Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Ba 29, 2009

Phương trình hyperbolic cấp 2 với hệ số hằng

Trong phần “Đề thi giữa kỳ môn PTVP ĐHR K51A2+A3″ cậu cuong có hỏi về phương trình u_{xy}+au_x+bu_y+abu=0, a, b là các hằng số, là dạng đặc biệt của phương trình hyperbolic cấp 2 với hệ số hằng.

Trong bài này, tôi sẽ trình bày cách giải cho trường hợp tổng quát dựa theo cuốn

“PDEs of Mathematical Physics and Integral Equations”

của R. B. Guenther & J. W. Lee.

Xuất phát từ dạng tổng quát của phương trình

au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}+du_x+eu_y+fu=g

với a, b, c, d, e, f là các hằng số thỏa mãn

b^2-ac>0

và g là hàm theo biến x, y đủ tốt.

Bằng phép đổi biến thích hợp

\xi=\xi(x, y), \eta=\eta(x, y)

ta chuyển được phương trình về dạng chính tắc

v_{\xi\eta}+mv_{\xi}+nv_{\eta}+pv=h

với m, n, p là các hằng số và h là hàm theo \xi, \eta.

Xét hàm w(\xi, \eta)=e^{\alpha\xi+\beta\eta}v(\xi, \eta)

với \alpha, \beta là các hằng số phù hợp để

w_{\xi \eta}=e^{\alpha\xi+\beta\eta}(v_{\xi \eta}+mv_{\xi}+nv_\eta +p'v).

Khi đó ta thu được phương trình dạng

w_{\xi\eta}(\xi, \eta)+(p-p')w(\xi,\eta)=e^{\alpha\xi+\beta\eta}h(\xi, \eta).

Không khó khăn gì ta tìm được w(\xi, \eta). Từ đó, quay ngược trở lại ta tìm được u(x, y).

Nếu có hứng thú, độc giả có thể thử tự tìm nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình

u_{tt}+2u_t=u_{xx}, -\infty<x<+\infty, t>0,

với điều kiện ban đầu

u(x, 0)=0, u_t(x, 0)=x, -\infty<x<+\infty.

Posted in Uncategorized

«
»

Gửi phản hồi






Phản hồi của bạn:

Chuyên mục