Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Chín 18, 2010

Trao đổi Giải tích 1 và 2 – Lớp K55A2

Trong bài giảng hôm thứ tư, ngày 15/09/2010, tôi có trình bày hai vấn đề chính.

Thứ nhất, về cận dưới đúng và cận trên đúng. Liên quan đến vấn đề này có những khái niệm:

+) quan hệ thứ tự (bộ phận, toàn phần),

+)chặn trên, chặn dưới của một tập hợp (có sắp thứ tự),

+)tập bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn,

+)phần tử bé nhất, phần tử lớn nhất.

Ta lướt qua các tập hợp có sắp thứ tự đã biết sau.

+) Tập số tự nhiên \mathbb N=\{1, 2, \dots\} với thứ tự thông thường là tập có quan hệ thứ tự toàn phần.

Mọi tập con trong tập số tự nhiên đều có phần tử bé nhất (cận dưới đúng thuộc vào tập con).

Nếu tập con của tập số tự nhiên bị chặn trên (có hữu hạn phần tử) thì nó có phần tử lớn nhất (cận trên đúng thuộc vào tập con).

+) Tập số tự nhiên \mathbb N=\{1, 2, \dots\} với thứ tự như sau:

với hai số tự nhiên m, n\in\mathbb N, ta định nghĩa m\ge n nếu m chia hết cho n hay nói cách khác n là ước số của m,

lập thành một tập có quan hệ thứ tự bộ phận (vì 2, 3 không so sánh được với nhau).

Mọi tập con trong tập số tự nhiên đều có phần tử bé nhất  là ƯỚC SỐ CHUNG LỚN NHẤT của các phần tử trong tập.

Mọi tập con trong tập số tự nhiên bị chặn trên (có hữu hạn phần tử) có cận trên đúng là BỘI SỐ CHUNG NHỎ NHẤT của các phần tử trong tập. Cận trên đúng không nhất thiết là phần tử lớn nhất. Chẳng hạn tập \{2, 3\} có cận trên đúng là 6 nhưng không có phần tử lớn nhất.

+) Tập số nguyên \mathbb Z=\{ 0, \pm 1, \pm 2, \dots \}với thứ tự thông thường là tập có quan hệ thứ tự toàn phần.

Nếu tập con của tập số nguyên bị chặn (có hữu hạn phần tử) thì nó có phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất.

+) Tập số hữu tỷ \mathbb Q=\{\dfrac{m}{n}|\; m\in\mathbb Z, n\in\mathbb N, (m, n)=1\}, trong đó (m, n) là ƯỚC SỐ CHUNG NHỎ NHẤT của m, n, với quan hệ thứ tự thông thường, nghĩa là

\dfrac{m}{n}\ge \dfrac{p}{q} nếu mq\ge np,

lập thành một tập có quan hệ thứ tự toàn phần.

Trong bài giảng tôi có một chút nhầm lẫn khi nói về tập bị chặn trên trong \mathbb Q có cận trên đúng. Chẳng hạn ta xét tập sau

A=\{\dfrac{m}{n}\in\mathbb Q|\; hoặc 0\ge m hoặc m\ge 12 n^2\ge m^2\}

bị chặn trên nhưng không có cận trên đúng trong \mathbb Q. Vì gỉả sử tập A có cận trên đúng \dfrac{p}{q}\in\mathbb Q.

Trước hết \dfrac{p}{q}\not\in A vì nếu \dfrac{p}{q}\in A thì

+) hoặc 0\ge p ta chọn \dfrac{1}{1}\in A thì \dfrac{1}{1}\ge \dfrac{p}{q} (mâu thuẫn với điều giả sử về chặn trên),

+) hoặc p\ge 12q^2\ge p^2. Lưu ý rằng p^2\not= 2q^2 nên a=2q^2-p^2\ge 1.

Ta chọn k=3p ta có

\dfrac{kp+1}{kq}\ge\dfrac{p}{q}

2(kq)^2\ge (kp+1)^2 nghĩa là \dfrac{kp+1}{kq}\in A (mâu thuẫn với điều giả sử về chặn trên).

