Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Sáu 1, 2012

Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa – chuỗi Fourier

Chuỗi lũy thừa bắt nguồn từ khai triển Taylor của một hàm khả vi vô hạn

f: (-a, a)\to \mathbb R

có dạng

\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n. \;\;\; (1)

Các câu hỏi sau cần được quan tâm:

+ Khi nào chuỗi (1) hội tụ? Nói rõ hơn ngoài x\not=0 chuỗi (1) còn hội tụ tại những điểm x nào khác?

+ Trừ x=0 ra, nếu chuỗi (1) hội  tụ thì nó hội tụ đến đâu? Liệu giới hạn đó có phải f(x)?

Để trả lời câu hỏi đầu, ta quan sát chuỗi lũy thừa một cách độc lập, chưa phải là chuỗi Taylor của hàm nào,

\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n.\;\;\; (2)

Câu hỏi đầu tiên được trả lời qua hai ý sau:

+ (Định lý Abel) Có một số thực không âm R để

- khi |x|<R chuỗi (2) hội tụ,

- khi |x|>R chuỗi (2) phân kỳ.

Tại hai đầu mút nói chung ta không biết chuỗi có hội tụ không. Chẳng hạn chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{x^n}{n} có bán kính hội tụ R=1, hội tụ tại x=-1 và phân kỳ tại x=1.

Vấn đề tại mút các bạn có thể tham khảo thêm ở bài

http://bomongiaitich.wordpress.com/2011/04/29/d%E1%BB%8Bnh-ly-abel-d%E1%BB%8Bnh-ly-tauber/

+  Từ ý trên ta có khái niệm bán kính hội tụ. Vậy bán kính hội tụ được tính như nào?

Bán kính hội tụ được tính nhờ công thức Cauchy-Hardamard

- hoặc R=1/\rho với \rho=\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|^{1/n},

- hoặc R=1/\rho với \rho=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}.

Lưu ý rằng hai giới hạn trên chưa chắc tồn tại, tuy nhiên vẫn có bán kính hội tụ. Lúc đó bán kính được tính nhờ công thức

R=1/\rho với \rho=\limsup\limits_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}.

Các bạn có thể thấy điều này qua ví dụ

a_{2k}=2^k, a_{2k+1}=1

có bán kính của chuỗi (2) là R=1/\sqrt{2}.

Bán kính cũng có thể bằng 0, chẳng hạn khi a_n=n!.

Bán kính cũng có thể bằng +\infty, chẳng hạn khi a_n=\dfrac{1}{n!}.

Khi bán kính hội tụ R>0 thì chuỗi (2) hội tụ đều trên [-r, r] với bất kỳ r\in(0, R).

Chuỗi gồm các số hạng là đạo hàm của từng số hạng của chuỗi (2)

\sum\limits_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}

cũng có bán kính hội tụ chính là bán kính hội tụ của chuỗi (2) vì

\limsup\limits_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=\limsup\limits_{n\to\infty}|na_n|^{1/n}.

Khi đó chuỗi các đạo hàm cũng hội tụ đều trên [-r, r] với bất kỳ r\in(0, R). Do đó chuỗi các đạo hàm hội tụ đến đạo hàm của chuỗi (2) tại mọi điểm trong (-R, R). Chuỗi (2) hội tụ đến hàm S(x) khả vi trên (-R, R).

Bằng quy nạp sẽ dẫn đến chuỗi (2) hội tụ đến hàm S(x) khả vi vô hạn trên (-R, R). Đạo hàm cấp k, k=0, 1, 2, \dots, của S(x) chính là hàm giới hạn của chuỗi gồm các số hạng là đạo hàm cấp k của số hạng tương ứng trong chuỗi (2). Từ đó có chuỗi (2) là khai triển Taylor của hàm S(x).

Giờ ta chuyển sang câu hỏi thứ hai, nghĩa là lúc này chuỗi (2) sinh ra từ việc khai triển Taylor của một hàm khả vi vô hạn f

a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}.

Câu hỏi thứ hai trở thành, khi bán kính hội tụ R>0 phải chăng

S(x)=f(x) với x\in(-R, R)?

Câu hỏi này mới nghe có vẻ không cần thiết lắm nhưng các ví dụ sau chỉ ra sự cần thiết.

Ví dụ 1: Hàm f_1:\mathbb R\to\mathbb R xác định bởi

f_1(x)=e^{-1/x} khi x>0

f_1(x)=0 khi x\le 0

là hàm khả vi vô hạn và đạo hàm mọi cấp của nó tại x=0 đều có giá trị bằng 0.

Ví dụ 2: Hàm f_2:\mathbb R\to\mathbb R xác định bởi

f_2(x)=e^{-1/x^2} khi x\not=0

f_2(x)=0 khi x=0

là hàm khả vi vô hạn và đạo hàm mọi cấp của nó tại x=0 đều có giá trị bằng 0.

