào sức khỏe hạnh phúc và có nhưng bài giải hay giúp bọn em. Em chào thầy.

    Bởi: nguyen hong ha ngày Tháng Mười 8, 2008
    lúc 10:52 sáng

    Trả lời

  11. Cho em hỏi bài toán thế này: cho p >q>1; w là tập bị chặn. Chứng minh: p>q thì Lp(w) là con của Lq(w)

    Bởi: Hảo Nguyễn ngày Tháng Mười Một 10, 2009
    lúc 6:11 chiều

    Trả lời

  12. Cái này dùng Bất đẳng thức Holder:
    \int\limits_w |f(x)|^q .1 dx \le (\int\limits_w |f(x)|^pdx)^{q/p}(\int\limits_w 1dx)^{1-q/p}.

    Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Mười Một 10, 2009
    lúc 7:55 chiều

    Trả lời


Gửi phản hồi






Phản hồi của bạn:

Chuyên mục