Tính giới hạn kép của phân thức

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Hai 19, 2012

Tính giới hạn kép của phân thức

Dưới đây tôi sẽ trình bày cách tính giới hạn kép sau

$\lim\limits_{x\to 0\atop y\to 0}\dfrac{P(x, y)}{Q(x, y)}$ , $\;\;\;(1)$

trong đó $P(x, y)=\sum\limits_{k+l\le p}a_{k,l}x^ky^l, Q(x, y)=\sum\limits_{m+n\le q}b_{m,n}x^my^n, p, q$ là các số nguyên không âm,

theo cách tôi học được từ thầy Lê Huy Tiễn.

Tôi chỉ tính giới hạn kép tại $(0, 0)$ vì hai lý do:

+) tính giới hạn kép tại điểm $(c, d)$ bất kỳ ta luôn chuyển được về việc tính giới hạn kép tại $(0, 0)$ qua phép tịnh tiến

$X=x-c, Y=y-d$ ;

+) tính giới hạn kép tại $(0, 0)$ là việc ta cho $r=(x^2+y^2)^{1/2}$ tiến về $0$ .

Lý do thứ hai gợi ý cho ta việc tính giới hạn kép bằng việc sử dụng hệ tọa độ cực

$x=r\cos \varphi, y=r\sin\varphi, r\le 0, 0\le \varphi\le 2\pi$ .

Ta có

$P(x, y)=\sum\limits_{k+l\le p}a_{k,l}x^ky^l=\sum\limits_{k+l\le p}a_{k,l}r^{k+l}\cos^k\varphi \sin^l\varphi=f(r, \varphi),$

$Q(x, y)=\sum\limits_{m+n\le q}b_{m,n}x^my^n=\sum\limits_{m+n\le q}b_{m,n}r^{m+n}\cos^m\varphi \sin^n\varphi=g(r, \varphi)$ .

Lúc này việc tính giới hạn kép $(1)$ trở thành việc tính giới hạn phải tại $0$ của hàm một biến phụ thuộc tham số $\varphi$

$\lim\limits_{r\to 0_+}\dfrac{f(r, \varphi)}{g(r, \varphi)}$ . $\;\;\;(2)$

Việc tính giới hạn $(2)$ với mỗi $\varphi\in [0, 2\pi]$ là việc quen biết với lưu ý

+) $f(r, \varphi), g(r, \varphi)$ là các đa thức theo biến $r$ ,

+) khi tính chú ý $r>0$ ,

+) $|\cos\varphi|\le 1, |\sin\varphi|\le 1$ .

Sau khi tính có thể xảy ra các TH:

+) có một góc $\varphi$ không có giới hạn $(2)$ thì chắc chắn không có giới hạn $(1)$ ,

+) có hai góc $\varphi$ giới hạn $(2)$ có hai kết quả khác nhau thì chắc chắn không có giới hạn $(1)$ ,

+) giới hạn $(1)$ chỉ có khi giới hạn $(2)$ tồn tại với mọi $\varphi\in [0, 2\pi]$ và không phụ thuộc $\varphi$ .

Các bạn có thể thử làm bài tôi cho lớp K56 kiểm tra 15 phút:

Tính giới hạn kép

$\lim\limits_{x\to 0\atop y \to 0} (x^2+ xy +x)$ .

Like this:

Be the first to like this post.

Posted in Tham Khảo | Thẻ: GT

Trả lời

có thể đặt x=rcost, y=2rsint (cho r tiến về 0) để tính được không nhỉ….
Bởi: dũng ngày Tháng Hai 22, 2012
lúc 10:30 chiều

Trả lời
- Với cách đặt như vậy có
  
  $\dfrac{x^2+y^2}{2}\le r^2 \le x^2+y^2$
  
  nên có
  
  $(x, y)\to 0$ khi và chỉ khi $r\to 0$ .
  
  Mọi thứ đều ổn.
  
  Về mặt tô-pô, cách đặt như vậy chẳng qua ta chuyển từ
  
  chuẩn Euclide $||(x, y)||_2=(x^2+y^2)^{1/2}$
  
  sang
  
  chuẩn $||(x, y)||=(x^2+\frac{y^2}{4})^{1/2}$ .
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Hai 22, 2012
  lúc 10:54 chiều
  
  Trả lời
Việc tính giới hạn kép, nhờ hệ tọa độ cực đã chuyển sang việc tính giới hạn hàm một biến có phụ thuộc tham số.

Ví dụ sau đây của thầy Trịnh Viết Dược cho thấy tham số có vai trò quan trọng (không đơn thuần chỉ xét từng giá trị riêng lẻ của tham số).

Xét giới hạn
$\lim\limits_{x\to 0\atop y\to 0}\dfrac{e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}}{y^2}$ .

Đổi sang hệ tọa độ cực $x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi$ hàm sau dấu lấy giới hạn
$\dfrac{e^{-r^{-2}}}{r^2\sin^2\varphi}$ .

Với mỗi $\varphi$ (sao cho $\sin\varphi\not=0$ ) có
$\lim\limits_{r\to 0}\dfrac{e^{-r^{-2}}}{r^2\sin^2\varphi}=0$ .

Tuy nhiên để ý rằng nếu chọn $\varphi=\varphi(r)\in(0, \pi/2), 0<r<1$ sao cho
$e^{-r^{-2}}=\sin^2(\varphi(r))$
thì giới hạn trên không tồn tại.

Sự không tồn tại này dẫn đến sự không tồn tại của giới hạn kép ban đầu.

Vậy phải chăng có điều gì mâu thuẫn?

Câu trả lời nằm ở sự hội tụ đều theo $\varphi$ .

Ta quay trở lại định nghĩa của giới hạn kép
$\lim\limits_{x\to 0\atop y\to 0}f(x, y)=I$

nếu

với mỗi $\epsilon>0$ đều có $\delta>0$ để
$\forall (x, y)\in D$ (tập xác định của $f$ ) mà $x^2+y^2\le \delta^2$ có
$|f(x, y)-I|<\epsilon$ .

Khi chuyển sang hệ tọa độ cực, định nghĩa trên chuyển thành

$\lim\limits_{x\to 0\atop y\to 0}f(x, y)=I$

nếu

với mỗi $\epsilon>0$ đều tìm được $\delta>0$ để
$\forall (r, \varphi)$ ( $(r\cos\varphi, r\sin\varphi)\in D$ ) mà $0<r\le \delta$ có
$|f(r\cos\varphi, r\sin\varphi)-I|<\epsilon$ .

Định nghĩa sau cho thấy việc chuyển qua giới hạn là đều theo $\varphi$ trên miền xác định của hàm $f$ (cụ thể $\delta$ được chọn không phụ thuộc $\varphi$ ).

Như vậy giới hạn kép không đơn thuần giới hạn của hàm một biến phụ thuộc tham số mà

giới hạn kép = "giới hạn đều" của hàm một biến phụ thuộc tham số.

Cảm ơn thầy Dược cho ví dụ cụ thể và thú vị!
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 6, 2012
lúc 1:30 chiều

Trả lời
ví dụ này rất hay… theo em trong định nghĩa giới hạn phải sửa $x^2+y^2<\delta^2$ thành $0<x^2+y^2<\delta^2$ . Ví dụ này cũng minh họa rằng giới hạn theo mọi hướng đều bằng 0 nhưng giới hạn không tồn tại.
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 8, 2012
lúc 12:08 sáng

Trả lời
có ví dụ nào đơn giản hơn ví dụ này mà giới hạn them mọi hướng tại điểm đó đều bằng nhau nhưng ko tồn tại giới hạn tại điểm đó không hả thầy…
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 8, 2012
lúc 12:13 sáng

Trả lời
- Cám ơn em. Để nghĩ ra ví dụ tương tự khá nhiều. Ý của ví dụ thầy Dược đưa ra
  “tập không điểm” của mẫu số là một đường đi qua gốc!
  
  Em có thể thử quan sát giới hạn sau
  $\lim\limits_{x\to 0\atop y\to 0}\dfrac{x^2+y^2}{x-y}$ .
  
  Có thể có kết luận sau đây không?
  
  Không có giới hạn kép
  $\lim\limits_{x\to 0\atop y\to 0}\dfrac{P(x, y)}{Q(x, y)}$
  
  với $P, Q$ là các đa thức
  
  khi $A=\{(x, y)|\; Q(x, y)=0\}$ chứa một đường đi qua gốc?
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 8, 2012
  lúc 6:59 sáng
  
  Trả lời
nếu như vậy thì do $P$ là đa thức nên bị chặn trong lân cận của $O$ (chưa rõ lắm vì có thể P cũng có không điểm là 1 đường qua O~~). Q có không điểm là 1 đường qua gốc nên Q sẽ dần về 0 nếu cho $(x,y)$ dần về đường đó… Dẫn đến không tồn tại giới hạn….. Liệu có điều kiện cần và đủ nào cho giới hạn kép trên tồn tại không hả thầy, hoặc chí ít là giới hạn theo mọi hướng đều tồn tại??????
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 8, 2012
lúc 11:33 sáng

Trả lời
ý tưởng là cho $(x,y)$ dần về đường làm cho mẫu bằng 0, nhưng chưa ổn, vì $P$ cũng có thể bằng 0 tại rất nhiều điểm trên đường đó… hix..
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 8, 2012
lúc 11:48 sáng

Trả lời
- Để tiếp tục ta cần lưu ý:
  
  + cách viết $\dfrac{P}{Q}$ là dạng tối giản (nghĩa là $P, Q$ khi phân tích thành tích các đa thức thì chúng không có thừa số giống nhau).
  
  Lúc này tập không điểm chung của hai đa thức có dạng thế nào?
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 8, 2012
  lúc 12:34 chiều
  
  Trả lời
tập không điểm chung là hữu hạn.. mình phải chỉ ra tồn tại lân cận đủ nhỏ của đường làm mẫu bằng 0 qua gốc tọa độ sao cho trên lân cận đấy thì $P$ có giá trị tuyệt đối luôn lớn hơn một số cố định (thừa nhận) phải không thầy??
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 8, 2012
lúc 1:17 chiều

Trả lời
- Tôi cũng có cảm giác giống em. Tuy nhiên chính xác thì vẫn thấy có gì đó. Cũng cần lưu ý $P$ có không điểm tại gốc!
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 8, 2012
  lúc 3:33 chiều
  
  Trả lời
thầy ơi em hỏi nếu giới hạn kép cả giới hạn lặp tồn tại thì chúng phải bằng nhau đúng không nhỉ, kể cả bằng vô cùng???…
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 8, 2012
lúc 8:40 chiều

Trả lời
- Nếu hữu hạn thì đúng, còn vô cùng có lẽ chưa chắc đã đúng.
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 8, 2012
  lúc 8:43 chiều
  
  Trả lời
Thầy cho e hỏi, có thể lập luận thế này được không: tồn tại một hình cầu đủ nhỏ chứa gốc tọa độ mà trên đường làm cho mẫu bằng $0$ thì $P$ không có không điểm trên đó (do số không điểm trên đường này phải hữu hạn). Từ đó sẽ tồn tại hình cầu nằm hoàn toàn trong hình cầu này chứa ít nhất một điểm của đường cong đó mà $P$ khác $0$ trên đó (hình cầu này không qua gốc). Khi đó tồn tại số $A$ sao cho $P>A$ trên đó ( $A$ phụ thuộc vào hình cầu ban đầu ( $\delta$ )). Cho điểm $(x,y)$ dần về điểm mẫu bằng $)$ thì giới hạn sẽ ra vô cùng….===> không tồn tại giới hạn…. Đúng không nhỉ…
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 9, 2012
lúc 4:38 chiều

Trả lời
- Em chưa để ý $P(0, 0)=0$ .
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 9, 2012
  lúc 10:34 chiều
  
  Trả lời
Theo em $P(0,0)=0$ không quan trọng vì giá trị của $P$ trong hình cầu sau của mình luôn lớn hơn hoặc bằng 1 giá trị $A$ (dù $A$ có thể rất bé tùy theo cái hình cầu ban đầu mình chọn)… Nếu có thể thấy giải thích kĩ hơn cho em…
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 10, 2012
lúc 12:36 sáng

Trả lời
- Để thấy sự quan trọng của $P(0, 0)=0$ ta sẽ quan sát ví dụ sau:
  $\lim\limits_{x\to 0\atop y\to 0}\dfrac{0}{x+y}$ ,
  $\lim\limits_{x\to 0\atop y\to 0}\dfrac{x-y}{x+y}$ .
  
  Có lẽ vấn đề nằm ở chỗ $A$ bé tùy ý thế nào?
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 10, 2012
  lúc 10:33 sáng
  
  Trả lời
ví dụ đầu của thầy không ổn vì như thế thì $P=0$ với mọi $x,y$ nên không thỏa mãn điều kiện tối giản (cụ thể sẽ không tồn tại hình cầu đủ nhỏ thứ 2 để $P$ khác 0). Còn ví dụ thứ 2 thì cũng không tồn tại giới hạn… $A$ có thể rất rất bé nhưng với giá trị dù là rất bé đó thì mẫu số còn bé hơn nhiều lần khi cho $(x,y)$ dần về đường mẫu bằng 0…
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 10, 2012
lúc 4:20 chiều

Trả lời
- So sánh hai đại lượng bé này như nào?
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 10, 2012
  lúc 4:37 chiều
  
  Trả lời
Chỗ này cần cẩn thận vì rất dẫn đến ngộ nhận. Chẳng hạn để $A> 1/A$ thì $A>1$ !
Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 10, 2012
lúc 5:35 chiều

Trả lời
ôi zời, gõ mãi ko được, thầy xóa hộ em… Tức là $P>A$ trong cả hình cầu còn $Q<A^2$ khi $(x,y)$ dần về đường mẫu bằng 0. khi đó P chia Q lớn hơn 1 chia A bằng vô cùng.
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 10, 2012
lúc 5:43 chiều

Trả lời
- Ta cần quan sát hàm $\dfrac{P(x, y)}{Q(x, y)}$ khi $(x, y)$ chạy về gốc sát theo đường không điểm của $Q(x, y)$ . Trong khi $(x, y)$ chạy cần quan tâm đến độ bé của $Q(x, y)$ so với $P(x, y)$ .
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 10, 2012
  lúc 8:02 chiều
  
  Trả lời
E không xét theo khía cạnh đấy. Việc của em là đã chỉ ra trong lân cận bé tùy ý của gốc tọa độ thì luôn tồn tại điểm để giá trị hàm số tại điểm đó tiến ra vô cùng…
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 10, 2012
lúc 8:13 chiều

Trả lời
- Vấn đề điểm đó ở khu vực nào?
  
  Để cụ thể em làm theo cách của em ví dụ tôi đã nói
  $\lim\limits_{x\to 0\atop y\to 0}\dfrac{x+y}{x-y}$ .
  
  Em tính cụ thể xem em chọn như nào?
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 10, 2012
  lúc 8:52 chiều
  
  Trả lời
Việc chỉ ra cụ thể điểm đó là không thể, phải bài toán cụ thể mới chỉ ra được. Mình chỉ ra được tồn tại điểm đó thôi. Kết quả có thể nói dễ hiểu hơn là: tồn tại dãy điểm dần về gốc (càng ngày càng gần đường mẫu bằng 0) sao cho giá trị hàm số tại điểm đó dần ra vô cùng, như vậy là không tồn tại giới hạn, chính xác hơn là không tồn tại giới hạn hữu hạn… Ở ví dụ của thầy, em lấy đơn giản dãy
(1/n,1/(n+1)) dần về gốc và càng ngày càng gần đường y=x, khi đó giới hạn của dãy các giá trị hàm ra vô cùng….
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 11, 2012
lúc 12:25 sáng

Trả lời
- Để chứng minh cho trường hợp tổng quát cần xem dãy điểm được chọn nằm ở đâu? Nó cần gần đường chứa không điểm của $Q(x, y)$ và xa đường chứa không điểm của $P(x, y)$ . Xa và gần ở đây mang tính tương đối.
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 11, 2012
  lúc 9:17 sáng
  
  Trả lời
như e đã nói ở trên: tồn tại hình cầu đủ bé của gốc để P trên đường làm mẫu bằng 0 khác 0 (do P là đa thức). trong mỗi cái hình cầu bé cụ thể này lại tồn tại một hình cầu chứa điểm nằm trên đường mẫu bằng 0 để P trên đó lớn hơn một giá trị A (tất nhiên A càng ngày càng nhỏ khi hình cầu ban đầu càng ngày càng co về gốc). Do đó cho điểm gần về đường mẫu bằng 0 thì hàm số sẽ tiến ra vô cùng (Do P>A với mọi điểm trong hình cầu thứ 2)… Để giải thích cụ thể thì em nghĩ cần phải tìm hiểu cụ thể hơn về hình vi phân chẳng hạn, nhưng ý tưởng có lẽ là đúng… Về mặt hình học thì có thể hiểu là do P, Q là đa thức nên các đường làm cho chúng bằng 0 đi qua gốc và là các đường “rời rạc” nhau và hữu hạn… nên khi co về gốc thì 2 đường bất kì luôn có khoảng cách…~
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 11, 2012
lúc 9:58 sáng

Trả lời
- Các thứ cần thiết cho lý luận cuối cùng đã có sẵn rồi. Cần tránh điểm gốc và làm trên từng mẩu nhỏ (không chứa gốc) trên đường không điểm của mẫu. Lưu ý thêm về một vài tính chất của hàm liên tục trên tập compact.
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 11, 2012
  lúc 11:46 sáng
  
  Trả lời
tập mở thu gọn đi 1 chút thì là tập compact. Nghĩa là chứng minh của em đã ổn chưa thầy…??
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 11, 2012
lúc 2:01 chiều

Trả lời
- Đổi lân cận của gốc thành lân cận của từng mẩu của đường không điểm của mẫu.
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 11, 2012
  lúc 10:00 chiều
  
  Trả lời
vấn đề là nếu tử không là đa thức thì sao nhỉ?? có ví dụ cụ thể minh họa cho việc tồn tại giới hạn trong trường hợp này không thầy??
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 11, 2012
lúc 10:09 chiều

Trả lời
- Em thử xem giới hạn kép sau
  
  $\lim\limits_{x\to 0\atop y\to 0}\dfrac{e^{-(x+y)^{-2}}}{x+y}$ .
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 12, 2012
  lúc 10:21 chiều
  
  Trả lời
cảm ơn thầy~~. Nhưng ví dụ này vẫn không đẹp ở chỗ tai đường y=-x thì cả tử và mẫu đều bằng 0, có thể xem tử và mẫu đều chưa tối giản… Có chăng kết quả là không tồn tại giới hạn nếu P là hàm bất kì không “chia hết” cho đường mẫu bằng 0?? E đang muốn tìm một phản ví dụ cho trường hợp này mà chưa được…
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 13, 2012
lúc 12:07 sáng

Trả lời
- Giới hạn
  $\lim\limits_{x\to 0\atop y\to 0}\dfrac{f(x, y)}{g(x, y)}$
  
  với $f, g$ là các hàm liên tục
  
  và $Z_g\setminus Z_f$ nhận gốc là điểm tụ,
  
  trong đó $Z_g=\{(x, y)|\; g(x, y)=0\}$ ,
  
  không tồn tại.
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 13, 2012
  lúc 5:43 chiều
  
  Trả lời
Zg\Zf nhận gốc là điểm tụ là sao thầy… Vậy là nó không chỉ đúng cho đa thức mà cho cả các hàm liên tục, chứng minh chắc là không đơn giản??
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 13, 2012
lúc 6:17 chiều

Trả lời
- Nghĩa là có dãy gồm các không điểm của $g$ , không làm $f$ bằng $0$ , tiến về gốc.
  
  Chứng minh đã có sẵn trong những gì đã trao đổi ở trên.
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 13, 2012
  lúc 6:43 chiều
  
  Trả lời
ví dụ trên của thầy thì Zg={y=-x} còn Zf là tập rỗng??? thỏa mãn o là điểm tụ??
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 13, 2012
lúc 8:44 chiều

Trả lời
chắc Zf Zg hiểu theo nghĩa cả điểm giới hạn?? E thấy chứng minh chưa ổn vì cái hình cầu thứ 2 mình lấy để f lớn hơn một giá trị A chưa chắc đã được vì có thể không điểm của f là các đường trù mật, rất sát đường mãu bằng 0???
Bởi: dungnv ngày Tháng Ba 13, 2012
lúc 8:50 chiều

Trả lời
- Lấy các lân cận bám theo các không điểm của $g$ tránh điểm gốc và không điểm của $f$ . Điều này làm được vì tập không điểm của $f$ là tập đóng. Chú ý lấy lân cận compact.
  Bởi: datuan5pdes ngày Tháng Ba 13, 2012
  lúc 9:33 chiều
  
  Trả lời

Gửi phản hồi Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

Email (yêu cầu) (Address never made public)

Tên (yêu cầu)

Trang web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Thay đổi )

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Thay đổi )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Thay đổi )

Hủy bỏ

Connecting to %s

T2	T3	T4	T5	T6	T7	CN
« Tháng 1				Tháng 3 »
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29

	datuan5pdes on Đề cương môn PTĐHR K55A2+…
	sv on Đề cương môn PTĐHR K55A2+…
	Công thức Poisson … on Bài toán biên Dirichlet trên n…
	datuan5pdes on Đề cương môn PTĐHR K55A2+…
	sv on Đề cương môn PTĐHR K55A2+…

Giải tích