Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Tám 1, 2013

Tập compact

Trong không gian metric, Định lý Eberlein–Šmulian khẳng định các khái niệm tập compact và tập compact dãy trùng nhau cũng như tập compact điểm giới hạn, cụ thể:

+ tập compact (Lindelöf compactness) là tập mà mọi phủ mở của nó đều trích ra được một phủ con hữu hạn;

+ tập compact dãy (Sequential compactness) là tập mà mọi dãy vô hạn bất kỳ gồm các phần tử thuộc vào tập này đều có thể trích ra một dãy con hội tụ đến một điểm trong tập ban đầu;

+ tập compact điểm giới hạn (Limit point compactness) là tập mà mọi tập con vô hạn bất kỳ của tập ban đầu đều có điểm giới hạn.

Các khái niệm compact trên có điểm gần giống với Tiên đề Cận dưới đúng trong tập số thực. Chúng đều khó hình dung cụ thể nhưng khá hữu hiệu trong các chứng minh chỉ ra sự tồn tại một cách lý thuyết, chẳng hạn trong việc chứng minh hàm liên tục trên tập compact đạt giá trị nhỏ nhất hay chứng minh sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng vào chính nó (trong không gian hữu hạn chiều). Câu hỏi đặt ra: làm thế nào nhận dạng dễ dàng tập compact trong các trường hợp cụ thể?

Trong trường hợp không gian hữu hạn chiều, như đường thẳng thực, mặt phẳng phức, v.v, một tập là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn. Tính chất đóng và bị chặn khá dễ kiểm chứng hay nhận dạng.

Trong trường hợp không gian vô hạn chiều, tập compact là đóng và bị chặn. Nhưng điều ngược lại không đúng, chẳng hạn hình cầu đóng trong không gian định chuẩn vô hạn chiều là không compact. Cụ thể hơn nữa, trong không gian dãy \ell_p(\mathbb N, \mathbb R), 1\le p\le +\infty, dãy e_n=(x_1, x_2, \dots, x_k, \dots), x_k=\delta_{kn} là dãy vô hạn và không có dãy con nào Cauchy vì
||e_n-e_m||_p\ge 1 khi n\not=m.

Vậy trong không gian \ell_p(\mathbb N, \mathbb R), khi nào một tập là compact? Ngoài tính đóng và bị chặn nó còn cần thêm điều kiện gì?

Khi 1\le p<+\infty, tập A\subset \ell_p(\mathbb N, \mathbb R) là tập compact khi và chỉ khi các điều kiện sau xảy ra

+ A đóng và bị chặn,

+ \lim\limits_{N\to\infty} \sup\limits_{x\in A} \sum\limits_{n=N}^\infty |x_n|^p=0.

Điều kiện bị chặn và

\lim\limits_{N\to\infty} \sup\limits_{x\in A} \sum\limits_{n=N}^\infty |x_n|^p=0

tương đương với tính hoàn toàn bị chặn (totally bounded).

Ngoài ra nó còn tương đương với điều kiện sau

+ tồn tại một hằng số dương C và một dãy số dương không giảm a_n, n=1, 2, \dots, thỏa mãn

-) \lim\limits_{n\to+\infty}a_n=+\infty,

-) \sum\limits_{n=1}^\infty a_n|x_n|^p<C, \forall x\in A.

Một ví dụ đơn giản về tập compact trong \ell_p(\mathbb N, \mathbb R) như sau.

Cho trước dãy \{b_n\}_{}^\infty\in\ell_p(\mathbb N, \mathbb R). Tập A gồm các dãy \{x_n\}_{n=1}^\infty thỏa mãn

|x_n|\le |b_n|, \forall n\in\mathbb N

là tập compact trong \ell_p(\mathbb N, \mathbb R).

Hay tập compact sau không có dạng trên.

Tập B gồm các dãy \{x_n\}_{n=1}^\infty thỏa mãn

\sum\limits_{n=1}^\infty n|x_n|^p\le 1.

Trong không gian \ell_\infty(\mathbb N, \mathbb R), tập đóng và bị chặn nào là tập compact?

Tôi chưa biết câu trả lời hoàn chỉnh cho câu hỏi này ngoại trừ điều kiện cần và đủ, như mọi không gian metric,

đóng + hoàn toàn bị chặn.

Một số câu trả lời khác.

Cho dãy dương \{b_n\}_{n=1}^\infty thỏa mãn \lim\limits_{n\to\infty}b_n=0.

Tập gồm các dãy \{x_n\}_{n=1}^\infty thỏa mãn
|x_n|\le b_n
là tập compact trong \ell_\infty(\mathbb N, \mathbb Z).

Nếu ta định nghĩa chuẩn sau trên \ell_\infty(\mathbb N, \mathbb R)
||x||=\sup_{n\in\mathbb N}\dfrac{|x_n|}{2^n}
thì tập đóng và bị chặn trong \ell_\infty(\mathbb N, \mathbb R) theo chuẩn cũ là tập compact theo chuẩn mới.

Ta cũng có tập đóng và bị chặn trong \ell_\infty(\mathbb N, \mathbb R) là tập compact yếu*, nghĩa là

mọi dãy x^{(n)}, n=1, 2, \dots, trong tập này

đều có một dãy con x^{(n_k)}, k=1, 2, \dots hội tụ yếu* đến một dãy x\in\ell_\infty(\mathbb N, \mathbb R), hay chính xác
\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{j=1}^\infty (x^{(n_k)}_j -x_j)y_j=0, \forall \{y_j\}_{j=1}^\infty\in\ell_1(\mathbb N, \mathbb R).

Một kết quả tương tự cho các không gian \ell_p(\mathbb N, \mathbb R), 1<p<\infty như sau.

Tập đóng và bị chặn trong không gian \ell_p(\mathbb N, \mathbb R), 1<p<\infty là tập compact yếu.

Riêng trong không gian \ell_1(\mathbb N, \mathbb R), vì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh nên tập bị chặn không là tập compact yếu.

Chuyển sang không gian hàm, ta có Định lý Azela-Ascoli:

Tập đóng và bị chặn A trong không gian C[0, 1] là tập compact khi và chỉ khi tập đó đồng liên tục đều (equi), nghĩa là

\forall \epsilon>0, \exists \delta>0
\forall f\in A, \forall x_1, x_2\in[0, 1]
|x_1-x_2|<\delta thì |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon.

Có thể thấy ngay tập bị chặn và đóng trong không gian C^1[0, 1] là tập compact trong C[0, 1].

Trong không gian L^p(0, 1), 1\le p<\infty ta có Định lý Frechet-Kolmogorov:

Cho A là tập đóng và bị chặn trong không gian L^p(0, 1), 1\le p<\infty, \omega là tập mở trong (0, 1) sao cho d=d(\omega, \{0, 1\})>0.
Khi đó, tập
A|_\omega=\{f|_\omega|\; f\in A\} là tập compact trong L^p(\omega)
khi và chỉ khi

với mỗi \epsilon>0 đều có \delta\in(0, d) sao cho
\int\limits_\omega|f(x+h)-f(x)|^pdx<\epsilon^p khi |h|<\delta, f\in A.

Một cách tương tự ta có kết quả sau trong không gian L^p(\mathbb R), 1\le p<\infty.

Tập đóng và bị chặn A trong L^p(\mathbb R), 1\le p<\infty thỏa mãn

với mỗi \epsilon>0 đều có \delta>0 sao cho
\int\limits_{\mathbb R}|f(x+h)-f(x)|^pdx<\epsilon^p khi |h|<\delta, f\in A.

Khi đó A|_\Omega là tập compact trong mọi không L^p(\Omega), \Omega là tập con có độ đo hữu hạn trong \mathbb R.

Ứng dụng kết quả này ta có hệ quả sau.
Cho G\in L^1(\mathbb R), A là tập đóng và bị chặn trong L^p(\mathbb R), 1\le p<\infty. Khi đó tập B gồm các hàm dạng
G*f(x)=\int\limits_{\mathbb R}G(x-y)f(y)dy
khi giới hạn lên tập có độ đo hữu hạn \Omega bất kỳ trong \mathbb R
là tập compact trong L^p(\Omega).

Trong không gian L^p(\mathbb R), 1\le p<\infty ta cũng có:

tập đóng và bị chặn A trong L^p(\mathbb R), 1\le p<\infty là tập compact khi và chỉ khi

+) với mỗi \epsilon>0 đều có R>0 để
\int\limits_{|x|>R}|f(x)|^pdx<\epsilon^p, \forall f\in A,

+) với mỗi \epsilon>0 đều có \delta>0 sao cho
\int\limits_{\mathbb R}|f(x+h)-f(x)|^pdx<\epsilon^p khi |h|<\delta, f\in A.

Ứng dụng kết quả này ta có hệ quả sau trong không gian L^2(\mathbb R).

Tập đóng bị chặn A trong không gian L^2(\mathbb R) thỏa mãn

+) \lim\limits_{R\to\infty} \sup_{f\in A} \int\limits_{|x|>R} |f(x)|^2dx=0,

+) \lim\limits_{\rho\to\infty} \sup_{f\in A} \int\limits_{|\xi|>\rho} |\hat{f}(\xi)|^2d\xi=0,
trong đó biến đổi Fourier \hat{f}(\xi)=\int\limits_{\mathbb R} e^{-ix\xi}f(x)dx.

Khi đó A là tập compact trong L^2(\mathbb R).

About these ads

Responses

  1. Kết quả về tính compact trong L^2(\mathbb R) được Robert L. Pego đưa ra năm 1985 trong bài

    http://www.ams.org/journals/proc/1985-095-02/S0002-9939-1985-0801333-9/S0002-9939-1985-0801333-9.pdf

    Gần đây, năm 2002 các tác giả Monika Dörfler, Hans G. Feichtinger, Karlheinz Gröchenig cũng đưa ra một số tiêu chuẩn về tính compact trong L^2. Cụ thể các bạn có thể xem trong

    http://arxiv.org/pdf/math/0201161v1.pdf

  2. Trong không gian Euclide \mathbb R^n, ký hiệu B* là tập các tập con đóng, bị chặn và khác rỗng trong \mathbb R^n. Trên tập B* ta định nghĩa khoảng cách Hausdorff

    D(X, Y)=\sup\limits_{x\in X\atop y\in Y}\{ d(x, Y), d(y, X)\},

    trong đó d(x, Y)=\inf\limits_{y\in Y}||x-y||.

    Khi đó B* với khoảng cách Hausdorff D lập thành không gian metric đầy đủ. Hơn nữa mọi tập đóng và bị chặn trong không gian này đều là tập compact.

    Ngoài ra, dãy tập lồi, đóng và bị chặn X_k hội tụ theo khoảng cách Hausdorff đến X thì X là tập lồi đóng và bị chặn.

    Dãy các tập X_k, k=1, 2, \dots, trong B* là dãy bị chặn theo khoảng cách Hausdorff nếu chúng cùng nằm trong một tập bị chặn.

    Từ các điều trên ta dẫn đến Định lý Blaschke Selection:

    Từ một dãy các tập lồi, đóng và cùng nằm trong một tập bị chặn (trong \mathbb R^n) ta luôn có thể trích ra một dãy con hội tụ đến một tập lồi, đóng và cũng nằm trong tập bị chặn trên.

    Các bạn có thể tham khảo thêm bài

    http://www.ams.org/journals/bull/1940-46-04/S0002-9904-1940-07195-2/S0002-9904-1940-07195-2.pdf

    Ta có thể thử tính khoảng cách Hausdorff trong vài ví dụ đơn giản.

    Cho hai hình chữ nhật

    A=\{0\le x\le 1, 0\le y\le 1\},

    B=\{0\le x\le 2, 0\le y\le 3\}.

    Khi đó có A\subset B và khoảng cách Hausdorff giữa hai tập này

    D(A, B)=d((1, 1), (2, 3))=\sqrt{5}

    là khoảng cách lớn nhất từ một điểm trong B đến tập A.

    Một cách nhìn khác, khoảng cách Hausdorff trên là bán kính r bé nhất để “phình” tập A bởi hình tròn B(0, r) thành tập

    A+B(0, r) chứa tập B.

    Ví dụ khác, ta xét hai hình tròn

    B(0, 3)=\{x^2+y^2\le 9\},

    B((1, 1), 3)=\{(x-1)^2+(y-1)^2\le 9\}.

    Với cách hiểu khoảng cách Hausdorff thứ hai ta tính được

    D(B(0, 3), B((1, 1), 3))=d(0, (1, 1))=\sqrt{2}

    là bán kính r bé nhất để

    B(0, 3)+B(0, r)\supset B((1, 1), 3),

    B((1, 1), 3)+B(0, r)\supset B(0, 3).

    Trong trường hợp này khoảng cách Hausdorff chính là khoảng cách giữa các tâm hình tròn. Một cách tổng quát, khoảng cách Hausdorff giữa các hình tròn cùng bán kính chính là khoảng cách giữa tâm của chúng! Tính chất như này còn đúng cho các tập có dạng như nào? Chú ý tính chất này không đúng cho hai hình tròn không cùng bán kính. Với hai hình tròn bất kỳ B(x_1, r_1)B(x_2, r_2) có khoảng cách Hausdorff

    D(B(x_1, r_1), B(x_2, r_2))=||x_1-x_2||+|r_1-r_2|.

    Bạn đọc thử kiểm tra lại xem?

    Một cách nhìn khác về khoảng cách Hausdorff:

    Nếu từ mỗi tập A, B phát các sóng cầu

    thì khoảng cách Hausdorff là bán kính bé nhất để sóng cầu phát ra từ tập này với bán kính đó phủ sóng toàn bộ tập kia.

    Định lý Blaschke Selection cho các hình tròn trong mặt phẳng cũng được chứng minh khá dễ từ Định lý Heine-Borel (Tập compact = Tập đóng + bị chặn). Cụ thể như sau. Cho dãy các hình tròn B(x_j, r_j), j=1, 2, \dots, cùng nằm trong một hình tròn B(0, R). Khi đó dãy điểm \{x_j\}_{j=1}^\infty nằm trong tập bị chặn B(0, R) nên có một dãy con \{x_{j_k}\}_{k=1}^\infty hội tụ đến một điểm x\in B(0, R).

    Lại có dãy \{r_{j_k}\}_{k=1}^\infty là dãy số dương bị chặn trên bởi R nên nó lại có dãy con \{r_{j_{k_l}}\}_{l=1}^\infty hội tụ đến một số không âm r.

    Khi đó

    \lim\limits_{l\to\infty}D(B(x_{j_{k_l}}, r_{j_{k_l}}), B(x, r))=0.

    Bạn đọc thử chứng minh giới hạn trên xem?

  3. Dùng Định lý Azela-Ascoli ta sẽ có các kết quả sau.

    +) Trong không gian các hàm điều hòa trên đĩa đơn vị đóng với chuẩn max, tập đóng và bị chặn là tập compact. Nói cách khác, từ một dãy các hàm điều hòa trên đĩa đơn vị đóng bị chặn có thể trích ra một dãy con hội tụ đến một hàm điều hòa trên đĩa đơn vị đóng.

    +) Một cách tương tự cho không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên đĩa đơn vị mở với khai niệm hội tụ: hội tụ đều trên từng compact. Bạn đọc thử tự phát biểu?

  4. Thưa thầy, cho em hỏi, tập rỗng có là tập compact không ạ, tập gồm 1 phần tử có là tập compact không ạ ? Em cảm ơn thầy.

    • Tập có hữu hạn phần tử là tập compact. Tập rỗng và tập chỉ có một điểm là các tập có hữu hạn điểm.

      • dạ, em cảm ơn thầy, em mới ọc nên nắm kiens thức không chắc lắm

  5. Thưa thầy, thực sự em vẫn còn mơ hồ trong việc phân biệt hai khái niệm: compact và compact theo dãy, xin thầy phân tích một chút khai khái niệm này, nhất là khi nào chúng trùng nhau, em muốn tìm ví dụ thể hiện chúng khác nhau nhưng vẫn chưa tìm được. Em nhớ không nhầm thì nếu B là không gian Banach trên trường số thực, B* là không gian đối ngẫu topo của B thì hình cầu đơn vị đóng có tâm tại gốc trong B* là compact theo topo yếu*, còn nếu A là không gian Asplund và A* là không gian đối ngẫu topo của A thì hình cầu đơn vị đóng có tâm tại gốc trong A* là compact yếu* theo dãy. Em vẫn chưa phân biệt được hai tính chất này (tức là vẫn cứ có cảm giác nó là 1, tất nhiêm thực tế chúng không là 1). Mong thầy giú em với ạ. Em cảm ơn thầy.

    • Tôi mới chỉ biết, như phần đầu bài viết, trong không gian metric hai khái niệm compact dãy và compact trùng nhau. Về các ví dụ để thấy hai khái niệm này khác nhau em có thể xem

      http://en.wikipedia.org/wiki/Sequentially_compact

      Định lý Banach Alaoglu khẳng định:

      Hình cầu đơn vị đóng trong không gian đối ngẫu của không gian định chuẩn là compact theo tô-pô yếu*.

      Nếu không gian định chuẩn khả ly, nghĩa là nó có tập con gồm đếm được phần tử trù mật trong nó, thì không gian đối ngẫu của không gian định chuẩn với tô-pô yếu* là không gian khả metric. Từ đó tính compact trùng với compact dãy.

      Em có thể xem

      http://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Alaoglu_theorem

      Về không gian Asplund tôi biết không nhiều.

    • Định lý Eberlein–Šmulian khẳng định: trong không gian Banach, với tô-pô yếu các khái niệm compact và compact dãy là một.

      Từ đó ta có kết quả sau của Kakutani:

      Một không gian Banach là phản xạ khi và chỉ khi một trong các điều sau xảy ra:

      – hình cầu đơn vị đóng là compact trong tô-pô yếu;

      – hình cầu đơn vị đóng là compact dãy trong tô-pô yếu.

  6. Thầy cho em hỏi, nếu A là tập bất kì, B là tập rỗng thì A+B được quy ước hiểu như thế nào ạ? (Nếu A, B khác rỗng thì A+B là tập tất cả các phần tử có dạng x=a+b, với a thuộc A, b thuộc B). Em cảm ơn thầy.

  7. Dạ, em cảm ơn thầy.


Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Danh mục

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: