Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Sáu 8, 2011

Một số cách tính tích phân suy rộng

Cách tính tích phân suy rộng đơn thuần nhất xuất phát từ định nghĩa. Chẳng hạn ta tính các tích phân sau

I_c=\int_0^\infty e^{-ax}\cos(bx)dx, \; I_s=\int_0^\infty e^{-ax}\sin(bx)\; (a>0).

Dùng tích phân từng phần hai lần ta có được các nguyên hàm

\int e^{-ax}\cos(bx)dx=\dfrac{e^{-ax}(b\sin(bx)-a\cos(bx))}{a^2+b^2}+C,

\int e^{-ax}\sin(bx)dx=-\dfrac{e^{-ax}(a\sin(bx)+b\cos(bx))}{a^2+b^2}+C

nên

I_c=\lim_{A\to+\infty}\dfrac{e^{-ax}(b\sin(bx)-a\cos(bx))}{a^2+b^2}\Big|_{x=0}^A=\dfrac{a}{a^2+b^2},

I_s=\lim_{A\to+\infty}\dfrac{e^{-ax}(-a\sin(bx)-b\cos(bx))}{a^2+b^2}\Big|_{x=0}^A=\dfrac{b}{a^2+b^2}.

Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng viết tường minh được nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân, chẳng hạn một số hàm:

e^{-x^2}, \cos(x^2), \dfrac{\sin(x)}{x}, .v.v.

Lúc này công cụ khá hữu hiệu để tính chính là tích phân phụ thuộc tham số.

Dưới đây tôi sẽ trình bày một số phương pháp để tính tích phân dạng:

I(a, b)=\int_0^\infty e^{-ax}\dfrac{\sin(bx)}{x}dx \; (a>0).

Trước hết dễ có tích phân I(a,b) hội tụ từ Định lý Abel:

+) \dfrac{1}{x} là hàm đơn điệu giảm theo x và bị chặn dưới bởi 0,

+) \int_0^\infty e^{-ax}\sin(bx)dx hội tụ.

Cách 1: (Dùng đạo hàm) Ta có thể đạo hàm theo a hoặc b. Muốn dùng được cách này ta cần biết giá trị của I(a, b) tại một điểm đặc biệt chẳng hạn

I(a, 0)=0.

Ta cũng có thể nghĩ đến

I(0, b)=\int_0^\infty \dfrac{\sin(bx)}{x}dx.

Tuy nhiên trong bài này tôi sẽ tính I(0, b) và không coi đó là kết quả đã biết.

Với gợi ý trên ta cố định a>0 và sẽ xem xét đạo hàm I_b(a, b). Ta dùng khái niệm hội tụ đều để đẩy đạo hàm vào bên trong dấu tích phân.

Có:

|e^{-ax}\cos(bx)|\le e^{-ax}, \forall x\in (0, +\infty), b\in\mathbb R,

\int_0^\infty e^{-ax}dx hội tụ khi a>0

nên theo Weierstrass có tích phân

\int_0^\infty e^{-ax}\cos(bx)dx hội tụ đều theo b trên \mathbb R.

Như vậy ta có thể chuyển phép lấy đạo hàm theo b qua dấu tích phân, nghĩa là

I_b(a, b)=\int_0^\infty e^{-ax}\cos(bx)dx=\dfrac{a}{a^2+b^2}.

Từ đó, ta tích phân trở lại

I(a, b)=I(a, 0)+\int_0^b I_b(a, c)dc=\int_0^b \dfrac{a}{a^2+c^2}dc=\arctan(b/a).

Cách 2: (Dùng tích phân) Ta có thể nhìn cách trên qua cách nhìn tích phân như sau.

Để ý rằng:

\dfrac{\sin(bx)}{x}=\int_0^b \cos(xy)dy

nên

I(a, b)=\int_0^\infty e^{-ax}dx\int_0^b \cos(xy)dy.

Ta lại dùng khái niệm hội tụ đều để chuyển dấu tích phân qua dấu tích phân.

Như trên có J(y)=\int_0^\infty e^{-ax}\cos(xy)dx hội tụ đều theo y trên \mathbb R và hàm e^{-ax}\cos(x, y) liên tục theo y nên hàm J(y) liên tục, do đó khả tích và ta có thể dấu tích phân qua dấu tích phân, nghĩa là

\int_0^b J(y)dy=I(a, b).

Cũng bằng cách tính tích phân ta có thể xuất phát từ

\dfrac{e^{-ax}}{x}=\int_a^\infty e^{-xy}dy.

Khi đó

I(a, b)=\int_0^\infty \sin(bx)dx\int_a^\infty e^{-xy}dy.

Do H(y)=\int_0^\infty e^{-xy}\sin(bx)dx hội tụ đều theo y trên \mathbb R nên tương tự trên, với mọi A>a

\int_a^A dy \int_0^\infty e^{-xy}\sin(bx)dx=\int_0^\infty dx \int_a^A e^{-xy}\sin(bx)dy.

\int_0^\infty g(A, x)dx, với g(A, x)=\sin(bx)\dfrac{e^{-ax}-e^{-Ax}}{x}, hội tụ đều theo A trên (0, +\infty).

Bạn đọc thử viết tiếp các lý do để ta có đẳng thức sau

\int_a^\infty dy \int_0^\infty e^{-xy}\sin(bx)dx=\int_0^\infty dx \int_a^\infty e^{-xy}\sin(bx)dy

hay

\int_a^\infty H(y)dy =I(a, b).

Mà ta có H(y)=\dfrac{b}{b^2+y^2} nên

I(a, b)=\dfrac{\pi}{2}-\arctan(a/b).

Ta sẽ dùng kết quả trên để tính I(0, b) nhờ quá trình lấy giới hạn.

TH1: b=0 ta có ngay I(0, 0)=0.

TH2: b\not=0, do tích phân

I(a, b)=\int_0^\infty e^{-ax}\dfrac{\sin(bx)}{x}dx

hội tụ đều theo a trên [0, +\infty)

nên I(0, b)=\lim\limits_{a\to 0^+} I(a, b)=\dfrac{\pi}{2}

hay \int_0^\infty \dfrac{\sin(bx)}{x}dx=\dfrac{\pi}{2}\; (b\not=0).

Như vậy ta có cách thứ 3 để tính tích phân suy rộng.

Người ta còn có cách khác không dùng tích phân phụ thuộc tham số để tính tích phân suy rộng. Cách này đòi hỏi kiến thức về Hàm biến phức một biến. Dưới đây tôi sẽ trình bày cách tính tích phân

I(0, 1)=\int_0^\infty \dfrac{\sin x}{x}dx

nhờ các kết quả về tích phân Cauchy và thặng dư.

Do hàm \dfrac{\sin x}{x} là hàm chẵn và tích phân I(0, 1) hội tụ nên

I(0, 1)=\dfrac{1}{2}\lim\limits_{R\to \infty}\lim\limits_{\epsilon\to 0^+}\int\limits_{\epsilon<|x|<R}\dfrac{\sin x}{x}dx.

Lại có

+) \dfrac{\sin x}{x}=Im \dfrac{e^{ix}}{x};

+) hàm \dfrac{e^{iz}}{z} là hàm chỉnh hình trong miền \mathbb C\setminus\{0\} nên

tích phân Cauchy \int_C \dfrac{e^{iz}}{z}dz=0 với

C=\{(x, 0)|\; -R\le x\le -\epsilon\}\cup C_\epsilon \cup \{(x, 0)|\; \epsilon\le x\le R\}\cup C_R;

do đó

\int\limits_{\epsilon\le |x|\le R}\dfrac{\sin x}{x}dx=-Im\big(\int_{C_\epsilon}\dfrac{e^{iz}}{z}dz\big)-Im\big(\int_{C_R}\dfrac{e^{iz}}{z}dz\big).

+) Trên C_\epsilon: z=\epsilon e^{i\theta}, \theta chạy từ \pi đến 0 nên

\int_{C_\epsilon}\dfrac{e^{iz}}{z}dz=-\int_0^\pi ie^{iz}d\theta=-i\pi e^{iz_\epsilon}, z_\epsilon\in C_\epsilon,

do đó \lim\limits_{\epsilon\to 0^+}\int_{C_\epsilon}\dfrac{e^{iz}}{z}dz=-i\pi.

+) Trên C_R: z=Re^{i\theta}, \theta chạy từ 0 đến \pi

|e^{iz}|=e^{-R\sin\theta}

|\int_{C_R}\dfrac{e^{iz}}{z}dz|=|\int_0^\pi ie^{iz}d\theta|\le 2\int_0^{\pi /2}e^{-R\sin\theta}d\theta,

do đó \lim\limits_{R\to \infty}\int_{C_R}\dfrac{e^{iz}}{z}dz=0

(lưu ý \sin{\theta}\ge C\theta, \theta\in[0, \pi/2)).

Vậy

I(0, 1)=\dfrac{\pi}{2}.

About these ads

Responses

  1. Bạn đọc muốn tìm hiểu thêm về tích phân suy rộng có thể đọc trong cuốn
    “The theory of functions” của E. C. Titmarsh

    (http://www.box.net/shared/5qcm7iiqyadczyhu2tak).

  2. Các bạn có thể tham khảo thêm các cách tính

    +) của Paul Loyal, dựa vào tích phân lặp, trong bài

    http://www.math.binghamton.edu/loya/papers/LoyaMathMag.pdf

    +) của Sirajuddin David, dựa vào tích phân Cauchy trong Giải tích phức, trong bài

    http://itcanbeshown.com/integrals/Fresnel%20Integrals/fresnel_integrals.pdf

  3. anh chị giúp e phần đạo hàm dưới dấu tích phân với.. E xem phần bài tập hoài mà k hiểu. Thank mn nhiều.

    • Em có thể hỏi cụ thể hơn được không?

  4. giải giùm em bài này,tính tích phân suy rộng của (2x^2+4x-1)/(16x^4-32x^3+63x^2-16x+35)

    • Bài này em chưa cho cận lấy tích phân? Hàm dưới dấu tích phân có dạng hàm hữu tỷ nên em tính nguyên hàm của hàm này trước.

  5. Tinh tich phan suy rong
    {[(lnx)^a ]/ (x+1)^2 }dx
    x tu 1->duongvocuc.
    Thầy giải giúp em bài này với ạ.
    Em cảm ơn thầy.

    • Trường hợp a=1 khá đơn giản. Chỉ việc dùng tích phân từng phần để tìm nguyên hàm rồi chuyển qua giới hạn.

      Trường hợp a\not=1 thì tôi chưa có hướng nào!

      • Thầy ơi, em vẫn chờ thầy định hướng cách giải bài toán đó giúp em ạ.

      • Tôi không có ý định nghĩ nhiều về việc này nên có lẽ em hỏi người khác.

  6. Vâng, dẫu sao e cũng cảm ơn thầy. Thứ 6 tuần này e thi. Nếu bỗng nhiên thầy có định hướng cách giải bài này trước thứ 6 và có thể viết lên đây thì e rất rất cảm ơn thầy.
    ( nghe văn phong trả lời của thầy, e cảm giác thầy phật lòng vì điều gì đó từ e? Nếu có thì thầy bỏ qua những gì e vô tình làm thầy phật ý nhé. E cũng chỉ vì bài thi của mình mà : ” có bệnh thì vái tứ phương ” thôi. E ko có ý gì đâu thầy ạ.
    Chúc thầy mạnh khoẻ và thành công.

    • Tôi không giúp được em nên nhắc em chuyển sang hướng khác! Giúp “nhầm thuốc” không những hại người mà còn hại cả bản thân? Thế nhé.

  7. thầy giải hộ em bài tích phân ruy rộng này với ạ, em cám ơn
    ln(sinx) cận từ 0- +vô cực

    • Hàm dưới dấu tích phân không xác định khi sin x<=0.

  8. vâng em biết nhưng em muốn thầy định hương giúp em cách giải tích phân thui ạ còn tính giới hạn thì em tính được

    • Tôi không hiểu em muốn định hướng gì? Em có hiểu hàm dưới dấu tích phân không xác định thì làm thế nào tính được? Tôi xin phép xoá những câu hỏi khi người hỏi không hiểu mình hỏi gì!

  9. mong thầy giúp em sớm tại mai em thi rồi ạ

  10. Dây là tích phân hỡn hợp của loại 1 và loại 2. lim(tích phân từ a- b của ln(sinx) khi a tiến tới 0 và b tiến tới +vô cực.
    E hiểu vậy mà vẫn được coi là k hiểu mình hỏi j ak.
    Cảm ơn thầy đã trả lời khi nào tìm ra đáp án e sẽ gửi cho thầy
    Thầy cứ xóa câu hỏi của em đi ạ

    • Em không hiểu

      \sin x<0 khi x\in (\pi, 2\pi)?

      Khi đó trong khoảng này (\pi, 2\pi) em hiểu hàm

      ln(\sin x) như nào? Chẳng hạn em cho tôi biết ln(\sin (3\pi/2))?

      Lúc đó em lấy tích phân

      \int\limits_a^b ln(\sin x)dx

      khi 0<a<\pi<2\pi <b như nào?

  11. Thầy ơi cho em hỏi để tính tích phân của (x^2).e^(-x^2) cận từ 0 đến + vô cùng thì mình làm như thế nào hả thầy? (ở đây họ không cho biết tích phân của e^(-x^2) là bằng bao nhiêu cả thầy ạ) thầy hướng dẫn em cách làm với thầy nhé! em cảm ơn thầy nhiều ạ ^_^

    • Để tính I=\int\limits_0^\infty e^{-x^2}dx ta xét

      I^2=(\int\limits_0^\infty e^{-x^2}dx)(\int\limits_0^\infty e^{-y^2}dy).

      Đến đây chuyển tích phân trên về tích phân hai lớp rồi dùng hệ tọa độ cực ta tính được

      I^2=\pi^2/4.

      Dùng tích phân từng phần ta có

      \int\limits_0^\infty x^2e^{-x^2}dx=1/2\int\limits_0^\infty e^{-x^2}dx.

  12. Nhưng mà thầy ơi tích phân hai lớp là ở giải tích 3 phải không hả thầy?? em đang học giải tích 2 thì làm sao mà ứng dụng được tích phân 2 lớp được ạ. đề họ chỉ nói tính tích phân suy rộng của (x^2).e^(-x^2) cận từ 0 đến cộng vô cùng. em dùng từng phần mà mãi vẫn không ra được kết quả thầy ạ T_T

  13. thầy ơi cho em hỏi làm sao để đánh công thức toán trong phần bình luận như thầy vậy ạ. Em có mấy bài muốn hỏi mà không biết đánh để nào để hỏi thầy cả. thầy chỉ em với thấy nhé. Em cảm ơn thầy nhiều ạ :D

    • Em đọc ở phần hướng dẫn gõ công thức bằng LaTeX ở lề phải của trang web.

  14. Tính I = \int\limits_0^{ + \infty } {{x^2}} {e^{ - {x^2}}}dx
    Mọi b>0 ta tính tích phân I = \int\limits_0^b {{x^2}} {e^{ - {x^2}}}dx
    Dùng tích phân từng phần:
    \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = x{e^{ - {x^2}}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \frac{{ - 1}}{2}{e^{ - {x^2}}} \end{array} \right.\\  \Rightarrow I = \left. {\frac{{ - x{e^{ - {x^2}}}}}{2}} \right|_0^b + \frac{1}{2}\int\limits_0^b {{e^{ - {x^2}}}dx} \\  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{b \to  + \infty } \left[ {\frac{{ - b{e^{ - {b^2}}}}}{2} + \frac{1}{2}\int\limits_0^b {{e^{ - {x^2}}}dx} } \right] = \mathop {\lim }\limits_{b \to  + \infty } \frac{1}{2}\int\limits_0^b {{e^{ - {x^2}}}dx}  = \frac{1}{2}\int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - {x^2}}}dx}  \end{array}
    sau đó em tính tích phân của \int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - {x^2}}}dx} rồi nhân với 1/2 thì ra kết quả đáp án.
    Không biết em viết như trên có đúng không thầy hè?
    vì bọn em học \int\limits_0^{ + \infty } {f(x)dx = \mathop {\lim }\limits_{b \to  + \infty } } \int\limits_0^b {f(x)dx} nên khi viết ngược lại em không biết có đúng không nữa? thầy xem giúp em với thầy nhé. em cảm ơn thầy nhiều ^_^

    • Em viết khá ổn. Sửa lại

      I(b)=\int\limits_0^b x^2e^{-x^2}dx

      vì tích phân này phụ thuộc vào b.

  15. Vậy là \mathop {\lim }\limits_{b \to  + \infty } \int\limits_0^b {f(x)dx}  = \int\limits_0^{ + \infty } {f(x)dx} viết ngược lại cũng đúng đúng không thầy Em cảm ơn thầy nhiều ạ :D

  16. Thầy ơi cho em hỏi để tính tích phân \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sin 2x}}{x}} dx thì mình thế nào hả thầy?? em cảm ơn thầy nhiều ạ!

  17. thầy ơi cho em hỏi làm sao để tính tính phấn của \int_0^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{(1 + {x^2})}^n}}}} vậy hả thầy???
    em định đặt x = cotg t nhưng mà lại không biết cận của nó là mấy cả. Thầy chỉ dùm em với thầy nhé! em cảm ơn thầy ạ!

    • Em đặt x=\tan t có cận

      +) x=0 ứng với t=0,

      +) x=\infty ứng với t=\pi/2,

      +) dx=\dfrac{dt}{\cos t},

      +) \dfrac{1}{(1+x^2)^n}=\cos^{2n}t.

      Vậy tích phân cần tính

      \int\limits_0^{\pi/2}\cos^{2n-1}tdt.

      Đến đây dùng tích phân từng phần để dẫn đến quan hệ quy nạp.

  18. Thầy ơi em thấy một sách chỉ cách tính I = \int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - {x^2}}}} dx
    Đoạn đầu họ ghi là với x > 1 ta có : {e^{ - {x^2}}} < {e^{ - x}} do đó I hội tụ
    Để nói I hội tụ em trình bày như thế này có đúng không hả thầy, thầy xem dùm em với thầy nhé!
    với x > 1 ta có : {e^{ - {x^2}}} < {e^{ - x}}
    \int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - x}}} dx
    Với b>0: \begin{array}{l} \int\limits_0^b {{e^{ - x}}} dx = \left. { - {e^{ - x}}} \right|_0^b =  - {e^{ - b}} + 1\\  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{b \to  + \infty } \int\limits_0^b {{e^{ - x}}} dx = \mathop {\lim }\limits_{b \to  + \infty } ( - {e^{ - b}} + 1) = 1 \end{array}
    \Rightarrow \int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - x}}} dx hội tụ nên \int\limits_1^{ + \infty } {{e^{ - x}}} dx hội tụ suy ra \int\limits_1^{ + \infty } {{e^{ - {x^2}}}} dx hội tụ \Rightarrow \int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - {x^2}}}} dx hội tụ

    • Cách này cho ta biết tích phân suy rộng có hội tụ hay không chứ không cho ta biết nó hội tụ đến đâu. Nói cách khác đây không phải là tính tích phân vì nó không cho ta biết giá trị của nó, đây chỉ dừng lại ở việc xét tính hội tụ hay phân kỳ của tích phân suy rộng. Nói chung không phải lúc nào ta cũng có thể tính được tường minh tích phân suy rộng.

  19. Dạ! Em cảm ơn thầy!
    Thầy ơi \int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - n{x^2}}}} dx = \frac{1}{{\sqrt n }}\int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - {x^2}}}}
    Em tính tích phân \int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - n{x^2}}}} dx
    nếu đặt u = \sqrt n x \Rightarrow \frac{{du}}{{\sqrt n }} = dx thì cận của nó là mấy hả thầy?
    mình có thể ghi cận là : x = 0 thì u = 0, x =  + \infty  \Rightarrow u =  + \infty được không thầy? hay là mình lại dùng \mathop {\lim }\limits_{b \to  + \infty }

    • Nên dùng cách sau.

  20. mà viết lim em cứ bị nhầm sao ấy. thầy giúp em cái viết lim được không thầy

    • Em tự làm sẽ tốt hơn. Nhầm thì sửa.

  21. Thầy ơi cho em hỏi là tính độ dài đường cong cho bởi phương trình này thì cận của hắn là mấy hả thầy?
    \[r = \frac{p}{{1 + \cos \alpha }},|\alpha | < \frac{\pi }{2}\]
    Em cảm ơn thầy nhiều ạ

    • Cận là đầu mút \pm \pi/2.


Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Danh mục

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: