Một số phương pháp giải phương trình vi phân không thuần nhất với điều kiện ban đầu thuần nhất

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Hai 24, 2012

Một số phương pháp giải phương trình vi phân không thuần nhất với điều kiện ban đầu thuần nhất

Trong bài này, để cụ thể, ta quan tâm trực tiếp đến phương trình vi phân cấp $2$ sau

$u^{,,}(t)+au^{,}(t)+bu(t)=f(t), t>0\;\;(1)$

với điều kiện ban đầu

$u^{,}(0)=u(0)=0$ . $\;\;(2)$

Trong đó $a, b$ là các hằng số thực.

Để giải bài toán trên việc đầu tiên ta quan tâm đến phương trình thuần nhất

$u^{,,}(t)+au^{,}(t)+bu(t)=0, t>0$ . $\;\;(3)$

Theo lý thuyết phương trình vi phân thường, phương trình trên có không gian nghiệm là không gian hai chiều trên trường thực và nghiệm tổng quát có dạng

$u(t)=c_1 u_1(t)+c_2u_2(t)$

với $u_1, u_2$ là các nghiệm độc lập tuyến tính, thường được tìm bằng phương trình đặc trưng.

Từ đó người ta mới dẫn ra các phương pháp để tìm nghiệm tổng quát của phương trình $(1)$ bằng lưu ý

nghiệm tổng quát $(1)=$ nghiệm riêng $(1)+$ nghiệm tổng quát $(3)$ .

Dưới đây tôi sẽ trình bày việc tìm một nghiệm riêng của $(1)$ nhờ các nghiệm $u_1, u_2$ .

Phương pháp hệ số bất định (undetermined coefficients) là phương pháp áp dụng cho trường hợp vế phải $f(t)$ có dạng đặc biệt. Bạn đọc có thể xem qua trang web

http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_undetermined_coefficients

Để minh họa phương pháp, tôi lấy ví dụ sau (trong bài giảng hôm 22/02/2012 cho lớp K55A3)

$w_1^{,,}(t)+4\pi^2w_1(t)=t, t>0\;\;(4)$

$w_1(0)=w^{,}_1(0)=0$ . $\;\;(5)$

Ta tìm một nghiệm riêng của $(4)$ dạng

$w^*(t)=at+b$ .

Thay vào $(4)$ có

$a=\dfrac{1}{4\pi^2}, b=0$

nên nghiệm tổng quát của $(4)$

$w_1(t)=\dfrac{1}{4\pi^2}t+ c\cos(2\pi t)+d\sin(2\pi t)$ .

Thay vào $(5)$ có

$c=0, d=-\dfrac{1}{8\pi^3}$

nên nghiệm của bài toán $(4), (5)$

$w_1(t)=\dfrac{1}{4\pi^2}t-\dfrac{1}{8\pi^3}\sin(2\pi t)$ .

Tuy nhiên với những vế phải không đặc biệt phương pháp hệ số bất định không còn hiệu quả.

Phương pháp biến thiên hằng số (variation of parameters) giúp ta vượt qua khó khăn này. Các bạn có thể xem chi tiết ơ trang web

http://en.wikipedia.org/wiki/Variation_of_parameters

Phương pháp này cần khái niệm Wronskian

$W(u_1, u_2)(t)=det\begin{bmatrix} u_1(t) & u_2(t)\\ u^{,}_1(t) & u^{,}_2(t)\end{bmatrix}$ .

Ý tưởng của phương pháp bắt nguồn từ ý tưởng giải hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất bằng phương pháp Cramer.

Để cụ thể tôi quay trở lại giải bài toán $(4), (5)$ bằng phương pháp biến thiên hằng số (tôi còn để lại trong bài giảng ngày 22/02/2012 cho lớp K55A3).

Ta sẽ tìm nghiệm của bài toán $(4), (5)$ dạng

$w_1(t)=a(t)\cos(2\pi t)+b(t)\sin(2\pi t)$ .

Tính toán được

$w^{,}_1(t)=-2\pi a(t)\sin(2\pi t)+2\pi b(t)\cos(2\pi t)+$

$+a^{,}(t)\cos(2\pi t)+b^{,}(t)\sin(2\pi t)$ (ta cho phần đuôi này bằng $0$ )

$w^{,,}_1(t)=-4\pi^2 w_1(t)+$

$-2\pi a^{,}(t)\sin(2\pi t)+2\pi b^{,}(t)\cos(2\pi t)$ .

Thay vào phương trình $(4)$ có hệ

$a^{,}(t)u_1(t)+b^{,}(t)u_2(t)=0$ ,

$a^{,}(t)u_1^{,}(t)+b^{,}(t)u_2^{,}(t)=f(t)$

với $u_1(t)=\cos(2\pi t), u_2(t)=\sin(2\pi t), f(t)=t$ .

Khi đó giải hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất,với lưu ý định thức của ma trận tương ứng chính là

$W(u_1, u_2)(t)=2\pi\not=0$ ,

ta có

$a_1(t)=-\int\dfrac{u_2(t)}{W(t)}f(t)dt=-\dfrac{1}{2\pi}\int_0^t \tau\cos(2\pi \tau)d\tau+C_1$ ,

$a_2(t)=\int\dfrac{u_1(t)}{W(t)}f(t)dt=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^t \tau\sin(2\pi \tau)d\tau+C_2$ .

Thay vào điều kiện ban đầu thuần nhất $(5)$ ta tính được $C_1, C_2$ .

Các bạn tự tính xem có ra được

$\int_0^t \dfrac{u_1(\tau)u_2(t)-u_1(t)u_2(\tau)}{W(\tau)}f(\tau)d\tau=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^t \tau \sin(2\pi(t-\tau))d\tau$ .

Công thức nghiệm này chính là công thức tìm được từ phương pháp DuHamel

(xem http://en.wikipedia.org/wiki/Duhamel’s_principle)

Phương pháp DuHamel được minh họa qua bài toán $(4), (5)$ như sau.

Với mỗi $\tau>0$ tìm nghiệm của bài toán

$w^{,,}(t, \tau)+4\pi^2w(t, \tau)=0, t>0\;\;(6)$

$w(0, \tau)=0, w^{,}_1(0, \tau)=\tau$ . $\;\;(7)$

Tính toán một chút ta có nghiệm của bài toán $(6), (7)$

$w(t, \tau)=\dfrac{1}{2\pi}\tau\sin(2\pi t)$ .

Nghiệm của bài toán $(4), (5)$ thu được

$w_1(t)=\int_0^t w(t-\tau, \tau)d\tau=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^t \tau\sin(2\pi(t-\tau))d\tau$

chính là công thức nghiệm cho bởi phương pháp biến thiên hằng số.

Ta cũng nhìn thấy từ công thức này hàm Green:

$G(t)=\dfrac{1}{2\pi}\sin(2\pi t)$ khi $t>0$

$G(t)=0$ khi $t<0$

thỏa mãn bài toán

$G^{,,}(t)+4\pi^2 G(t)=0, t>0$

$G(0)=0, G^{,}(0)=1$ .

Ngoài ra để giải bài toán $(1), (2)$ ta cũng có thể dùng phương pháp biến đổi Laplace như trong

http://bomongiaitich.wordpress.com/2010/05/06/dao-d%e1%bb%99ng-c%e1%bb%a7a-r%e1%ba%a7m-nghi%e1%bb%87m-khong-tu%e1%ba%a7n-hoan-hi%e1%bb%87n-t%c6%b0%e1%bb%a3ng-c%e1%bb%99ng-h%c6%b0%e1%bb%9fng/

Các bạn có thể xem thêm về phép biến đổi Laplace ở trang

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Like this:

Be the first to like this post.

Posted in Tham Khảo | Thẻ: PTĐHR

Gửi phản hồi Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

Email (yêu cầu) (Address never made public)

Tên (yêu cầu)

Trang web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Thay đổi )

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Thay đổi )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Thay đổi )

Hủy bỏ

Connecting to %s

T2	T3	T4	T5	T6	T7	CN
« Tháng 1				Tháng 3 »
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29

	datuan5pdes on Đề cương môn PTĐHR K55A2+…
	sv on Đề cương môn PTĐHR K55A2+…
	Công thức Poisson … on Bài toán biên Dirichlet trên n…
	datuan5pdes on Đề cương môn PTĐHR K55A2+…
	sv on Đề cương môn PTĐHR K55A2+…

Giải tích