Định lý Bolzano-Cauchy đơn giản khẳng định một điều sau:

Trong Hà Nội, để đi thăm hồ Gươm từ trường Đại học Khoa học Tự nhiên, theo đường bộ, kiểu gì ta cũng phải đi qua đường sắt!

Dùng Định lý Bolzano-Cauchy ta có thể chứng minh được nhiều điều, trong đó có một sự kiện.

 

Cho mặt trụ như trên hình vẽ (đường tròn dưới nằm trên mặt phẳng, đường cong trên nằm trong mặt cong). Cho một đường thẳng dựa trên đường cong trên của trụ, quay tựa xung quanh trục của trụ. Khi đó, sẽ có lúc đường thẳng nằm song song với đường tròn dưới.

Khẳng định trên cũng còn có thể diễn đạt như sau:

Ta nung một vòng tròn thép. Ở một thời điểm, ta luôn tìm được một cặp điểm đối xứng qua tâm mà ở đó chúng đạt cùng một nhiệt độ.

Mở rộng lên trường hợp hai chiều:

Hãy tưởng tượng Trái Đất của chúng ta có dạng hình cầu. Tại một thời điểm, ta luôn tìm được hai vị trí trên mặt đất, đối xứng qua tâm, mà ở đó chúng có cùng nhiệt độ và áp suất.

Tiếp tục mở rộng ta có Định lý Borsuk-Ulam:

Cho hàm liên tục, trong đó là mặt cầu trong không gian Khi đó sẽ có điểm sao cho