Tiếp đến khi \dfrac{p}{q}\not\in A thì p\ge 1b=p^2-2q^2\ge 1.

Ta chọn k=3p ta có

\dfrac{p}{q}\ge \dfrac{kp-1}{kq}

kp-1\ge 1, (kp-1)^2\ge 2(kq)^2 nên

\dfrac{kp-1}{kq}\ge \dfrac{m}{n}, \forall \dfrac{m}{n}\in A

nghĩa là \dfrac{kp-1}{kq}  là chặn trên của tập A (mâu thuẫn với điều giả sử về chặn trên nhỏ nhất).

Nhầm lẫn này là do tôi đã hiểu tập đó trong tập số thực \mathbb R. Tính chất này liên quan đến tính đầy đủ!

Tập con bị chặn trên của tập số hữu tỷ có các tình huống sau:

+) không có cận trên đúng,

+) có cận trên đúng không là phần tử lớn nhất,

+) có phần tử lớn nhất.

Vấn đề tiếp theo là xây dựng tập số thực \mathbb R. Tôi đã nói qua hai cách:

+)Phương pháp Lát cắt Dedekind,

+) Phương pháp Tiên đề.

Trong phương pháp Tiên đề thì Tiên đề về tập bị chặn có cận trên đúng là tiên đề nói lên sự khác biệt giữa tập số thực \mathbb Rvà tập số hữu tỷ \mathbb Q.

Còn về Phương pháp Lát cắt Dedekind cần sửa lại:

Khi có lát cắt (A, B) thì có thể

+) hoặc tập A có cận trên đúng, ta nói lát cắt (A, B) là số hữu tỷ,

+) hoặc tập A không có cận trên đúng, ta nói lát cắt (A, B) là số vô tỷ.

Ngoài hai phương pháp trên còn có một phương pháp khác dùng tôpô.

Trên tập số hữu tỷ \mathbb Q có một khoảng cách

|x|=x nếu x\ge 0|x|=-x nếu 0\ge x.

Khoảng cách này sinh ra khái niệm hội tụ và dãy Cauchy. Dãy Cauchy trong \mathbb Q chưa chắc hội tụ nên tập \mathbb Q với khoảng cách trên được gọi là không đầy đủ. Ta làm đầy nó lên bằng phương pháp dãy Cauchy ta thu được tập số thực \mathbb R.

Trên \mathbb Q ngoài khoảng cách trên còn có khoảng cách p-adic

|x|_p=p^{-n}, với p là một số nguyên tố, x=p^n\dfrac{a}{b}, a\in\mathbb Z, b\in\mathbb N, n\in\mathbb Z, (a, b)=(a, p)=(b, p)=1.

Ta làm đầy \mathbb Q theo khoảng cách p-adic ta được tập số p-adic \mathbb Q_p.

Sự khác biệt giữa tập số thực và tập số p-adic là tính Archimedes.

About these ads

Responses

  1. Tiếp tục trao đổi về bài giảng ngày 22/09/2010.

    Hôm nay tôi nhắc lại thế nào là cận dưới đúng, cận trên đúng.
    Cận trên đúng của một tập hợp là chặn trên nhỏ nhất, cụ thể

    +) nó là chặn trên của tập đó,

    +) các chặn trên khác nó đều lớn hơn nó.

    Mọi người vẫn thắc mắc về điều thứ hai:

    “Các chặn trên khác đều lớn hơn nó.”

    còn có nghĩa

    “Các chặn trên khác không bé hơn nó.”

    còn có nghĩa

    “Nếu bé hơn nó thì không là chặn trên.”

    Quá trình tìm cận trên đúng như sau:

    +)đầu tiên ta tìm một chặn trên,

    +)sau đó ta hỏi nó đã là bé nhất hay chưa, nghĩa là liệu có còn cái chặn trên nào nhỏ hơn nó không (đây chính là ý mà mọi người còn thắc mắc, nếu ta chỉ ra không có cái chặn trên nào nhỏ hơn nó hay những số nhỏ hơn nó không là chặn trên thì nó sẽ là chặn trên nhỏ nhất).

    Chẳng hạn ta xem lại tập

    A=\{\dfrac{m}{n}\in\mathbb Q|\; hoặc 0 \ge m hoặc m\ge 12n^2\ge m^2\}

    không có cận trên đúng trong \mathbb Q

    cứ mỗi chặn trên của A trong \mathbb Q ta đều tìm được chặn trên trong \mathbb Q nhỏ hơn nó!

    Vấn đề tiếp theo tôi nói về Nguyên lý Archimedes, tính trù mật, Nguyên lý Cantor.

    Nguyên lý Archimedes có thể hiểu nôm na:

    nếu ta đi bộ trên một con đường phía trước có cái ổ gà mà chiều rộng của ổ gà lớn hơn sải chân của ta

    thì điều chắc chắn xảy ra là nếu cứ đi ta sẽ rơi vào ổ gà.

    Tính trù mật khẳng định rằng giữa hai số thực khác nhau luôn có vô số số hữu tỷ, và vô số số vô tỷ.

  2. Thưa thầy, thầy có thể nói rõ hơn về tính trù mật. Em không hiểu rõ về định nghĩa này. Cảm ơn thầy!

  3. Em có thể nói rõ em chưa hiểu chỗ nào trong tính chất về tính trù mật?

  4. Tiếp tục bài giảng ngày 29/09/2010, trước khi trình bày sang phần giới hạn của dãy số tôi có lưu ý về dãy không bị chặn trên (dưới).

    Sau đó tôi trình bày về:

    +) dãy hội tụ đến một số thực a,
    +) dãy không hội tụ đến số thực a,
    +) dãy Cauchy (cơ bản),
    +) dãy không Cauchy.

  5. Hôm nay, ngày 06/10/2010, tôi trình bày tiếp về giới hạn của dãy số thực.

    Tôi đã giới thiệu dãy bị chặn (trên, dưới) cùng các tính chất liên quan đến sự hội tụ:

    +) Dãy hội tụ, dãy Cauchy là dãy bị chặn.

    +) Điều ngược lại không đúng, nghĩa là dãy bị chặn thì chưa chắc hội tụ. Ví dụ dãy u_n=(-1)^n. Tuy vậy, ta cũng có kết quả khá sâu sắc “Định lý Bolzano-Weierstrass” khẳng định:

    Có thể trích ra từ một dãy bị chặn một dãy con hội tụ.

    Cần lưu ý việc trích ra dãy con của dãy \{u_n\} trong chứng minh tôi trình bày hôm nay, sau khi có dãy các đoạn lồng nhau thắt lại [a_n, b_n], nghĩa là

    +) a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n, \forall n\in\mathbb N (lồng nhau),

    +) \lim\limits_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0 (thắt lại),

    sao cho mỗi [a_n, b_n] chứa vô số phần tử của dãy \{u_n\}.

    Do [a_1, b_1] chứa vô số phần tử của dãy \{u_n\} nên tôi chọn một phần tử
    u_{k_1}\in [a_1, b_1].

    Bước hai rất đáng chú ý như sau:

    Tôi cần chọn chỉ số k_2>k_1 đế
    u_{k_2}\in [a_2, b_2].

    Trong trình bày hôm nay tôi viết:
    do [a_2, b_2] chứa vô số phần tử của dãy \{u_n\} nên tôi chọn một phần tử
    u_{k_2}\in [a_2, b_2]\setminus\{u_1, u_2, \dots, u_{k_1}\}.

    Cách này chỉ đúng khi dãy gồm các phần tử đôi một khác nhau, nghĩa là

    u_m\not=u_n khi m\not=n.

    Để tránh điều này trước tiên ta cần hiểu cho đúng thế nào là [a_2, b_2] chứa vô số phần tử của dãy \{u_n\}.
    Ta hiểu dãy \{u_n\} là hàm số
    u:\mathbb N\to \mathbb R
    thì [a_2, b_2] chứa vô số phần tử của dãy \{u_n\} sẽ được hiểu

    ảnh ngược u^{-1}([a_2, b_2]) là tập vô hạn

    hay

    có vô số chỉ số n để u_n\in[a_2, b_2].

    Từ đó do tập chỉ số \{1, 2, \dots, k_1\} là tập hữu hạn nên tập
    u^{-1}([a_2, b_2])\setminus\{1, 2, \dots, k_1\}
    khác rỗng, nghĩa là ta có thể chọn được chỉ số k_2>k_1 sao cho

    u_{k_2}\in[a_2, b_2].

    Sau khi có Định lý Bolzano-Weierstrass, kết quả về dãy hội tụ thì bị chặn, dãy hội tụ đến a thì mọi dãy con của nó cũng hôi tụ đến a
    thì ngoài việc hiểu

    dãy không hội tụ là không Cauchy
    tồn tại số \epsilon_0>0
    tồn tại hai dãy con \{u_{k_n}\}, \{u_{l_n}\}
    để: |u_{k_n}-u_{l_n}|>\epsilon_0,

    ta còn có thể hiếu cách khác:

    dãy không hội tụ thì

    +) hoặc không bị chặn
    tồn tại một dãy con \{u_{k_n}\} sao cho
    \lim_{n\to\infty}|u_{k_n}|=+\infty
    +) hoặc bị chặn và có hai dãy con \{u_{k_n}\}, \{u_{l_n}\} hội tụ đến hai giới hạn khác nhau.

    Tôi cũng đã nêu một vài tính chất của dãy hội tụ:
    +) tuyến tính
    +) bảo toàn thứ tự
    +) dãy trị tuyệt đối
    +) dãy tích, dãy thương.

    Đặc biệt tính chất bảo toàn thứ tự cho ta nguyên lý kẹp, một trong nhưng công cụ giúp ta tìm giới hạn!
    Cũng cần lưu ý về Tiêu chuẩn Cauchy:

    Dãy hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.

    Tiêu chuẩn này chỉ giúp ta biết dãy có hội tụ hay không, còn khi biết nó hội tụ rồi thì Tiêu chuẩn Cauchy chưa giúp ta biết dãy hội tụ đến số nào!

    Tôi cũng trình bày dãy đơn điệu (tăng, giảm). Một dãy đơn điệu tăng chỉ có hai trường hợp sau xảy ra:
    +) hoặc không bị chặn trên: \lim_{n\to\infty}u_n=+\infty,
    +) hoặc bị chặn trên thì dãy sẽ hội tụ đến một số hữu hạn.

    Cuối cùng tôi nói qua về giới hạn riêng, tập giới hạn riêng. Tuần tới tôi sẽ nói kỹ hơn về giới hạn riêng.

  6. Hôm nay, 13/10/2010, về cơ bản tôi đã trình bày xong về “Dãy số” cũng như đôi nét so sánh với “Tập hợp”. Từ đó tôi đã dẫn đến khái niệm “điểm tụ” trong “Tập hợp” từ khái niệm tương đồng trong “Dãy số” là “giới hạn riêng.”

    Tuần tới ta bắt đầu đi sâu vào “Giới hạn hàm số”. Trong phần này khái niệm “liên tục đều” là khái niệm mới và khó.

  7. Hôm qua 20/10/2010, tôi đã trình bày về giới hạn hàm số. Có rất nhiều nét giống như giới hạn dãy số. Cũng như dãy số nó cũng sẽ có:
    +) sự hội tụ,
    +) tính bị chặn,
    +) tính đơn điệu.

    Tôi mới đang trình bày sự hội tụ và bước đầu chuyển sang khái niệm liên tục.

    Tuần tới ta sẽ xem xét tính liên tục kỹ hơn, rồi liên tục đều.

  8. Hôm nay, 27/10/2010, tôi đã trình bày về VCL, VCB, cũng như sự liên quan giữa tính đơn điệu và bị chặn của hàm số với tính hội tụ tại điểm tụ của nó. Lưu ý rằng, nói chung hàm đơn điệu và bị chặn có giới hạn trái và phải tại mọi điểm tụ; chưa chắc đã có giới hạn tại đó. Ta lấy ví dụ sau:

    f: (-1, 1) \to \mathbb R

    f(x)=x-1 khi x<0

    f(x)=x+1 khi x\ge 0;

    là hàm đơn điệu, bị chặn

    có giới hạn trái và phải tại x=0

    không có giới hạn tại x=0.

    Tiếp đến tôi trình bày tiếp về hàm liên tục và gián đoạn.

    Tôi nêu các tính chất:

    +) tuyến tính,

    +)phép cộng, phép nhân

    cho quá trình lấy giới hạn hàm số,

    cho các hàm liên tục tại cùng một điểm,

    cho các hàm liên tục trên cùng một miền.

    Lưu ý các hàm trên có cùng miền xác định.

    Đặc biệt đối với hàm số ta có hàm hợp! Hợp của hai hàm liên tục sẽ liên tục. Chú ý hai hàm này, nói chung không có cùng miền xác định.

    Cuối cùng tôi nói về hàm ngược.

    Trong phát biểu đầu tiên của tôi:

    Cho A, B là các tập trong \mathbb Rf: A\to B là một song ánh. Giả sử f liên tục tại x_0 thì hàm ngược của nó f^{-1} liên tục tại y_0=f(x_0).

    Phát biểu trên là không ổn với hai lý do:

    +) nói chung A không bất kỳ mà phải có dạng đặc biệt:
    A=[a, b],
    +) hàm f cũng cần thêm điều kiện là hàm đơn điệu.

    Để thấy rõ điều trên, ta lấy ví dụ.

    VD1:

    A=[0, 1]\cup (2, 3], B=[0, 2]

    f: [0, 1]\cup (2, 3] \to [0, 2]

    f(x)=x khi x\in[0, 1]

    f(x)=x-1 khi x\in (2, 3]

    f là hàm song ánh, đơn điệu tăng, liên tục tại x=0,

    còn hàm ngược

    f^{-1}: [0, 2] \to [0, 1]\cup (2, 3]

    f^{-1}(x)=x khi x\in[0, 1]

    f^{-1}(x)=x+1 khi x\in (1, 2]

    không liên tục tại y=f(0)=1.

    VD2:

    A=[0, 2], B=[0, 2]

    f: [0, 2] \to [0, 2]

    f(x)=1-x khi x\in[0, 1]

    f(x)=x khi x\in (1, 2]

    f là hàm song ánh, liên tục tại x=0,

    còn hàm ngược

    f^{-1}: [0, 2] \to [0, 2]

    f^{-1}(x)=1-x khi x\in[0, 1]

    f^{-1}(x)=x khi x\in (1, 2]

    không liên tục tại y=f(0)=1.

    Trong ví dụ 2, hàm f không liên tục trên [0, 2] (cụ thể nó không liên tục tại x=1).

    Phát biểu cuối cùng về hàm ngược trong bài giảng:

    Cho f:A=[a, b]\to B là một song ánh, liên tục (nghĩa là liên tục tại mọi điểm trên A). Khi đó, f đơn điệu, và hàm ngược của nó f^{-1} liên tục trên B.

    Tuần tới tôi sẽ chứng minh kết quả trên. Tôi gợi ý ta cần hiểu thế nào là hàm không đơn điệu!

  9. [...] http://bomongiaitich.wordpress.com/2010/09/18/trao-d%E1%BB%95i-bai-gi%E1%BA%A3ng-l%E1%BB%9Bp-k55a2/ [...]

  10. Tôi đã kết thúc phần giới hạn hàm số trong bài giảng ngày 03/11/2010, bằng việc trình bày các tính chất liên quan đến hàm liên tục trên đoạn [a, b].

    Có thể nói hàm liên tục trên đoạn [a, b] liên quan nhiều tính chất đẹp:

    +) tính đơn điệu,
    +) tính bị chặn,
    +) tính liên thông (giá trị trung gian),
    +) tính liên tục đều,
    +) tính khả tích (có tích phân xác định).

  11. Tôi đã chuyển sang phép tính vi phân của hàm một biến với một khái niệm mới về tập hợp:
    – tập mở, điểm trong.
    Khái niệm này có đôi nét giống với khái niệm:
    – tập đóng, điểm tụ.

    Sau đó tôi đã trình bày khái niệm đạo hàm, đạo hàm phải, đạo hàm trái. Tiếp đó là các tính chất:

    +) tuyến tính,
    +) đạo hàm của tích, thương,
    +) đạo hàm của hàm hợp với chú ý

    (fog)'(x)\not= (f'og')(x)!

    +) đạo hàm hàm ngược.

    Khái niệm điểm trong rất quan trọng, vì khái niệm khả vi cần có đủ cả hai phía. Điều này thể hiện rất rõ trong việc chứng minh Định lý Fermat.

    Tôi kết thúc bài giảng ngày 10/11/2010 bằng việc trình bày các Định lý Rolle, Lagrange, Cauchy. Đây là kiểu định lý về giá trị trung bình như Định lý Bolzano-Cauchy.

    Ai quan tâm có thể xem

    http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem

  12. Ngày 17/11/2010, tôi đã kết thúc phần Giải tích 1 bằng việc trình bày chuỗi Taylor với hai dạng phần dư Peano và Lagrange. Đây là kết quả quan trọng của phần phép tính vi phân và sẽ có rất nhiều ứng dụng sau này!

    Ai quan tâm thêm về phần dư của chuỗi Taylor có thể tìm hiểu ở trang sau

    http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem

    Tuần tới tôi sẽ bắt đầu dạy Giải tích 2.

  13. Ngày 24/11/2010, tôi đã bắt đầu chuyển sang Giải tích 2 bằng việc giới thiệu nguyên hàm.
    Nguyên hàm là khái niệm ngược với khái niệm đạo hàm:
    Đạo hàm của một hàm nhận hàm đó là nguyên hàm!

    Định lý Darboux cho ta thấy ngay rằng hàm gián đoạn loại I không có nguyên hàm trên bất kỳ tập mở nào chứa điểm gián đoạn.

    Sau này, học tới tích phân xác định ta sẽ thấy bất kỳ hàm liên tục nào cũng có nguyên hàm!

    Tôi cũng trình bày Định lý về tính duy nhất (sai khác hằng số) của nguyên hàm. Từ đó ta có khái niệm tích phân không xác định.

    Tôi cũng đã đưa ra hai công cụ chính để tìm nguyên hàm:
    +) đổi biến (dựa trên cơ sở đạo hàm hàm hợp);
    +) tích phân từng phân (dựa trên cơ sở vi phân của một tích).

    Lưu ý rằng trong cả hai công cụ trên vi phân dx xuất hiện trong tích phân không xác định đóng vai trò quan trọng!

    Cuối bài giảng tôi đưa ra một số cách đổi biến cho các dạng cụ thể!

    Sang tuần tôi sẽ chuyển sang tích phân xác định!

  14. Thưa thầy! thầy cho em hỏi để tính nguyên hàm của hàm x.tgx thì phải biến đổi thế nào ạ? em đã thử tích phân từng phần nhưng không được!

  15. Ngày 01/12/2010, tôi đã trình bày tích phân xác định bằng việc đưa ra các khái niệm về phân hoạch, tổng tích phân, tổng Darboux trên tổng Darboux dưới và tính khả tích.

    Hàm khả tích liên quan đến hai thứ bị chặn:
    +) miền bị chặn (đoạn hữu hạn),
    +) hàm bị chặn!

    Tôi đã trình bày một số tính chất của các tổng Darboux.
    Tôi cũng đã trình bày Định lý về điều kiện cần và đủ để hàm khả tích!

    Ngoài ra tôi cũng chỉ ra một số lớp hàm khả tích: hàm đơn điệu, hàm liên tục.

    Lưu ý hàm đơn điệu, gián đoạn khả tích nhưng không có nguyên hàm!

  16. Tôi tính mãi chưa ra nguyên hàm của x\tan{x}.

    Nguyên hàm của x\arctan{x} thì tính được bằng phương pháp tích phân từng phần!

  17. Tôi đã kết thúc phần tích phân xác định ở bài giảng ngày 08/12/2010 bằng một vài ứng dụng của tích phân xác định trong việc tính:

    +) diện tích của hình thang cong;

    +) thể tích vật tròn xoay;

    +) độ dài của đường cong;

    +) diện tích xung quanh của vật tròn xoay.

    Tôi cũng đã trình bày một số tính chất của hàm khả tích:

    +) tuyến tính;

    +) bảo toàn thứ tự (vài khác biệt so với việc lấy giới hạn);

    +) trị tuyệt đối của hàm khả tích là khả tích (ngược lại không đúng);

    +) tích hai hàm khả tích là khả tích;

    +) phân rã nghĩa là nếu f khả tích trên [a, b] thì nó sẽ khả tích trên [a, c], [c, b] với bất kỳ c\in[a, b]
    \int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+ \int_c^b f(x)dx.

    Đặc biệt là Công thức Newton-Leibnitz cho ta mối liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định của hàm liên tục. Từ đó, hàm liên tục có nguyên hàm được biểu diễn qua tích phân xác định. Lưu ý hàm đơn điệu, gián đoạn có tích phân xác định và không có nguyên hàm!

    Tôi đã trình bày Công thức giá trị trung bình tích phân và ứng dụng vào việc đưa ra công thức tích phân cho phần dư khi khai triển chuỗi Taylor. Từ đó dẫn tới phần dư Lagrange, phần dư Cauchy.

    Tuần tới tôi sẽ chuyển sang tích phân suy rộng là loại tích phân mà ít nhất một trong hai điều kiện bị chặn bị phá vỡ!

    Ngày 09/12/2010 tôi đã đưa cho lớp Đề cương Giải tích I và II.

  18. Hôm nay 15/12/2010, tôi có nhắc lại các ứng dụng của tích phân xác định trong việc tính diện tích hình thang cong, thể tích vật tròn xoay, độ dài đường cong, diện tích xung quanh mặt tròn xoay.

    Tôi có đưa ra công thức tính diện tích của quạt và độ dài cung từ phương trình r=r(\theta) trong hệ tọa độ cực x=r\cos{\theta}, y=\sin{\theta}.

    Diện tích của quạt
    \{(r, \theta)|\; \varphi_1< \theta <\varphi_2, 0< r< r(\theta)\}
    được cho bởi
    |S|=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} \dfrac{1}{2}r^2(\theta)d\theta.

    Công thức tính chu vi của cung
    \{(r, \theta)|\; \varphi_1<\theta<\varphi_2, r=r(\theta)\}
    được cho bởi
    |\ell|=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} \sqrt{[r^{,}(\theta)]^2+[r(\theta)]^2}d\theta.

    Trên lớp, tôi đã đưa ra công thức không đúng sau đây

    |\ell|=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} r(\theta)d\theta.

    Lý do của sự nhầm lẫn này là tôi nghĩ vi phân cung bằng

    r(\theta)d\theta.

    Điều này chỉ đúng khi r(\theta)=R là hằng số.

    Còn khi r(\theta) thay đổi thì vi phân cung phải phụ thuộc vào tốc độ thay đổi r'(\theta).

    Các bạn sinh viên K55A2 lưu ý sửa lại công thức tính độ dài cung cho tôi nhé!

    Tiếp tục về phần bài giảng, tôi đã chuyển sang phần tích phân suy rộng với hai dạng cơ bản Loại I (miền vô hạn), Loại II (hàm không bị chặn) và các dạng khác.
    Tôi đưa ra ví dụ điển hình về sự hội tụ của tích phân suy rộng Loại I và Loại II của hàm x^\alpha.

    Sau đó tôi tập trung nghiên cứu Loại I:
    +) tính tuyến tính;
    +) tiêu chuẩn Cauchy;
    +) dấu hiệu so sánh (hàm dương);
    +) trị tuyệt đối (lưu ý rất khác so với tích phân xác định) với hai khái niệm
    hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ;
    +) dấu hiệu Weierstrass (hệ quả của dấu hiệu so sánh và hội tụ tuyệt đối).

    Tôi bắt đầu chuyển sang các dấu hiệu Dirchlet và Abel với lưu ý về các điều kiện là cần thiết, nghĩa là nếu không có thì sẽ dẫn đến kết quả khác. Tôi cũng đã có vài so sánh giữa hai dấu hiệu dễ nhầm lẫn với nhau này.

    Tuần tới tôi sẽ kết thúc Giải tích 2 bằng các chứng minh cho hai dấu hiệu Dirichlet và Abel.

  19. Hôm nay, ngày 22/12/2010, tôi đã trình bày xong giải tích 2 với các chứng minh của các Định lý Dirichlet và Abel về sự hội tụ của tích phân suy rộng loại I dạng
    \int_a^\infty f(x)g(x)dx.

    Lưu ý hai Định lý này rất dễ lẫn với nhau! Để phân biệt ta nhớ:
    +) Dirichlet có liên quan đến hội tụ về 0;
    +) Abel có liên quan đến tích phân suy rộng hội tụ.

    Sau này ta còn gặp lại hai định lý kiểu này cũng như Định lý Weierstrass ở phần chuỗi số, chuỗi hàm.

    Có một số bạn hỏi:
    Làm thế nào để nhớ được các chứng minh?

    Tôi nghĩ để nhớ thì mọi người nên tự làm. Dĩ nhiên không xem mà tự nghĩ thì khó. Bước đầu xem qua rồi lưu ý các ý chính. Tiếp đến gấp sách lại, tự chứng minh lại. Sẽ là khó khi lần đầu viết. Hãy cứ viết những gì mình nắm được. Ghi lại những chỗ còn mắc. Thử xem có tự trả lời được không. Sau đó kiểm tra lại bằng việc xem lại chứng minh. Rồi tự viết lại lần hai. Cứ thế khắc nhớ! Còn nếu thấy chứng minh còn khó hiểu có thể đi hỏi. Hỏi tôi hoặc ai đó!

  20. [...] http://bomongiaitich.wordpress.com/2010/09/18/trao-d%e1%bb%95i-bai-gi%e1%ba%a3ng-l%e1%bb%9bp-k55a2/ [...]

  21. ca^n. tren dung’ la` j` ha? tha^y`

    • Để dễ hiểu tôi lấy các ví dụ như sau.

      Tập các số nguyên âm \mathbb Z_-=\{-1, -2, \dots\}

      +) số -1, 0, 1, 2, \dots là các chặn trên của nó vì:
      bất kỳ số nguyên âm nào cũng nhỏ hơn hay bằng mỗi số này,

      +) số (-1) là số bé nhất mà bất kỳ số nguyên âm nào cũng không lớn hơn nó.

      Ta kết luận (-1) là cận trên đúng của tập các số nguyên không âm.

      Ở đây (-1) cũng là số lớn nhất của tập các số nguyên không âm.

      Khái niệm cận trên đúng là khái niệm mở rộng của khái niệm số lớn nhất:

      +) nếu một tập có số lớn nhất thì số lớn nhất ấy chính là cận trên đúng của tập đó,

      +) có những tập không có số lớn nhất, trong khi đó bất kỳ tập con của tập số thực nào cũng có cận trên đúng.

      Chẳng hạn tập các số hữu tỷ âm \mathbb Q_-=\{r\in\mathbb Q|\; r<0\} không có số lớn nhất mà chỉ có cận trên đúng là số 0.


Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Danh mục

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: