Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Sáu 8, 2011

Một số cách tính tích phân suy rộng

Cách tính tích phân suy rộng đơn thuần nhất xuất phát từ định nghĩa. Chẳng hạn ta tính các tích phân sau

I_c=\int_0^\infty e^{-ax}\cos(bx)dx, \; I_s=\int_0^\infty e^{-ax}\sin(bx)\; (a>0).

Dùng tích phân từng phần hai lần ta có được các nguyên hàm

\int e^{-ax}\cos(bx)dx=\dfrac{e^{-ax}(b\sin(bx)-a\cos(bx))}{a^2+b^2}+C,

\int e^{-ax}\sin(bx)dx=-\dfrac{e^{-ax}(a\sin(bx)+b\cos(bx))}{a^2+b^2}+C

nên

I_c=\lim_{A\to+\infty}\dfrac{e^{-ax}(b\sin(bx)-a\cos(bx))}{a^2+b^2}\Big|_{x=0}^A=\dfrac{a}{a^2+b^2},

I_s=\lim_{A\to+\infty}\dfrac{e^{-ax}(-a\sin(bx)-b\cos(bx))}{a^2+b^2}\Big|_{x=0}^A=\dfrac{b}{a^2+b^2}.

Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng viết tường minh được nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân, chẳng hạn một số hàm:

e^{-x^2}, \cos(x^2), \dfrac{\sin(x)}{x}, .v.v.

Lúc này công cụ khá hữu hiệu để tính chính là tích phân phụ thuộc tham số.

Dưới đây tôi sẽ trình bày một số phương pháp để tính tích phân dạng:

I(a, b)=\int_0^\infty e^{-ax}\dfrac{\sin(bx)}{x}dx \; (a>0).

Trước hết dễ có tích phân I(a,b) hội tụ từ Định lý Abel:

+) \dfrac{1}{x} là hàm đơn điệu giảm theo x và bị chặn dưới bởi 0,

+) \int_0^\infty e^{-ax}\sin(bx)dx hội tụ.

Cách 1: (Dùng đạo hàm) Ta có thể đạo hàm theo a hoặc b. Muốn dùng được cách này ta cần biết giá trị của I(a, b) tại một điểm đặc biệt chẳng hạn

I(a, 0)=0.

Ta cũng có thể nghĩ đến

I(0, b)=\int_0^\infty \dfrac{\sin(bx)}{x}dx.

Tuy nhiên trong bài này tôi sẽ tính I(0, b) và không coi đó là kết quả đã biết.

Với gợi ý trên ta cố định a>0 và sẽ xem xét đạo hàm I_b(a, b). Ta dùng khái niệm hội tụ đều để đẩy đạo hàm vào bên trong dấu tích phân.

Có:

|e^{-ax}\cos(bx)|\le e^{-ax}, \forall x\in (0, +\infty), b\in\mathbb R,

\int_0^\infty e^{-ax}dx hội tụ khi a>0

nên theo Weierstrass có tích phân

\int_0^\infty e^{-ax}\cos(bx)dx hội tụ đều theo b trên \mathbb R.

Như vậy ta có thể chuyển phép lấy đạo hàm theo b qua dấu tích phân, nghĩa là

I_b(a, b)=\int_0^\infty e^{-ax}\cos(bx)dx=\dfrac{a}{a^2+b^2}.

Từ đó, ta tích phân trở lại

I(a, b)=I(a, 0)+\int_0^b I_b(a, c)dc=\int_0^b \dfrac{a}{a^2+c^2}dc=\arctan(b/a).

Cách 2: (Dùng tích phân) Ta có thể nhìn cách trên qua cách nhìn tích phân như sau.

Để ý rằng:

\dfrac{\sin(bx)}{x}=\int_0^b \cos(xy)dy

nên

I(a, b)=\int_0^\infty e^{-ax}dx\int_0^b \cos(xy)dy.

Ta lại dùng khái niệm hội tụ đều để chuyển dấu tích phân qua dấu tích phân.

Như trên có J(y)=\int_0^\infty e^{-ax}\cos(xy)dx hội tụ đều theo y trên \mathbb R và hàm e^{-ax}\cos(x, y) liên tục theo y nên hàm J(y) liên tục, do đó khả tích và ta có thể dấu tích phân qua dấu tích phân, nghĩa là

\int_0^b J(y)dy=I(a, b).

Cũng bằng cách tính tích phân ta có thể xuất phát từ

\dfrac{e^{-ax}}{x}=\int_a^\infty e^{-xy}dy.

Khi đó

I(a, b)=\int_0^\infty \sin(bx)dx\int_a^\infty e^{-xy}dy.

Do H(y)=\int_0^\infty e^{-xy}\sin(bx)dx hội tụ đều theo y trên \mathbb R nên tương tự trên, với mọi A>a

\int_a^A dy \int_0^\infty e^{-xy}\sin(bx)dx=\int_0^\infty dx \int_a^A e^{-xy}\sin(bx)dy.

\int_0^\infty g(A, x)dx, với g(A, x)=\sin(bx)\dfrac{e^{-ax}-e^{-Ax}}{x}, hội tụ đều theo A trên (0, +\infty).

Bạn đọc thử viết tiếp các lý do để ta có đẳng thức sau

\int_a^\infty dy \int_0^\infty e^{-xy}\sin(bx)dx=\int_0^\infty dx \int_a^\infty e^{-xy}\sin(bx)dy

hay

\int_a^\infty H(y)dy =I(a, b).

Mà ta có H(y)=\dfrac{b}{b^2+y^2} nên

I(a, b)=\dfrac{\pi}{2}-\arctan(a/b).

Ta sẽ dùng kết quả trên để tính I(0, b) nhờ quá trình lấy giới hạn.

TH1: b=0 ta có ngay I(0, 0)=0.

TH2: b\not=0, do tích phân

I(a, b)=\int_0^\infty e^{-ax}\dfrac{\sin(bx)}{x}dx

hội tụ đều theo a trên [0, +\infty)

nên I(0, b)=\lim\limits_{a\to 0^+} I(a, b)=\dfrac{\pi}{2}

hay \int_0^\infty \dfrac{\sin(bx)}{x}dx=\dfrac{\pi}{2}\; (b\not=0).

Như vậy ta có cách thứ 3 để tính tích phân suy rộng.

Người ta còn có cách khác không dùng tích phân phụ thuộc tham số để tính tích phân suy rộng. Cách này đòi hỏi kiến thức về Hàm biến phức một biến. Dưới đây tôi sẽ trình bày cách tính tích phân

I(0, 1)=\int_0^\infty \dfrac{\sin x}{x}dx

nhờ các kết quả về tích phân Cauchy và thặng dư.

Do hàm \dfrac{\sin x}{x} là hàm chẵn và tích phân I(0, 1) hội tụ nên

I(0, 1)=\dfrac{1}{2}\lim\limits_{R\to \infty}\lim\limits_{\epsilon\to 0^+}\int\limits_{\epsilon<|x|<R}\dfrac{\sin x}{x}dx.

Lại có

+) \dfrac{\sin x}{x}=Im \dfrac{e^{ix}}{x};

+) hàm \dfrac{e^{iz}}{z} là hàm chỉnh hình trong miền \mathbb C\setminus\{0\} nên

tích phân Cauchy \int_C \dfrac{e^{iz}}{z}dz=0 với

C=\{(x, 0)|\; -R\le x\le -\epsilon\}\cup C_\epsilon \cup \{(x, 0)|\; \epsilon\le x\le R\}\cup C_R;

do đó

\int\limits_{\epsilon\le |x|\le R}\dfrac{\sin x}{x}dx=-Im\big(\int_{C_\epsilon}\dfrac{e^{iz}}{z}dz\big)-Im\big(\int_{C_R}\dfrac{e^{iz}}{z}dz\big).

+) Trên C_\epsilon: z=\epsilon e^{i\theta}, \theta chạy từ \pi đến 0 nên

\int_{C_\epsilon}\dfrac{e^{iz}}{z}dz=-\int_0^\pi ie^{iz}d\theta=-i\pi e^{iz_\epsilon}, z_\epsilon\in C_\epsilon,

do đó \lim\limits_{\epsilon\to 0^+}\int_{C_\epsilon}\dfrac{e^{iz}}{z}dz=-i\pi.

+) Trên C_R: z=Re^{i\theta}, \theta chạy từ 0 đến \pi

|e^{iz}|=e^{-R\sin\theta}

|\int_{C_R}\dfrac{e^{iz}}{z}dz|=|\int_0^\pi ie^{iz}d\theta|\le 2\int_0^{\pi /2}e^{-R\sin\theta}d\theta,

do đó \lim\limits_{R\to \infty}\int_{C_R}\dfrac{e^{iz}}{z}dz=0

(lưu ý \sin{\theta}\ge C\theta, \theta\in[0, \pi/2)).

Vậy

I(0, 1)=\dfrac{\pi}{2}.

About these ads

Trả lời

  1. Bạn đọc muốn tìm hiểu thêm về tích phân suy rộng có thể đọc trong cuốn
    “The theory of functions” của E. C. Titmarsh

    (http://www.box.net/shared/5qcm7iiqyadczyhu2tak).

  2. Các bạn có thể tham khảo thêm các cách tính

    +) của Paul Loyal, dựa vào tích phân lặp, trong bài

    http://www.math.binghamton.edu/loya/papers/LoyaMathMag.pdf

    +) của Sirajuddin David, dựa vào tích phân Cauchy trong Giải tích phức, trong bài

    http://itcanbeshown.com/integrals/Fresnel%20Integrals/fresnel_integrals.pdf

  3. anh chị giúp e phần đạo hàm dưới dấu tích phân với.. E xem phần bài tập hoài mà k hiểu. Thank mn nhiều.

    • Em có thể hỏi cụ thể hơn được không?

  4. giải giùm em bài này,tính tích phân suy rộng của (2x^2+4x-1)/(16x^4-32x^3+63x^2-16x+35)

    • Bài này em chưa cho cận lấy tích phân? Hàm dưới dấu tích phân có dạng hàm hữu tỷ nên em tính nguyên hàm của hàm này trước.

  5. Tinh tich phan suy rong
    {[(lnx)^a ]/ (x+1)^2 }dx
    x tu 1->duongvocuc.
    Thầy giải giúp em bài này với ạ.
    Em cảm ơn thầy.

    • Trường hợp a=1 khá đơn giản. Chỉ việc dùng tích phân từng phần để tìm nguyên hàm rồi chuyển qua giới hạn.

      Trường hợp a\not=1 thì tôi chưa có hướng nào!

      • Thầy ơi, em vẫn chờ thầy định hướng cách giải bài toán đó giúp em ạ.

      • Tôi không có ý định nghĩ nhiều về việc này nên có lẽ em hỏi người khác.

  6. Vâng, dẫu sao e cũng cảm ơn thầy. Thứ 6 tuần này e thi. Nếu bỗng nhiên thầy có định hướng cách giải bài này trước thứ 6 và có thể viết lên đây thì e rất rất cảm ơn thầy.
    ( nghe văn phong trả lời của thầy, e cảm giác thầy phật lòng vì điều gì đó từ e? Nếu có thì thầy bỏ qua những gì e vô tình làm thầy phật ý nhé. E cũng chỉ vì bài thi của mình mà : ” có bệnh thì vái tứ phương ” thôi. E ko có ý gì đâu thầy ạ.
    Chúc thầy mạnh khoẻ và thành công.

    • Tôi không giúp được em nên nhắc em chuyển sang hướng khác! Giúp “nhầm thuốc” không những hại người mà còn hại cả bản thân? Thế nhé.

  7. thầy giải hộ em bài tích phân ruy rộng này với ạ, em cám ơn
    ln(sinx) cận từ 0- +vô cực

    • Hàm dưới dấu tích phân không xác định khi sin x<=0.

  8. vâng em biết nhưng em muốn thầy định hương giúp em cách giải tích phân thui ạ còn tính giới hạn thì em tính được

    • Tôi không hiểu em muốn định hướng gì? Em có hiểu hàm dưới dấu tích phân không xác định thì làm thế nào tính được? Tôi xin phép xoá những câu hỏi khi người hỏi không hiểu mình hỏi gì!

  9. mong thầy giúp em sớm tại mai em thi rồi ạ

  10. Dây là tích phân hỡn hợp của loại 1 và loại 2. lim(tích phân từ a- b của ln(sinx) khi a tiến tới 0 và b tiến tới +vô cực.
    E hiểu vậy mà vẫn được coi là k hiểu mình hỏi j ak.
    Cảm ơn thầy đã trả lời khi nào tìm ra đáp án e sẽ gửi cho thầy
    Thầy cứ xóa câu hỏi của em đi ạ

    • Em không hiểu

      \sin x<0 khi x\in (\pi, 2\pi)?

      Khi đó trong khoảng này (\pi, 2\pi) em hiểu hàm

      ln(\sin x) như nào? Chẳng hạn em cho tôi biết ln(\sin (3\pi/2))?

      Lúc đó em lấy tích phân

      \int\limits_a^b ln(\sin x)dx

      khi 0<a<\pi<2\pi <b như nào?


Gửi phản hồi

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Chuyên mục

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: