Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Mười Hai 16, 2008

Đổi thứ tự lấy tích phân

Năm ngoái, tôi có cho lớp K51A2 một bài đổi thứ tự lấy tích phân của tích phân ba lớp:

I=\int_0^1 dx \int_0^{x^2} dy \int_0^{x^2+y} f(x, y, z)dz.

Miền lấy tích phân V=\{0\le x\le 1, 0\le y\le x^2, 0\le z\le x^2+y\}

datuan71

datuan8

datuan9

Với mỗi x_0\in (0, 1) kẻ mặt phẳng vuông góc với trục 0x cắt miền V như sau

datuan81

Chiếu thiết diện trên xuống mặt phẳng 0yz có D_{x_0}=\{x=x_0, 0\le y\le x_0^2, 0\le z\le x_0^2+y \}

=\{x=x_0, 0\le z\le x_0^2, 0\le y\le x_0^2 \}

\cup \{x=x_0, x_0^2\le z\le 2x_0^2, z - x_0^2\le y\le x_0^2\}

nên

I=\int_0^1 dx \int_0^{x^2} dy \int_0^{x^2 + y} f(x, y, z) dz

=\int_0^1 dx \int_0^{x^2} dz \int_0^{x^2} f(x, y, z) dy + \int_0^1 dx \int_{x^2}^{2x^2} dz \int_{z-x^2}^{x^2} f(x, y, z) dy.

Với mỗi y_0\in (0, 1) mặt phẳng vuông góc với trục 0y cắt miền V như sau

datuan82

Chiếu thiết diện trên xuống mặt 0zx có

D_{y_0}=\{y=y_0, \sqrt{y_0} \le x \le 1, 0\le z\le x^2+y_0 \}

=\{y=y_0, 0\le z\le 2y_0, \sqrt{y_0}\le x\le 1 \}

\cup \{y=y_0, 2y_0\le z\le 1+y_0, \sqrt{z - y_0}\le x\le 1\}

nên

I=\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^{1} dx \int_0^{x^2 + y} f(x, y, z) dz

=\int_0^1 dy \int_0^{2y} dz \int_{\sqrt{y}}^{1} f(x, y, z) dx + \int_0^1 dy \int_{2y}^{1+y} dz \int_{\sqrt{z-y}}^{1} f(x, y, z) dx.

Với mỗi z_0\in (0, 1) mặt phẳng vuông góc với trục 0z cắt miền V như sau

datuan83

datuan831

Chiếu thiết diện trên xuống mặt phẳng 0xy có

D_{z_0}=\{z=z_0, \sqrt{\dfrac{z_0}{2}}\le x\le \sqrt{z_0}, z_0 - x^2\le y\le x^2\}

\cup \{z=z_0, \sqrt{z}\le x\le 1, 0\le y\le x^2\}=

=\{z=z_0, 0\le y\le \dfrac{z_0}{2}, \sqrt{z_0-y}\le x\le 1 \}

\cup \{z=z_0, \sqrt{z_0}{2}\le y\le 1, \sqrt{ y}\le x\le 1\}.

Với mỗi z_0\in (1, 2) mặt phẳng vuông góc với trục 0z cắt miền V như sau

datuan84

Chiếu thiết diện trên xuống mặt phẳng 0xy có

D_{z_0}=\{z=z_0, \sqrt{\dfrac{z_0}{2}}\le x \le 1, z_0 - x^2\le y\le x^2\}

=\{z=z_0, z_0 - 1\le y\le \dfrac{z_0}{2}, \sqrt{z_0-y}\le x\le 1 \}

\cup \{z=z_0, \dfrac{z_0}{2}\le y\le 1, \sqrt{ y}\le x\le 1\}.

Phần này, việc lập tích phân xin được dành cho bạn đọc!

Posted in Uncategorized

«
»

Gửi phản hồi






Phản hồi của bạn:

Chuyên mục