Hai ví dụ trên đều có chuỗi Taylor tại x=0 đồng nhất 0. Nói cách khác  hàm f_1, f_2, 0 và các tổ hợp tuyến tính của chúng là các hàm khác nhau nhưng có cùng chuỗi Taylor tại x=0.

Hơn nữa, nếu một hàm f có chuỗi Taylor hội tụ đến chính nó thì tổng của f và bất kỳ hàm nào trong các hàm f_1, f_2 hay tổ hợp tuyến tính của hai hàm này có cùng chuỗi Taylor với hàm f. Khi đó nếu ta chỉ biết chuỗi Taylor của f thì ta chưa biết nhiều về f.

Vậy điều kiện gì để đảm bảo S(x)=f(x) khi -R<x<R?

Trong cuốn “Giáo trình giải tích tập 2″ của các thầy Trần Đức long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn đưa ra hai cách sau:

+(Điều kiện cần và đủ – đơn giản nhưng khó kiểm tra)

\lim\limits_{n\to\infty}R_n(x, f)=0 với -R<x<R,

trong đó R_n(x, f)=f(x)-\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k.

+(Điều kiện đủ – Điều kiện bị chặn đều)

Có số dương M để

\sup\limits_{x\in(-R, R), n\in\mathbb N}|f^{(n)}(x)|<M.

Chứng minh điều kiện này ta dùng điều kiện trên với cách viết của Lagrange cho phần dư

R_n(x, f)=\dfrac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} với 0<\theta<1.

Có thể thấy điều kiện này cho ta thấy ngay chuỗi Taylor của các hàm \sin x, \cos x hội tụ đến chính các hàm này trên toàn đường thẳng.

Ta có thể dùng điều kiện này kiểm tra sự hội tụ của chuỗi Taylor của hàm f(x)=e^x tại từng điểm x, nhưng không nên dùng bán kính hội tụ vì R=+\infty, mà chỉ xét trên tập (-|x|-1, |x|+1) đủ lớn để chứa x.

Ta cũng có thể làm tốt hơn, nghĩa là giảm nhẹ điều kiện trên

Có số dương M để

\sup\limits_{x\in(-R, R), n\in\mathbb N}\dfrac{R^n}{n!}|f^{(n)}(x)|<M.

Nếu viết phần dư dưới dạng tích phân

R_n(x, f)=\dfrac{x^{n+1}}{n!}\int\limits_0^1 f^{(n+1)}(xt)(1-t)^ndt

thì ta có thể có điều kiện khác như sau.

Đạo hàm mọi cấp của hàm f đều không âm trên (-R, R).

(Bài 3.4.15 trong “Problems in Mathematical analysis II” của W.J. Kaczor – M.T. Nowak)

Với việc dùng điều kiện này dễ dàng có ngay chuỗi Taylor của hàm f(x)=e^x hội tụ đến chính hàm này.

Câu hỏi: liệu có thể thay điều kiện không âm bởi điều kiện không đổi dấu?

Ngoài ra còn vài câu hỏi khác chẳng hạn:

- câu hỏi về chuỗi Taylor của tổng hai hàm khả vi vô hạn, tích của hai hàm khả vi vô hạn và (khó hơn) hợp thành của hai hàm khả vi vô hạn?

Với câu hỏi về tổng và tích ta dùng Điều kiện cần và đủ trong sách “Giáo trình giải tích tập 2″.

Với câu hỏi về hợp thành các bạn tham khảo các bài 3.4.16, 17, 18, 19 trong cuốn “Problems in mathematical analysis II”.

Đến lúc ta chuyển sự quan tâm sang chuỗi Fourier, một cách nhìn từ hàm phức: chuỗi lũy thừa tại điểm mút!

Ta cũng thử đi giống như chuỗi lũy thừa, nghĩa là ban đầu ta quan tâm chuỗi Fourier một cách độc lập

a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos(nx) +b_n\sin(nx)). \;\;\;(3)

Tuy nhiên khác với chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ, chuỗi Fourier không có bán kính hội tụ! Nói cách khác ta không xem với x nào thì chuỗi hội tụ như kiểu chuỗi lũy thừa vì làm điều này khá khó! Giờ ta lại quan tâm đến các hệ số a_0, a_n, b_n.

Dùng Weierstrass có thể thấy ngay nếu

\sum\limits_{n=1}^\infty (|a_n|+|b_n|)<+\infty

thì chuỗi (3) hội tụ đều đến một hàm S(x) liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2\pi.

Một số chuỗi chẳng hạn

\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\sin(nx)}{n^2}, \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\cos(nx)}{n^2}

có thể dễ dàng kiểm tra bởi điều kiện trên.

Tuy nhiên ta cũng biết chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\sin(nx)}{n}

hội tụ

mặc dù chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}

phân kỳ.

Chú ý thêm chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\sin(nx)}{n}

hội tụ đến (\pi-x)/2 khi 0<x<\pi

(xem bài

http://bomongiaitich.wordpress.com/2012/05/08/ham-phuc-moi-lien-he-giua-chuoi-fourier-va-chuoi-luy-thua/).

Thác triển lẻ, tuần hoàn chu kỳ 2\pi ta được hàm không liên tục tại x=0, \pm2\pi, \dots.

Tiếp tục chuỗi Fourier-sine ta có một số kết quả thú vị sau.

Bài 2.5.56, 57 (trong “Problems in mathematical analysis III”).

Cho dãy \{b_n\}_{n=1}^\infty là dãy đơn điệu, hội tụ về 0. Chuỗi Fourier-sine

\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)

hội tụ đến hàm liên tục khi và chỉ khi

\lim\limits_{n\to\infty}nb_n=0.

Chú ý: Nếu chỉ quan tâm đến hội tụ thì dùng Định lý Dirichlet ta không cần điều kiện \lim\limits_{n\to\infty}nb_n=0.

Bài 2.5.58 (trong “Problems in mathematical analysis III”).

Cho dãy \{b_n\}_{n=1}^\infty là dãy đơn điệu, hội tụ về 0. Chuỗi Fourier-sine

\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)

hội tụ đến hàm bị chặn khi và chỉ khi

nb_n=O(1) (nghĩa là có số M>0 để |nb_n|<M \forall n=1, 2, \dots).

Phần còn lại là gì? Có vài ví dụ thực sự bất ngờ, rất khác so với chuỗi lũy thừa. Như đã biết ở trên khi đã hội tụ thì chuỗi lũy thừa sẽ hội tụ đến một hàm khả vi vô hạn nhận nó là khai triển Taylor.

Các chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\sin(nx)}{n^\alpha}, 0<\alpha<1

(Problem 1/trang 95 trong “Fourier analysis: An introduction” của E.M. Stein – R. Shakarchi)

hay chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\sin(nx)}{\log n}

(Bài 2.5.22, 23 trong “Problems in mathematical analysis III”, ví dụ của P. Fatou)

mặc dù đều hội tụ, nhưng chúng đều không là khai triển Fourier của bất kỳ hàm khả tích (Lebesgue) trên [-\pi, \pi].

Bài 2.5.59 trong “Problems in mathematical analysis” lại cho thấy với chuỗi Fourier-cosine có đôi chút khác như sau.

Nếu dãy \{a_n\}_{n=0}^\infty là dãy giảm về 0 và có tính lồi, nghĩa là

a_{n+1}\le\dfrac{a_n+a_{n+2}}{2}, \forall n=1, 2, \dots

thì có hàm không âm, khả tích trên [-\pi, \pi] có khai triển Fourier

a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos(nx).

Trong trường hợp 0<\alpha<1/2 thì, theo Parseval, các chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sin(nx)}{n^\alpha}, \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\cos(nx)}{n^\alpha}

và các chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sin(nx)}{\log n}, \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\cos(nx)}{\log n}

đều không là chuỗi Fourier của bất kỳ hàm bình phương khả tích trên [-\pi, \pi] nào, nói riêng bất kỳ hàm liên tục trên [-\pi, \pi] nào.

Sự bất ngờ ở chuỗi Fourier-sine ở trên dường như cho thấy cách tiếp cận chuỗi Fourier độc lập với khai triển Fourier của hàm số có gì đó không ổn? Có lẽ chỉ nên quan sát sự hội tụ của chuỗi Fourier sinh ra từ khai triển Fourier của một hàm đủ tốt?

Trong sách “Giáo trình giải tích II” có đưa ra lớp hàm “khả vi từng khúc”. Có thể thấy sự xuất hiện của lớp hàm này qua việc thác triển tuần hoàn chu kỳ 2\pi của hàm khả vi liên tục trên [-\pi, \pi). Với f: \mathbb R\to\mathbb R là hàm tuần hoàn chu kỳ 2\pi, khả vi từng khúc thì chuỗi Fourier

a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))

với a_0=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx

a_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx, n=1, 2, \dots

b_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx, n=1, 2, \dots,

hội tụ đến \dfrac{f(x-0)+f(x+0)}{2},

với f(x-0), f(x+0) là giới hạn trái, giới hạn phải của f tại x.

Nếu thêm điều kiện f(x) liên tục tại x thì chuỗi Fourier sẽ hội tụ đến f(x).

Nhưng tại sao lại cần đến tính “khả vi từng khúc” trong khi cứ có hàm liên tục tuần hoàn chu kỳ 2\pi là có chuỗi Fourier!

Khi đưa ra chuỗi Fourier vào năm 1807 trong công trình “Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides” bản thân J. Fourier cũng đơn giản cho rằng chuỗi Fourier của hàm liên tục sẽ hội tụ. Phải đến năm 1873 Paul du Bois Reymond mới đưa ra ví dụ một hàm liên tục có chuỗi Fourier phân kỳ tại một vài điểm.

Một câu hỏi lại được đặt ra, liệu có cách nào khác để từ các hệ số Fourier của một hàm liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2\pi “khôi phục” lại được hàm liên tục đó?

Năm 1900, khi đó mới 20 tuổi, L. Fejér có câu trả lời khẳng định cho câu hỏi trên như sau:

Tổng Cesaro

\sigma_n(x, f)=\dfrac{1}{n}(na_0+\sum\limits_{k=1}^{n-1}(n-k)(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)))

hội tụ đều đến hàm tuần hoàn chu kỳ 2\pi, liên tục f trên [-\pi, \pi].

(Bạn đọc có thể xem

http://en.wikipedia.org/wiki/Fej%C3%A9r%27s_theorem)

Từ kết quả trên của L. Fejer, U. Dini đưa ra cách kiểm tra nhẹ hơn điều kiện khả vi từng khúc như sau:

nếu hàm tuần hoàn chu kỳ 2\pi, khả tích f:\mathbb R\to \mathbb R thỏa mãn

\int\limits_0^\pi \Big|\dfrac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-\ell\Big|\dfrac{dt}{t}<\infty

với \ell là hằng số

thì chuỗi Fourier sẽ hội tụ đến đúng \ell.

Trong trường hợp f khả vi từng khúc thì

\ell=\dfrac{f(x-0)+f(x+0)}{2}.

Từ điều kiện Dini cũng thấy được thêm vài ý sau.

+ Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ 2\pi

hoặc Lipschitz, nghĩa là có số dương L để

|f(x)-f(y)|\le L|x-y|, \forall x, y\in\mathbb R,

hoặc Holder cấp \alpha\in(0, 1), nghĩa là có số dương L để

|f(x)-f(y)|\le L|x-y|^\alpha, \forall x, y\in\mathbb R,

thì chuỗi Fourier hội tụ đến đúng f(x).

+ (Mở rộng kết quả trong sách “Giáo trình giải tích II”) Nếu hàm f tuần hoàn chu kỳ 2\pi là hàm có biến phân bị chặn trong [-\pi, \pi], nghĩa là

có một số dương L để với bất kỳ phân hoạch -\pi=x_0<x_1<\dots<x_{n-1}<x_n=\pi

\sum\limits_{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|<L

thì chuỗi Fourier hội tụ đến \dfrac{f(x-0)+f(x+0)}{2}.

Ta quay trở lại câu hỏi thứ hai, như của chuỗi lũy thừa, cho chuỗi Fourier:

Khi chuỗi Fourier của một hàm hội tụ thì nào có hội tụ đến chính hàm đó hay không?

Câu trả lời nằm ngay trong các kết quả ở trên. Kết quả đó lại cho thấy sự khác nhau về chất giữa chuỗi lũy thừa và chuỗi Fourier.

About these ads

Responses

  1. Một câu hỏi được đặt ra:

    liệu có hàm liên tục nào lại không khả vi từng khúc?

    Một vài ví dụ quan trọng:

    - ví dụ do Riemann đưa ra

    \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sin(n^2x)}{n^2},

    - ví dụ do Weierstrass đưa ra

    \sum\limits_{n=1}^\infty a^n\sin(b^nx), 0<a<1, ab\ge 1

    (do G. Hardy chứng minh) là các hàm Holder nhưng không khả vi từng khúc.

    Hàm Riemann không khả vi tại tất cả những điểm dạng \alpha\pi, \alpha\not\in\mathbb Q; còn hàm Weierstrass không khả vi tại bất kỳ điểm nào!

  2. Thầy cho em hỏi, trong khai triển taylor đến cấp n của hàm f(x) tại x=x_0 theo phần dư lagrange thì điều kiện là hàm có đạo hàm đến cấp n+1 trong khoảng (x_0, x) hay cụ thể như nào… ??

    • Em có thể tham khảo ở trang

      http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor's_theorem

      Để có phần dư Lagrange của khai triển Taylor đến cấp n chỉ cần đòi hỏi hàm có đạo hàm đến cấp n+1. Điều này khá giống điều kiện để có các Định lý Fermat, Rolle, Lagrange.

      Trong trường hợp để có phần dư dạng tích phân, chỉ cần đòi hỏi đạo hàm cấp n là hàm liên tục tuyệt đối!

  3. [...] http://bomongiaitich.wordpress.com/2012/06/01/su-hoi-tu-cua-chuoi-luy-thua-chuoi-fourier/ [...]


Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Danh mục

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: