Trao đổi Giải tích 3+4 lớp K56

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Hai 4, 2012

Trao đổi Giải tích 3+4 lớp K56

Thứ Hai, ngày 30/01/2012, tôi bắt đầu dạy Giải tích 3 cho lớp K56. Tôi đã bắt đầu giải tích 3 với việc trình bày topo trên mặt phẳng qua các khái niệm:

-) khoảng cách,

-) chuẩn,

-) điểm trong – tập mở, điểm tụ – tập đóng.

Cũng như kỳ trước, ngoài việc kiểm tra để lấy điểm thường xuyên, tôi sẽ ra một số bài tập lớn hay các bạn có thể tự nghĩ ra chủ để phù hợp để làm. Trong trường hợp các bạn làm tốt đương nhiên các bạn đạt điểm 10 thường xuyên.

Ngoài ra các bạn có thắc mắc gì về bài giảng có thể trao đổi với tôi qua trang web này trong phần “Phản hồi” dưới mỗi bài viết.

Like this:

Be the first to like this post.

Posted in Bài giảng | Thẻ: GT

Trả lời

Tôi vừa nghĩ ra hai chủ đề:

+) tập đóng, tập mở, tập bị chặn trong $\mathbb R^2$ ,

+) giới hạn kép, giới hạn lặp và các quan hệ giữa chúng.

Các bạn sinh viên có thể chọn để làm bài tập lớn.
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Hai 6, 2012
lúc 4:19 chiều

Trả lời
Em chào thầy ạ!
Thưa thầy, em có vài câu hỏi về môn đstt.Hì! mong thầy giúp đỡ ạ!
- Thưa thầy, có phải mọi ma trận của f trong mọi cơ sở của không gian vecto V thì đều có giá trị riêng giống nhau không ạ?
- Và giả sử ma trận A trong cơ sở (v1,v2,…,vn)chéo hóa được thì trong cơ sở (u1,u2,…,un) có chéo hóa được không ạ? (khi em làm bài tập thì em thấy không chéo hóa được).
- khi tìm vecto riêng của ma trận A trong cơ sở khác cơ sở chính tắc thì ta vẫn dùng công thức (A-rEn)(x1,x2,…,xn)^t=0 chứ ạ? (theo như ý hiểu của em thì e thay En bằng cơ sở khác đó (tức là trong cơ sở đề bài cho ý ạ)). làm như vậy có sai không ạ?
Bởi: Nguyễn Thị Hạnh ngày Tháng Hai 10, 2012
lúc 8:33 chiều

Trả lời
- - Giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính chỉ phụ thuộc vào ánh xạ đó chứ không phụ thuộc vào ma trận của nó.
  
  - Câu này tôi chưa hiểu ý em. Em có thể nói cụ thể bài tập em đã làm?
  
  - Câu cuối này tôi thấy có vấn đề. Vì tôi thường chỉ thấy tìm véc-tơ riêng của ma trận không cần nói thêm trong cơ sở nào. Có thể để biểu thị véc-tơ riêng ta cần nói rõ trong cơ sở chính tắc. Tôi thấy cách tìm véc-tơ riêng khá cụ thể qua bốn bước trong sách “Đại số tuyến tính” của thầy N. H. V. Hưng (trang 158-159).
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Hai 10, 2012
  lúc 9:59 chiều
  
  Trả lời
Hôm nay, ngày 13/02/2012, tôi đã kết thúc phần đầu của giải tích 3:

tô-pô trong $\mathbb R^n$ + khái niệm liên tục của hàm nhiều biến.

Tuần sau tôi bắt đầu chuyển sang phép tính vi phân hàm nhiều biến.

Những điểm cần tính toán được trong phần này:

+) điểm trong, điểm tụ,

+) giới hạn lặp, giới hạn kép.

Điểm lưu ý khi tính các giới hạn:

+) Tính giới hạn kép tại $a$ ta chưa cần quan tâm đến giá trị của hàm tại điểm $a$ và cũng không cần quan tâm đến điểm xa $a$ .

Ta sẽ quan tâm đến giá trị của hàm tại $a$ khi quan tâm đến tính liên tục của nó.

+) Tính giới hạn lặp

$\lim\limits_{x_1\to a_1}\lim\limits_{x_2 \to a_2}f(x_1, x_2)$

không cần quan tâm giới hạn

$\lim\limits_{x_2\to a_2} f(a_1, x_2)$ .

Ta sẽ quan tâm giới hạn này khi quan tâm tính liên tục theo biến $x_2$ tại $a$ .
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Hai 13, 2012
lúc 4:25 chiều

Trả lời
thầy có bài giảng hay các phương pháp để làm giai tich k56 học ky 2 không ạ? Ngay buổi đầu em đã thấy lơ mơ về cái tiêu chuẩn cauchy rùi,trên lớp cô giáo cứ viết vèo vèo chép em ko hiểu lắm,mà đọc ở trong sách thì họ chỉ viết qua loa,như kiểu sợ tốn giấy với mực in ý.
Bởi: nguyen ngày Tháng Hai 15, 2012
lúc 8:07 chiều

Trả lời
- Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy điểm trong $\mathbb R^n$ , hay cụ thể trong mặt phẳng, về cơ bản cũng giống như trong dãy số thực. Chẳng hạn, dãy điểm trong mặt phẳng
  
  $\{P_k=(x_k, y_k)\}_{k=1}^\infty$ hội tụ
  
  khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản, nghĩa là
  
  $\lim\limits_{k\to\infty \atop l\to \infty} ||(x_k, y_k)-(x_l, y_l)||=0$
  
  hay tương đương với
  
  $\lim\limits_{k\to\infty \atop l\to \infty} |x_k-x_l|=0$ ,
  
  $\lim\limits_{k\to\infty \atop l\to \infty} |y_k- y_l|=0$ ,
  
  cũng chính là
  
  hai dãy số thực $\{x_k\}_{k=1}^\infty, \{y_k\}_{k=1}^\infty$ là dãy số thực cơ bản.
  
  Nói chung để xem dãy điểm có hội tụ hay không ta kiểm tra từng dãy tọa độ của nó có hội tụ hay không.
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Hai 15, 2012
  lúc 8:21 chiều
  
  Trả lời
thưa thầy
thầy có thể nói rõ hơn về cách tính giới hạn kép được khong ạ?
em vẫn lơ mơ không rõ lắm về cách tính giới hạn kép mà chỉ biết tính giới hạn lặp thui thầy ạ
thầy trả lời giúp em được không ạ?
Bởi: do nga ngày Tháng Hai 16, 2012
lúc 9:32 chiều

Trả lời
- Để tính giới hạn kép trước hết ta cần xem nó có giới hạn kép hay không?
  
  Có vài biểu hiện cụ thể cho thấy giới hạn kép không tồn tại:
  
  -) có hai giới hạn lặp khác nhau,
  
  -) giới hạn lấy trên các hướng khác nhau là khác nhau.
  
  Cần lưu ý:
  
  -) không có giới hạn lặp vẫn có thể có giới hạn kép,
  
  -) có hai giới hạn lặp bằng nhau chưa nói gì được việc có hay không có giới hạn kép,
  
  -) giới hạn lấy theo các đường thẳng khác nhau cho cùng kết quả cũng không nói được việc có hay không có giới hạn kép.
  
  Câu trả lời trên của tôi chắc vẫn còn chung chung. Theo tôi tốt nhất em hỏi cụ thể hơn:
  
  em cảm thấy chưa rõ ở điểm nào, hay cụ thể hơn nữa em lấy một bài tập ra và chỉ rõ em chưa biết phải làm chỗ nào?
  
  Như vậy tôi mới có thể trả lời chi tiết hơn.
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Hai 16, 2012
  lúc 11:17 chiều
  
  Trả lời
Thầy cho em hỏi: trong không gian R mũ vô cùng, với chuẩn Euclid thông thường (chuỗi tổng bình phương các tọa độ hội tụ) thì dãy cô si có hội tụ không…
Bởi: dũng ngày Tháng Hai 19, 2012
lúc 3:17 chiều

Trả lời
- Người ta không viết $\mathbb R^\infty$ . Cái em nói đến người ta gọi là không gian các dãy số thực bình phương hội tụ. Cụ thể
  
  $\ell_2(\mathbb R)=\{(x_n)|\; x_n\in \mathbb R, \forall n\in\mathbb N$ thỏa mãn
  
  $\sum\limits_{n=1}^\infty |x_n|^2<+\infty\}$ .
  
  Không gian này có chuẩn được định nghĩa
  
  $||(x_n)||_2=\big(\sum\limits_{n=1}^\infty |x_n|^2\big)^{1/2}$ .
  
  Ngoài không gian $\ell_2(\mathbb R)$ , người ta cũng quan tâm đến các dãy
  
  $\ell_p(\mathbb R)=\{(x_n)|\; x_n\in \mathbb R, \forall n\in\mathbb N$ thỏa mãn
  
  $\sum\limits_{n=1}^\infty |x_n|^p<+\infty\}, 1\le p<+\infty$ .
  
  Khác với không gian hữu hạn chiều $\mathbb R^n$ các chuẩn $||.||_p$ cho ta cùng một không gian, các không gian $\ell_p(\mathbb R)$ là đôi một khác nhau.
  
  Dãy Cauchy trong các không gian này đều là dãy hội tụ.
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Hai 19, 2012
  lúc 9:28 chiều
  
  Trả lời
E đọc thì thấy việc chứng minh lp là không gian Banach thì người ta dựa vào không gian Lp các hàm lũy thừa bậc p khả tích.. Như vậy là không chứng minh đơn thuần theo kiểu các thành phần đều là dãy cô si và dần tới một giá trị hữu hạn, không biết có thể xoay quanh cách đơn giản đó cho dễ hiểu được không thầy??? E hỏi luôn là: rõ ràng là khi xét trong lp, (xn) là dãy cô si thì các thành phần đều dần tới một số hữu hạn, khi đó (xn) có hội tụ về điểm có các thành phần là giá trị giới hạn đó không… Thanhk thầy….
Bởi: dũng ngày Tháng Hai 19, 2012
lúc 11:16 chiều

Trả lời
- Cách nghĩ của em được thể hiện qua chứng minh sau, tôi lấy từ bài giảng của Katrin Wehrheim,
  
  http://www-math.mit.edu/~katrin/teach/18.100/LpCompleteness.pdf
  
  Lưu ý:
  
  +) trong không gian hữu hạn chiều $\mathbb R^n$
  
  dãy điểm trong $\mathbb R^n$ hội tụ
  
  khi và chỉ khi
  
  từng tọa độ của nó hội tụ;
  
  +) trong không gian $\ell_p(\mathbb R)$
  
  dãy điểm trong $\ell_p(\mathbb R)$ hội tụ
  
  thì
  
  từng tọa độ của nó hội tụ.
  
  Trong $\ell_p(\mathbb R)$ không có điều ngược lại. Chẳng hạn dãy
  
  $x^1=(1, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{3^2}, \dots, \frac{1}{n^2}, \dots)$ ,
  $x^2=(\frac{1}{2^2}, 1, \frac{1}{3^2}, \dots, \frac{1}{n^2}, \dots)$ ,
  $x^3=(\frac{1}{3^2}, \frac{1}{2^2}, 1, \dots, \frac{1}{n^2}, \dots)$ ,
  
  $\dots$
  
  $x^n=(\frac{1}{n^2}, \dots, \frac{1}{3^2}, \frac{1}{2^2}, 1, \dots)$ ,
  
  $\dots$ .
  
  Dãy này có từng tọa độ tiến về $0$ nhưng không hội tụ trong $\ell_p(\mathbb R)$ .
  
  Dãy này còn có đặc điểm: dãy bị chặn và không có bất cứ dãy con nào hội tụ. Đặc điểm này phá vỡ tính Heine-Borel như trong không hữu hạn chiều:
  
  tính compact=tính đóng + tính bị chặn.
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Hai 20, 2012
  lúc 10:50 sáng
  
  Trả lời
thank thầy….
Bởi: dũng ngày Tháng Hai 20, 2012
lúc 2:42 chiều

Trả lời
Em đã xem bài giảng của Katrin và thấy là nếu (xn) trong lp có từng tọa độ hội tụ (không nhất thiết (xn) là dãy cô si) thì điểm có các tọa độ là các điểm hội tụ đó nằm trong lp, đúngkhông nhỉ….??????
Bởi: dũng ngày Tháng Hai 20, 2012
lúc 3:39 chiều

Trả lời
- Điều em nghĩ là đúng.
  
  Cụ thể:
  
  nếu có $x^k=(x^k_1, x^k_2, \dots, x^k_n, \dots) \in \ell_p(\mathbb R), \forall k\in\mathbb N$ ,
  
  và với mỗi $n\in\mathbb N$ có $\lim\limits_{k\to\infty}x^k_n=y_n$
  
  thì $y=(y_1, y_2, \dots, y_n, \dots)\in\ell_p(\mathbb R)$ .
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Hai 20, 2012
  lúc 4:10 chiều
  
  Trả lời
Hôm nay ngày 20/02/2012 tôi đã bắt đầu chuyển sang phần phép tính vi phân hàm nhiều biến. Phép tính vi phân liên quan đến hai điểm:

+) ta chỉ tính đạo ánh của hàm số tại điểm trong, điểm mà có một hình tròn tâm là nó với bán kính đủ nhỏ nằm hoàn toàn trong miền xác định của hàm đó,

+) giới hạn kép.

Cần lưu ý thêm về giới hạn kép:

hàm số có giới hạn kép tại một điểm $x^0$ nào đó là $a$ thì với bất kỳ cách đi nào trong miền xác định của hàm số tới điểm đó, giá trị của hàm số trên đường đi đó cũng tiến tới $a$ khi biến số chạy về $x^0$ .

Điểm lưu ý này giúp ta thấy ngay

+ hàm có đạo ánh tại điểm trong $x^0$ thì tất yếu nó có đạo hàm riêng theo các biến tại $x^0$ vì việc lấy đạo hàm riêng chẳng qua là quan tâm đến giới hạn của
$\dfrac{|f(x^0+h)-f(x^0)-Df(x^0)(h)|}{|h|}$
khi cho $h$ chạy về gốc $0$ trên từng trục tọa độ.

Việc tính đạo ánh của hàm $f:\Omega(\subset\mathbb R^2)\to\mathbb R$ tại một điểm $x^0$ :

+ Về mặt hình học là tìm mặt phẳng tiếp xúc với đồ thị $G(f)=\{(x, f(x))\in\mathbb R^3|\; x\in\Omega\}$ của hàm $f$ tại điểm $x^0$ .

+ Về mặt tính toán

- Ta tìm phần tuyến tính theo $h$ của hiệu $f(x^0+h)-f(x^0)$ . (khá mò mẫm)
- Ta có thể tính như máy qua các bước sau.
Bước 1: ta tính các đạo hàm riêng của $f$ tại $x^0$ :
$\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x^0)=a, \dfrac{\partial f}{\partial x_2}(x^0)=b$ .

Nếu không tính được (một trong các đạo hàm riêng không tồn tại) thì ta dừng lại và
kết luận hàm $f$ không khả vi tại $x^0$ .

Nếu tính được ta chuyển sang Bước 2.

Bước 2: xét giới hạn khi cho $h\to 0$ của biểu thức sau
$\dfrac{|f(x^0+h)-f(x^0)-ah_1-bh_2|}{||h||}$ .

Nếu ta tìm được một dãy điểm $h^k, k=1, 2, \dots$ để

$x^0+h^k\in\Omega, \forall k=1, 2, \dots$
và
$\lim\limits_{k\to\infty}h^k=0$
$\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{|f(x^0+h^k)-f(x^0)-ah^k_1-bh^k_2|}{||h^k||}\not=0$

thì
kết luận hàm $f$ không khả vi tại $x^0$ .

Việc khó chứng minh

$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{|f(x^0+h)-f(x^0)-ah_1-bh_2|}{||h||}=0$ .
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Hai 20, 2012
lúc 8:32 chiều

Trả lời
Thứ Hai, ngày 05/03/2012, tôi đã giảng về cực trị tại các điểm trong của hàm khả vi. Về cơ bản có nhiều điểm giống hàm một biến. Điểm khác thể hiện ở đạo hàm cấp $2$ . Về hình học của các dấu hiệu xuất phát từ đồ thị của các hàm

$f(x, y)=x^2+y^2$ (cực tiểu),

$f(x, y)=-x^2-y^2$ (cực đại),

$f(x, y)=x^2-y^2$ (điểm yên ngựa).
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 6, 2012
lúc 2:14 chiều

Trả lời
Thưa Thầy!
thầy có thể chỉ rõ cho em về phần tính đạo ánh của hàm f . vì trong sách giáo trình và sách bài tập em không thấy có bài tập ví dụ vì vậy em chưa hiểu được ạ !
Bởi: ngô viết hùng ngày Tháng Ba 7, 2012
lúc 10:43 chiều

Trả lời
- Để tính đạo ánh của một hàm ta cần tính đạo ánh tại từng điểm trong tập xác định của $f$ .
  
  Tại từng điểm, để xác định đạo ánh ta thường tính các đạo hàm riêng cấp $1$ của $f$ . Trong trường hợp may mắn ma trận các đạo hàm riêng tại điểm đang xét cho ta đạo ánh của hàm tại điểm đó (trường hợp hàm khả vi tại điểm đó).
  
  Tại mỗi điểm trong tập xác định ta đều có đạo ánh tại điểm đó thì ta đã xác định được đạo ánh của hàm đã cho.
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 7, 2012
  lúc 10:57 chiều
  
  Trả lời
Hôm nay, ngày 27/03/2012, tôi kết thúc Giải tích 3 bằng việc cho các bạn sinh viên làm quen với Định lý hàm ẩn – Định lý hàm ngược một cách thực hành cũng như tìm cực trị có điều kiện.

Cụ thể, khi ta có phương trình
$F(x, y, z)=0$ ,

Chẳng hạn $F(x, y, z)=x^2+y^2+z^2-1$ .

Để giải $z=z(x, y)$ như ta từng làm ta cần chia trường hợp. Sau khi có hàm $z(x, y)$ , ta muốn khảo sát nó, chẳng hạn tính các đạo hàm riêng. Nếu ta chia từng trường hợp rồi tính thì sẽ khá mất công. ĐỊnh lý hàm ẩn giúp ta tính các đạo hàm riêng
$\dfrac{\partial z}{\partial x}, \dfrac{\partial z}{\partial y}$
mà không cần biết cụ thể hàm $z(x, y)$ .

Rõ hơn, lấy vi phân hai vế của phương trình có

$\dfrac{\partial F}{\partial x}dx+\dfrac{\partial F}{\partial y}dy+\dfrac{\partial F}{\partial z}dz=0$ .

Lưu ý $z$ là hàm theo hai biến $x, y$ nên
$dz=\dfrac{\partial z}{\partial x}dx+\dfrac{\partial z}{\partial y}dy$ .

Do đó
$\Big(\dfrac{\partial F}{\partial x}+\dfrac{\partial F}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial x}\Big)dx+$
$\Big(\dfrac{\partial F}{\partial y}+\dfrac{\partial F}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial y}\Big)dy=0$ .

Lưu ý $x, y$ là các biến độc lập nên đồng nhất hệ số

$\dfrac{\partial F}{\partial x}+\dfrac{\partial F}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial x}=0$ ,
$\dfrac{\partial F}{\partial y}+\dfrac{\partial F}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial y}=0$ .

Từ đó ta tính được
$\dfrac{\partial z}{\partial x}, \dfrac{\partial z}{\partial y}$ .

Ta lại có thể tính các đạo hàm riêng cấp $2$ của hàm $z(x, y)$ .

Ta có thể dùng các đạo hàm riêng này để tìm cực đại và cực tiểu của hàm $z(x, y)$ .

Đối với việc tìm cực trị có điều kiện, chẳng hạn tìm cực trị của hàm $F(x, y, z)$ khi biết $G(x, y, z)=0$

sau khi tìm được điểm dừng, ta tính vi phân cấp $2$ của $F(x, y, z)$

ta cần nhớ rằng $x, y, z$ co rằng buộc nên các vi phân $dx, dy, dz$ cũng có rằng buộc.

Cụ thể

$\dfrac{\partial G}{\partial x}dx+ \dfrac{\partial G}{\partial y}dy+\dfrac{\partial G}{\partial z}dz=0$ .

Sau khi thực hành tính toán tôi chuyển sang Giải tích 4 với những khái niệm về chuỗi số.
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 27, 2012
lúc 10:47 chiều

Trả lời
thua thay,
em xin loi vi may em khong dung duoc vietkey ,mong thay thong cam a
thay co the noi ro cho em cach phan biet va lam bai tap ve diem trong,diem tu duoc khong a?
em van khong the lam duoc bai tap phan ay,du biet rang chung minh la diem trong la chung minh ton tai B(Xo,r) co chua diem xo do,
nhung em van khong biet xac dinh ban kinh cua duong tron de no chua diem can tim la diem trong a
va ca phan bai tap ve diem tu nua thay a
thay giang lai giup em duoc khong a?
em cam on thay nhieu a
Bởi: donga ngày Tháng Tư 3, 2012
lúc 2:57 chiều

Trả lời
- Tốt nhất lúc nào em đến tổ Giải tích hỏi trực tiếp thì tốt hơn.
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Tư 3, 2012
  lúc 6:19 chiều
  
  Trả lời
Ngày 09/04/2012, tôi thực sự chuyển sang Giải tích 4 với chuỗi số.
Về định nghĩa sự hội tụ của chuỗi số chẳng qua chỉ là sự hội tụ của dãy tổng riêng. Những sẽ rất khác vì việc kiểm tra sự hội tụ của một dãy số ta có ít công cụ như:
- tiêu chuẩn Cauchy,
- Định lý Weierstrass về dãy đơn điệu bị chặn,
- nguyên lý kẹp.
trong khi đó chuỗi số có khá nhiều công cụ để kiểm tra tính hội tụ.
Tôi đã trình bày khá nhiều dấu hiệu về sự hội tụ của chuỗi dương.

Các dấu hiệu quan tâm đến số hạng tổng quát
$a_n$
gồm
-) điều kiện cần,
-) dấu hiệu căn Cauchy.

Các dấu hiệu quan tâm đến tỉ số
$\dfrac{a_n}{a_{n+1}}$

gồm
-) dấu hiệu D’Alembert,
-) dấu hiệu Raabe,
-) dấu hiệu Gauss.

Ngoài ra còn dấu hiệu tích phân Cauchy.

Một điều đặc biệt, một số dấu hiệu vừa kể trên áp dụng được ngay cho cả chuỗi không dương mặc dù tôi đã lưu ý
-) chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ,
-) nhưng chuỗi phân kỳ tuyệt đối chưa chắc đã phân kỳ, chẳng hạn chuỗi
$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n}$ .

Cảm ơn thầy Chử Văn Tiệp đã nhắc tôi nhớ ra điều này.

Cụ thể như sau. Xét chuỗi (không nhất thiết dương)
$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ . $\;\;\;(1)$

(Điều kiện cần) Nếu chuỗi (1) hội tụ thì
$\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0$ .

Cũng cần nói về điều ngược lại như sau:
Nếu
$\limsup\limits_{n\to\infty}|a_n|=a>0$ ( $a$ có thể là $+\infty$ )
thì chuỗi (1) phân kỳ.
Chẳng hạn chuỗi $\sum\limits_{n=1}^\infty \sin n$ .

(Dấu hiệu căn Cauchy) Giả sử có giới hạn
$R=\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}$ .
Nếu $R<1$ chuỗi (1) hội tụ tuyệt đối nên hội tụ.
Nếu $R>1$ thì dãy $|a_n|$ không bé hơn $1$ từ lúc nào đó trở đi, nên theo điều kiện cần chuỗi (1) phân kỳ!

(Dấu hiệu D'Alembert) Giả sử có giới hạn
$R=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}$ .
Nếu $R<1$ chuỗi (1) hội tụ tuyệt đối nên hội tụ.
Nếu $R>1$ thì dãy $|a_n|$ không giảm và dương từ lúc nào đó trở đi, nên theo điều kiện cần chuỗi (1) phân kỳ!

Đối với dấu hiệu Raabe ta xét ví dụ sau
$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ . $\;\;\;(2)$

Tính giới hạn
$\lim\limits_{n\to\infty}n(\dfrac{|a_n|}{|a_{n+1}|}-1)=\dfrac{1}{2}<1$

nên chuỗi (2) phân kỳ tuyệt đối.

Tuy nhiên chuỗi (2) thỏa mãn dấu hiệu Leibniz nên nó hội tụ!

Nếu có
$\lim\limits_{n\to\infty}n(\dfrac{|a_n|}{|a_{n+1}|}-1)=a<0$
thì, với việc sử dụng điều kiện cần, ta có chuỗi (1) phân kỳ.

Câu hỏi liệu
$\lim\limits_{n\to\infty}n(\dfrac{|a_n|}{|a_{n+1}|}-1)=0$
thì ta có chuỗi (1) phân kỳ không?

Bạn đọc tự kiểm tra ví dụ sau
$\sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\ln n}.$
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Tư 12, 2012
lúc 8:11 chiều

Trả lời
Thứ Hai 16/04/2012, tôi đã kết thúc phần chuỗi số với các kết quả

- dấu hiệu Leibniz cho chuỗi đan dấu,
- các Định lý Abel, Dirichlet cho chuỗi dạng
$\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$ .

Ngoài ra tôi có đề cập đến tính bất biến của chuỗi hội tụ tuyệt đối, nghĩa là dù hoán vị thế nào chuỗi vẫn hội tụ về giá trị chuỗi ban đầu. Khác với chuỗi hội tụ tuyệt đối, chuỗi bán hội tụ (hội tụ+phân kỳ tuyệt đối), với bất kỳ giá trị cho trước nào ta cũng tìm được cách hoán vị để có chuỗi mới hội tụ về giá trị cho trước đó.

Sau đó tôi chuyển sang hai khái niệm mới về dãy hàm:
-) hội tụ điểm,
-) hội tụ đều.
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Tư 18, 2012
lúc 5:49 chiều

Trả lời
Ngày 23/04 tôi đã chuyển sang phần chuỗi hàm, đặc biệt giới thiệu hai chuỗi hàm quan trọng:

- chuỗi lũy thừa (liên quan khai triển Taylor của một hàm khả vi vô hạn lần),

- chuỗi Fourier (liên quan đến khai triển Fourier của một hàm liên tục, tuần hoàn).

Cũng giống như chuỗi số, việc xem một chuỗi hàm có hội tụ điểm, hội tụ đều có nhiều công cụ hơn khi xem tính hội tụ của dãy hàm.

Với dãy hàm, tôi đã giới thiệu hai cách kiểm tra sự hội tụ đều:
- tiêu chuẩn Cauchy,
- khi biết hàm giới hạn (tính bằng cách xét từng điểm) ta xét
$\sup|f_n-f|$

bằng cách khảo sát hàm số
$f_n-f$ .

Dĩ nhiên các cách trên ta đều áp dụng được cho việc xem chuỗi hàm có hội tụ đều hay không.

Ngoài các cách này, tôi trình bày các cách:
- dấu hiệu Weierstrass, đại loại so chuỗi trị tuyệt đối với chuỗi số dương hội tụ;
- Định lý Abel, Định lý Dirichlet.

Tôi cũng trình bày tính chất của hàm giới hạn khi có hội tụ đều:
- tính liên tục,
- tính khả tích,
- tính khả vi.

Tôi đã dùng dấu hiệu Weierstrass để khảo sát chuỗi lũy thừa
$\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n$ .

Chuỗi lũy thừa có khái niệm bán kính hội tụ $R$ được tính bằng

- hoặc D’Alembert
$R=1/\rho, \rho=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$
- hoặc căn Cauchy
$R=1/\rho, \rho=\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}$ .

Khi đó chuỗi lũy thừa sẽ:
- hội tụ khi $|x|<R$ ,
- phân kỳ khi $|x|>R$ .
Còn khi $|x|=R$ ta chưa biết.

Bằng Weierstrass tôi đã chứng minh được chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong $(-R, R)$ và đạo hàm của chuỗi là chuỗi các đạo hàm cũng là chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ cũng bằng $R$ .

Với chuỗi Fourier
$a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$

việc khảo sát sự hội tụ đều khó hơn.

Tôi đã dùng Định lý Dirichlet để khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi đặc biệt
$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sin(nx)}{n}$ .
Từ đó thấy rằng khi $x\not=k2\pi, k\in\mathbb Z$
thì chuỗi trên chẳng qua là đạo hàm của chuỗi Fourier
$\sum\limits_{n=1}^\infty -\dfrac{\cos(nx)}{n^2}$ .
Tại $x=k2\pi, k\in\mathbb Z$ tôi vẫn chưa có câu trả lời.
Câu trả lời bạn đọc xem trong bài
http://bomongiaitich.wordpress.com/2010/03/10/hi%e1%bb%87n-t%c6%b0%e1%bb%a3ng-gibbs/
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Tư 24, 2012
lúc 1:56 chiều

Trả lời
- Ta cũng có thể thấy chuỗi
  $\sum\limits_{n=1}^\infty -\dfrac{\cos(nx)}{n^2}$
  không khả vi tại $x=k2\pi, k\in\mathbb Z$ khi ta biết nó là khai triển Fourier của hàm xác định như sau
  
  $\dfrac{x(2\pi-x)}{4}-\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}$ , $0\le x\le 2\pi$
  sau đó thác triển tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ .
  
  Vẽ đồ thị hàm này thấy nó bị gãy tại các điểm
  $x=k2\pi, k\in\mathbb Z$ .
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Tư 27, 2012
  lúc 11:05 sáng
  
  Trả lời
Hôm qua 07/05/2012, tôi đã kết thúc phần lý thuyết Giải tích 4 với các việc sau.

- Khi nào một hàm khả vi vô hạn có khai triển Taylor tại $x=0$ nghĩa là chuỗi Taylor
$\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$
hội tụ đến hàm $f(x)$ trong một lân cận của $x=0$ ?
Một phần Câu trả lời nằm ở Định lý 41.VII:
khi có một số dương $\epsilon$ và một số dương $M$ để
$|f^{(k)}(x)|\le M$ với mọi $k=0, 1, 2, \dots$ và $|x|<\epsilon$ .

- Đưa ra các Định lý Abel:

+ Định lý Abel về bán kính hội tụ, một cách ngắn gọn
"Có một số dương $R$ để chuỗi lũy thừa hội tụ trong $(-R, R)$ và phân kỳ ngoài $[-R, R]$ . Trong $(-R, R)$ chuỗi lũy thừa hội tụ đến một hàm khả vi vô hạn."

+ Định lý Abel về tồn tại giới hạn của hàm giới hạn tại đầu mút, như phần bổ sung cho kết quả về bán kính hội tụ, cụ thể
"Nếu chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k$ có bán kính hội tụ là $R$ và
$\sum\limits_{k=0}^\infty a_kR^k$ hội tụ
thì hàm giới hạn của chuỗi lũy thừa trong $(-R, R)$ có giới hạn trái tại $x=R$ và có giá trị
$\sum\limits_{k=0}^\infty a_kR^k$ ."

Tôi cũng đã đưa ra một vài ứng dụng cho việc tính giới hạn các chuỗi số bằng việc sử dụng khai triển Taylor của một số hàm.

- Khi nào khai triển Fourier của một hàm tuần hoàn hội tụ về "hàm đó"?
Một phần câu trả lời nằn trong Định lý 44.VII, một cách vắn tắt là "hàm trơn từng khúc".

Tôi đã yêu cầu một số bạn khai triển Fourier, Fourier cosine, Fourier sine của một số hàm và ứng dụng để tính một số chuỗi số.

- Tôi đã chứng minh công thức đạo hàm của tích phân phụ thuộc tham số với cận hữu hạn.

Phần còn lại của Giải tích 4 về tích phân phụ thuộc tham số dành cho các bạn tự đọc. Có gì vướng mắc xin cùng được trao đổi.
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Năm 8, 2012
lúc 2:45 chiều

Trả lời

Gửi phản hồi Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

Email (yêu cầu) (Address never made public)

Tên (yêu cầu)

Trang web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Thay đổi )

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Thay đổi )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Thay đổi )

Hủy bỏ

Connecting to %s

	datuan5pdes on Đề cương môn PTĐHR K55A2+…
	sv on Đề cương môn PTĐHR K55A2+…
	Công thức Poisson … on Bài toán biên Dirichlet trên n…
	datuan5pdes on Đề cương môn PTĐHR K55A2+…
	sv on Đề cương môn PTĐHR K55A2+…

Giải tích