Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Hai 7, 2011

Khoảng cách trong mặt phẳng

GT3 chúng ta bắt đầu làm quen với những khái niệm gần với cuộc sống hơn so với GT1, GT2. Trong GT1, GT2 ta chỉ quan tâm đến thế giới một chiều (có thể coi như chiều thời gian?). GT3 bắt đầu đề cập đến thế giới thực 2-chiều, 3-chiều, 4-chiều. Nếu ta chỉ quan tâm đến Hà Nội, hay rộng hơn chút Việt Nam thì có thể coi ta đang sống trên mặt phẳng 2-chiều. Ta bắt đầu nhìn lên bầu trời, nhìn sâu vào lòng Đại dương thì ta lại thấy mình sống trong vũ trụ 3-chiều. Tiếp tục, ta lại quan tâm đến quá khứ và tương lai thế giới của ta là không-thời gian 4-chiều.Các bạn sinh viên sẽ cảm thấy vừa thực vừa lạ! Các khái niệm sẽ hoàn toàn mới so với thời còn học ở phổ thông mặc dù có cảm giác đã quen thuộc như đã gặp ở đâu đó rồi. Chẳng hạn khái niệm khoảng cách! Dưới đây tôi sẽ trình bày khái niệm này một cách trực giác từ việc đo khoảng cách.

Để đo khoảng cách ta thường dùng thước. Tuy nhiên nếu khoảng cách khá xa, xa tới mức mà không có thước thông thường nào có thể nối được (khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng), ta dùng sóng để đo. Cụ thể để đo khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng người ta phát sóng từ Trái Đất, sóng lan truyền chạm vào Mặt Trăng rồi phản hồi lại Trái Đất. Người ta biết được tốc độ lan truyền của sóng và thời gian từ lúc phát ra cho đến khi nhận được tín hiệu phản hồi. Từ đó tính khoảng cách.

Trong thực tế có nhiều loại khoảng cách. Mọi người thường nghe về khoảng cách thực và khoảng cách đường chim bay. Khoảng cách thực là độ dài quãng đường gần nhất mà ta có thể đi. Khoảng cách đường chim bay là độ dài đoạn thẳng nối liền hai nơi. Thường thì hai khoảng cách này không như nhau do các vật cản giữa hai nơi (chẳng hạn nhà cửa, sông, núi, v.v.). Để thích ứng với điều này trong Toán học cũng có nhiều khoảng cách.

Dưới đây tôi xin trình bày một vài khoảng cách quen thuộc trong GT3 dựa vào sóng, hay cũng hình học của các hình cầu. Để đơn giản tôi xin giới hạn trên mặt phẳng cho dễ hình dung.

Sóng thông thường có dạng sóng cầu, nghĩa là mặt của sóng có dạng đường tròn (thông thường)

Khi đó, ta có khoảng cách Euclide (trên mặt phẳng)

|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}, A=(x_1, y_1), B=(x_2, y_2)

và hình học của đường tròn tương ứng với khoảng cách Euclide này là đường tròn thông thường.

Chú ý đường tròn tương ứng với khoảng cách d (nào đó) là tập hợp các điểm cùng có khoảng cách (theo d) đến một điểm cố định như nhau. Có thể thấy ngay hình học của đường tròn chính là hình học của mặt sóng!

Giờ ta bóp méo mặt sóng có dạng

Khi đó, ta có khoảng cách mới, không còn là khoảng cách thông thường nữa, ta gọi là p-khoảng cách

|AB|=\big(|x_1-x_2|^p+|y_1-y_2|^p\big)^{1/p}, A=(x_1, y_1), B=(x_2, y_2) (p>1)

và hình học của đường tròn tương ứng với p-khoảng cách là đường tròn thông thường bị biến dạng như trên.

Ta lại tiếp tục bóp méo mặt sóng cho thành hình vuông ta có hai loại khoảng cách sau.

Khoảng cách max (ứng với p=\infty)

|AB|=\max\{|x_1-x_2|, |y_1-y_2|\}, A=(x_1, y_1), B=(x_2, y_2)

ứng với mặt sóng có dạng (cũng như hình học của đường tròn ứng với khoảng cách max)

Khoảng cách tổng (ứng với p=1)

|AB|=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|, A=(x_1, y_1), B=(x_2, y_2)

ứng với mặt sóng có dạng (cũng như hình học của đường tròn ứng với khoảng cách tổng)

About these ads

Responses

  1. Từ khái niệm khoảng cách ta có được hình cầu. Từ hình cầu ta có các khái niệm:

    +) điểm trong của một tập hợp, phần trong của một tập hợp và tập mở;

    +) dãy điểm hội tụ, dãy Cauchy, điểm tụ, điểm cô lập, điểm dính của một tập hợp, bao đóng của một tập hợp và tập đóng;

    +) tập bị chặn, tập compact.


Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Danh mục

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: