Bài toán biên Dirichlet trên nửa dải vô hạn

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Tư 13, 2009

Bài toán biên Dirichlet trên nửa dải vô hạn

Bằng phương pháp tách biến ta có thể tìm nghiệm bị chặn của bài toán biên Dirichlet cho phương trình Laplace

$\Delta u=0$ trong dải $0<x<+\infty, 0<y<\pi,$

với điều kiện biên

$u(x, 0)=u(x, \pi)=0, 0\le x<\infty$

và $u(0, y)=1, 0\le y\le \pi$

dưới dạng chuỗi $u(x, y)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n e^{-nx}\sin{(ny)}.$

Sau đó, thay vào điều kiện $x=0$

$u(0, y)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n \sin{(ny)}=1$

ta giải được $a_n, n=1, 2, \dots .$

Tuy nhiên, người ta có thể chuyển bài toán trên về bài toán trong hình tròn qua các phép đổi biến. Dưới đây, tôi trình bày cách tiếp cận bằng phương pháp hàm biến phức mà tôi vừa được học từ GS. Donald Marshall.

Coi mặt phẳng $\mathbb R^2$ như mặt phẳng phức $\mathbb C.$

Ta sử dụng các phép biến hình:

+ phép $f_1(z)=e^z$ biến dải $\{z|\; 0\le Im z \le \pi, 0\le Re z\}$ thành miền $\{z|\; 0\le Im z, 1\le |z|\}$ ;

+phép $f_2(z)=\dfrac{1}{2}(z+\dfrac{1}{z})$ biến miền $\{z|\; 0\le Im z, 1\le |z|\}$ thành nửa mặt phẳng $\{z|\; Re z\ge 0\}$

+phép $f_3(z)=\dfrac{z-i}{z+i}$ biến miền $\{z|\; Re z\ge 0\}$ thành hình tròn $\{z|\; |z|\le 1\}.$

Hàm điều hòa $u:\{z|\; 0\le Im z\le \pi, 0\le Re z\}\to \mathbb R$ thỏa mãn điều kiện biên

$u(z)=0$ khi $Im z=0$ hoặc $Im z=\pi,$

và $u(z)=1$ khi $Rez=0$

khi và chỉ khi hàm $v=u o \varphi:\{z|\; |z|\le 1\}\to \mathbb R$ là hàm điều hòa, với $\varphi=(f_3 o f_2 o f_1)^{-1},$ thỏa mãn điều kiện biên

$v(z)=0$ khi $|z|=1, Re z\ge 0,$

và $v(z)=1$ khi $|z|=1, Re z\le 0.$

Posted in Uncategorized

Trả lời

Chú ý: $u$ là hàm điều hòa, $f$ là hàm giải tích thì $u o f$ là hàm điều hòa nhưng $f o u$ nói chung không là hàm điều hòa.

Ví dụ: $u=Re z$ là hàm điều hòa, $f(z)=z^2$ là hàm giải tích có

$f(u(z))=x^2$ không là hàm điều hòa
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Tư 15, 2009
lúc 9:47 chiều

Trả lời
Hi, em cũng đang làm một số vấn đề về sử dụng đổi biến để giải phương trình Kolmogorov backward. Việc đổi biến qua hàm trơn x=f(y) đưa phương trình theo x trong miền $\Omega$ về phương trình theo y trong miền $\Omega'$ không làm thay đổi toán tử Laplace-Beltrami (giống như tính bất biến điều hòa khi đổi biến qua hàm chỉnh hình) nhưng sẽ bị thay đổi qua các toán tử cấp thấp hơn.

PS. Điều kiện biên chắc phải chú ý kỹ hơn nếu không hàm u sẽ là hàm đa trị tại $(0,0), (0,\pi)$
Bởi: Tran Tat Dat ngày Tháng Năm 13, 2009
lúc 4:51 chiều

Trả lời
Cảm ơn Đạt!
Đúng là anh để dấu bằng chưa hợp lý!
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Năm 13, 2009
lúc 7:00 chiều

Trả lời
thầy ơi thầy cho em hỏi chút ạ!
em đọc vở của một bạn học ở k52a2_toán tin, em thấy bên ấy các bạn ấy học khác lắm thầy ạ. em thấy chủ yếu các bạn ấy học lý thuyết, bài tập chỉ là vận dụng. liệu đề thi cuối kỳ có nhiều lý thuyết không ạ. nếu có thì nó có thể vào dạng nào được ạ?
Bởi: lientk ngày Tháng Năm 18, 2009
lúc 12:31 chiều

Trả lời
Tốt nhất em sang hỏi thầy Ngọc dạy lớp K52A2.
Trước khi đi tôi có hỏi qua thầy Ngọc. Thầy bảo chủ yếu sẽ là bài tập. Nhưng em nên trực tiếp hỏi thầy ấy xem sao.
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Năm 18, 2009
lúc 6:34 chiều

Trả lời
Có gì thắc mắc về lý thuyết em cứ lên đây hỏi tôi.
Nếu không em có thế chat với tôi qua nick datuan80 (chú ý chỗ tôi ở chậm hợn Hà Nội 14h).
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Năm 18, 2009
lúc 6:39 chiều

Trả lời
thưa thầy, thầy có thể nói rõ hơn cho em về cách tính tích phân năng lượng được không ạ, em xem mấy chỗ nhưng mà nó khác nhau nên em không hiểu
Bởi: vũ thái học ngày Tháng Năm 27, 2009
lúc 3:45 sáng

Trả lời
Tính tích phân năng lượng chủ yếu hoặc dùng tích phân từng phần (thường cho phương trình elliptic trên mặt phẳng, parabolic và hyperbolic trên một chiều không gian); và các công thức Ostrogradski-Gauss (trong trường hợp phương trình elliptic ba chiều).
Trong trường hợp phương trình elliptic trên mặt phẳng, để tích tích phân năng lượng có lúc phải dùng công thức Green.
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Năm 27, 2009
lúc 6:53 sáng

Trả lời
Thưa thầy cho em hỏi thêm về bài toán này:
$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)+u(x,t)+f(x,t), (0<x<\dfrac{\pi}{2})$
$u_x(0,t)= u(\dfrac{\pi}{2},t)= u(x,0)= 0$

Đề thi có dạng như thế này không thầy
Bởi: Nguyen Manh Cuong ngày Tháng Năm 27, 2009
lúc 9:15 sáng

Trả lời
Đề thi không có dạng này!
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Năm 27, 2009
lúc 11:21 sáng

Trả lời
Còn nếu em muốn tìm hiểu thì giải bài này đầu tiên cũng dùng phương pháp tách biến với $f=0.$
Sau đó, dùng nguyên lý Duhamel.
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Năm 27, 2009
lúc 12:19 chiều

Trả lời
Thưa thầy, với các bài toán có các điều kiện biên thì đề bài cho ở dạng đồng nhất hệ số hay các hệ số bắt buộc phải xác định qua hệ số Fourier ạ.
Ví dụ phải tính $a_0$ trong bài toán biên Dirichlet trong $\Omega= B_1(0)$ như sau:
$a_0= \dfrac{1}{2\pi}\int_0^2\pi g(\xi)d\xi$
Bởi: Nguyễn Mạnh Cường ngày Tháng Năm 27, 2009
lúc 3:13 chiều

Trả lời
Cho em hỏi thêm về bài 2 trong lần thi cuối kỳ năm 2008:
$u_{tt}(x,t)+ u_t(x,t)- u_{xx}(x,t)= 0, 0<x0$
Với điều kiện biên:
$u(0,t= u(1,t)= 0), t\ge 0$
Và điều kiện ban đầu:
$u(x,0)= u_t(x,0)= 0. 0\le x\le 1$ .
CM $u=0$

Bài toán có hướng dẫn là dùng tích phân năng lượng, ý nghĩa của nó có phải là chứng minh nó là nghiệm duy nhất không ạ!
Bởi: Nguyễn Mạnh Cường ngày Tháng Năm 27, 2009
lúc 3:59 chiều

Trả lời
Theo tôi nghĩ, bài thi sẽ chủ yếu là đồng nhất hệ số.
Còn bài sau chính là chứng minh tính duy nhất nghiệm.
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Năm 27, 2009
lúc 11:52 chiều

Trả lời
Thưa thầy sao đề thi cuối kỳ của 2 lớp A2 va A3 khác nhau 1 trời 1 vực vậy ạ. Đề của lớp A2 thi bài tập toàn bài dễ trong khi đề cho lớp A3 thi toàn bài khó và dài tai sao lại có sự bất công quá mức ở đây vậy ạ!
Bởi: vũ thái học ngày Tháng Năm 30, 2009
lúc 9:03 chiều

Trả lời
Thưa thầy cho em hỏi tai sao đề của 2 lớp A2 và A3 lai khac nhau. Trong khi lớp A2 co thời gian học dài ma lại được đề dễ hơn lớp A3 rất nhieu để làm được 5 diểm trở lên là qua dễ mà lớp A3 thời gian ôn học ít mà đề thì khó quá để đạt điểm 5 la khó.
Bởi: long ngày Tháng Năm 30, 2009
lúc 9:07 chiều

Trả lời
Thưa thầy sao đề thi cua 2 lớp A2,A3 chênh lệch nhau nhiều quá vậy trong khi lớp A3 phai học cấp tốc ma đề khó gấp nhiều lần so với lớp A2.
Bởi: hoc ngày Tháng Năm 30, 2009
lúc 9:10 chiều

Trả lời
Tôi chưa biết đề thi nên cũng không hiểu thế nào?
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Năm 30, 2009
lúc 10:19 chiều

Trả lời

T2	T3	T4	T5	T6	T7	CN
« Tháng 3				Tháng 5 »
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30

	datuan5pdes trong bài Một số Công thức tính khối lượ…
	phan dang khoa trong bài Một số Công thức tính khối lượ…
	datuan5pdes trong bài Đề thi giữa kỳ GTV lớp K53A1S …
	nguyễn thị hiên trong bài Đề thi giữa kỳ GTV lớp K53A1S …
	datuan5pdes trong bài Phương pháp tách biến

Giải tích

Bài toán biên Dirichlet trên nửa dải vô hạn

Trả lời

Gửi phản hồi

Chuyên mục

Trang

a

Blogroll

Lưu trữ

Bài viết mới

Phản hồi gần đây

Cách gõ Công thức

Số người tham quan

Quỹ đạo xoáy tiệm cận đến đường tròn