http://bomongiaitich.wordpress.com/2011/12/22/ph%E1%BA%A7n-d%C6%B0-trong-cong-th%E1%BB%A9c-taylor-d%C6%B0%E1%BB%A3c-d%E1%BA%ABn-t%E1%BB%AB-d%E1%BA%B3ng-th%E1%BB%A9c-tich-phan/

tôi có đưa ra một công thức khá cồng kềnh:

.

Công thức này tuy cồng kềnh nhưng nó cho ta nhìn thấy tên gọi của nó:

“nguyên hàm cấp (n+1)” của .

Ta viết lại nguyên hàm cấp của hàm

Trong bài vừa nói trên cũng cho ta công thức gọn của nguyên hàm cấp của hàm

trong đó hàm Gamma được xác định bởi công thức tích phân suy rộng loại I sau

.

Từ đây gợi ý cho ta định nghĩa nguyên hàm cấp không nguyên (phân số) của hàm

Để có đạo hàm cấp không nguyên ta có hai cách:

+)(theo cách Riemann-Liouville) lấy đạo hàm cấp của nguyên hàm cấp :

;

+)(theo cách Caputo) lấy nguyên hàm cấp của đạo hàm cấp :

Bạn đọc có thể xem thêm ở trang

http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus

Tôi được nghe thầy Trần Đình Kế, trường Đại học Sư Phạm HN I, giới thiệu khá nhiều bài toán trong kỹ thuật phải dùng đến đạo hàm cấp không nguyên. Thầy Kế cũng đang nghiên cứu khía cạnh toán học của các bài toán đó.

được viết dưới hai dạng tương đối cụ thể:

+) dạng Lagrange:

với (rất khó xác định);

+) dạng Cauchy:

với (rất khó xác định).

Các dạng trên được dẫn từ Định lý Cauchy

có nằm giữa và để

cho hai hàm

+) dạng Lagrange:

+) dạng Cauchy:

Lưu ý

Tôi sẽ không đi sâu vào chi tiết hướng này mà sẽ đi từ hướng dùng tích phân.

Trong Giải tích 2, ta biết mối quan hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm nhờ Định lý Newton-Leibniz:

hay

(Phần dư dạng tích phân)

Ta sẽ tổng quát hóa điều trên.

Hôm 20/12/2011 tôi có làm cho lớp K56A2 bước tiếp

(Dạng tích phân lặp)

Cứ thế này ta có thể viết tiếp

Công thức này khá cồng kềnh. Nếu để ý, ta đổi thứ tự lấy tích phân

Khi đó công thức tổng quát

(Phần dư dạng tích phân)

Công thức này có được

(như cách trình bày ở trang http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem)

nhờ công thức Newton-Leibniz và đẳng thức truy hồi:

(Lưu ý )

Bây giờ, từ công thức dạng tích phân của phần dư, tôi sẽ dùng Định lý trung bình để dẫn ra các dạng Lagrange, Cauchy.

+) Dạng Lagrange:

- áp dụng Định lý trung bình tích phân thứ nhất cho

( không đổi dấu trong khoảng giữa và )

có một số nằm giữa và để

+) Dạng Cauchy:

- áp dụng Định lý trung bình tích phân thứ nhất cho

( không đổi dấu trong khoảng giữa và )

có một số nằm giữa và để

Bằng cách đặt ta có ngay các dạng phần dư.

Để dùng được hai Định lý này ta phải phân tích hàm dưới dấu tích phân thành tích

Chẳng hạn ta thử xem tích phân sau

Ta phân tích hàm dưới dấu tích phân

có

+) có nguyên hàm bị chặn bởi

+) là hàm đơn điệu giảm về khi tiến ra vô cùng.

Từ đó dùng Định lý Dirichlet ta có tích phân

hội tụ.

Tuy nhiên trong vài trường hợp nếu không biết phân tích thì không áp dụng được.

Chẳng hạn, ta xét tích phân

Nếu tách hàm dưới dấu tích phân

thì

+) có nguyên hàm là hàm có giới hạn ở vô cùng,

+) tuy nhiên là hàm dao động (không đơn điệu).

Hoặc tách

thì

+) đơn điệu giảm về khi tiến ra vô cùng,

+) tuy nhiên có nguyên hàm không bị chặn trên .

Nếu để ý

và các tích phân

hội tụ

thì tích phân

hội tụ.

Trong bài giảng hôm 13/12/2011, tôi đã đưa ra các phản ví dụ cho thấy các điều kiện:

+) có nguyên hàm bị chặn,

+) đơn điệu và

là cần thiết cho kết luận của Định lý Dirichlet.

Dưới đây tôi sẽ đưa ra các phản ví dụ cho thấy sự cần thiết của các điều kiện:

+) có nguyên hàm có giới hạn tại vô cùng,

+) đơn điệu và bị chặn

trong Định lý Abel.

VD1: Tích phân

có

+) có nguyên hàm không có giới hạn tại vô cùng,

+) đơn điệu và bị chặn trên ,

+) phân kỳ.

VD2: Tích phân

có

+) có nguyên hàm có giới hạn tại vô cùng,

+) đơn điệu và không bị chặn trên ,

+) phân kỳ.

VD3: Tích phân

có

+) có nguyên hàm có giới hạn tại vô cùng,

+) không đơn điệu và bị chặn trên ,

+) phân kỳ.

Định lý Abel giúp ta có phép thử lặp. Chẳng hạn, ta xét tích phân

Áp dụng Định lý Abel lần thứ nhất:

+) có nguyên hàm có giới hạn ở vô cùng,

+) đơn điệu giảm và bị chặn trên

nên hàm có giới hạn ở vô cùng.

Ta lại áp dụng Định lý Abel lần thứ hai:

+) có nguyên hàm có giới hạn ở vô cùng,

+) là hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên

nên tích phân

hội tụ.

Sang Giải tích 4, ta sẽ còn quay trở lại các Định lý Abel – Định lý Dirichlet khi khảo sát sự hội tụ của

+) chuỗi số

+) chuỗi hàm

+) tích phân suy rộng phụ thuộc tham số

Bài tổng hợp về giới hạn của sinh viên Thiều Thị Lan Anh K56A2 viết về giới hạn của hàm số tại một điểm (hữu hạn hoặc ở vô cùng).

Một hàm không có giới hạn tại một điểm có các trường hợp sau:

- hội tụ ra vô cùng ();

- dao động bị chặn, chẳng hạn

+) tại

+) tại

- dao động không bị chặn, chẳng hạn

+) tại

+) tại

Bài tổng hợp về dãy của các sinh viên Nguyễn Thị Hạnh và Nguyễn Thị Thanh Thùy K56A2 viết về mối quan hệ giữa các khái niệm:

- hội tụ,

- đơn điệu,

- bị chặn.

Một dãy đơn điệu có hai trường hợp sau xảy ra:

- bị chặn thì sẽ hội tụ đến số hữu hạn,

- không bị chặn sẽ hội tụ ra vô cùng.

Dãy không đơn điệu được gọi là dao động.

Có hai loại dao động:

+) dao động bị chặn, chẳng hạn

+) dao động không bị chặn, chẳng hạn

Trên đây là bài tổng hợp của các sinh viên Đinh Thị Hòa và Nguyễn Đức Trung, lớp K56A2T.

Còn vài điều chưa đề cập đến trong bài tổng hợp.

Chẳng hạn làm thế nào để biết

từ

Phần về vô cùng lớn cũng chưa được quan tâm nhiều trong bài tổng hợp.

Dưới đây

lecture2 – Algorithm Analysis

là một phần trong bài giảng

“Thiết kế và đánh giá thuật toán”

cho các lớp Toán Tin của cô Nguyễn Thị Hồng Minh

liên quan đến vô cùng lớn.

http://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_number.

Việc chứng minh này dựa vào:

- tính chia hết cho ,

- tập con của tập số tự nhiên luôn có số bé nhất.

Bằng nguyên lý Dirichlet và tính vô tỷ của người ta chứng minh được rằng với mỗi số tự nhiên  bất phương trình

đều có nghiệm nguyên

Từ đó dẫn đến bất phương trình

có vô số nghiệm nguyên

Người ta cũng có thể xây dựng khá cụ thể dãy cặp thỏa mãn bất phương trình trên bằng phương pháp phân số liên tục (continued fraction). Bạn đọc có thể đọc trong cuốn

“Continued Fractions” của A. Ya. Khinchin.

Bạn đọc có thể lấy từ đường link

http://www.box.net/shared/6mgnvk1dnvh6qy2basdx

Bạn đọc thử chứng minh nếu là số hữu tỷ, bất phương trình

chỉ có hữu hạn nghiệm.

Bằng tính toán đơn giản ta cũng sẽ thấy bất phương trình sau

vô nghiệm.

Đây là một phần của Định lý Liouville về số đại số. Trước hết ta làm quen với số đại số.

Số nguyên là số đại số bậc vì nó là nghiệm của đa thức bậc với hệ số nguyên:

Số hữu tỷ là số đại số bậc vì nó là nghiệm của đa thức bậc với hệ số nguyên:

Số là số đại số bậc vì nó là nghiệm của đa thức bậc với hệ số nguyên:

và không có đa thức bậc với hệ số nguyên nào nhận nó làm nghiệm.

Số là số đại số bậc vì nó là nghiệm của đa thức bậc với hệ số nguyên:

và không có đa thức bậc không lớn hơn với hệ số nguyên nào nhận nó làm nghiệm.

Một cách tổng quát: số được gọi là số đại số (algebraic number) bậc nếu có một đa thức bậc với hệ số nguyên

nhận nó là nghiệm và không có đa thức bậc nhỏ hơn với hệ số nguyên nào nhận nó là nghiệm.

Số vô tỷ có hai trường hợp sau xảy ra:

- hoặc là số đại số có bậc

- hoặc không có một đa thức với hệ số nguyên nào nhận là nghiệm, ta gọi là số siêu việt (transcendental number).

Sau đây là phát biểu của Định lý Liouville:

Cho là số đại số bậc Khi đó có một số dương để

Từ Định lý Liouville, người ta dẫn ra ví dụ sau về số siêu việt:

Số cũng là các số siêu việt. Tuy nhiên, người ta chưa nghĩ ra cách nào để chứng minh điều này bằng việc sử dụng Định lý Liouvlle.

Bạn đọc có thể tham khảo thêm trong cuốn

“Transcendental Number Theory” của Alan Baker.

Bạn đọc có thể lấy sách qua đường link

http://www.box.net/shared/ad1ppery96g4yhsbgk9j

Các nhà Toán học đã rút ra các tính chất chính của giá trị tuyệt đối:

giá trị tuyệt đối là hàm số thỏa mãn các tính chất sau:

(xác định dương) dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

(nhân tính)

(bất đẳng thức tam giác)

Từ khái niệm giá trị tuyệt đối đã dẫn ra khái niệm dãy hội tụ, dãy Cauchy (cái sau này được hiểu là các khái niệm về tôpô). Dãy Cauchy là một trong những cách dẫn tới tập số thực từ tập số hữu tỷ. Cụ thể như sau:

trên trường số hữu tỷ ta có khái niệm giá trị tuyệt đối thỏa mãn các tính chất như ở trên:

- xác định dương, nhân tính, bất đẳng thức tam giác.

Từ đó ta có khái niệm dãy hội tụ, dãy Cauchy. Tuy nhiên, nói chung một dãy Cauchy gồm các số hữu tỷ không hội tụ đến số hữu tỷ. Người ta đầy đủ hóa tập số hữu tỷ thì thu được tập số thực.

Một câu hỏi đặt ra: liệu ngoài giá trị tuyệt đối như ta biết ở trên còn giá trị tuyệt đối nào khác nữa không?

Câu trả lời: có, giá trị tuyệt đối (với là một số nguyên tố) được xác định trên trường số hữu tỷ như sau:

nếu trong đó

Bạn đọc có thể tự kiểm tra thỏa mãn các tính chất của giá trị tuyệt đối như một bài tập không khó. Điểm đáng lưu ý của kiểu giá trị tuyệt đối này nằm ở bất đẳng thức tam giác:

Từ bất đẳng thức này dẫn đến tính không Archimede như sau:

Cho và Khi đó với mọi ta vẫn có

Với giá trị tuyệt đối này ta có khái niệm dãy hội tụ, dãy Cauchy khác và bằng cách làm đầy ta thu được một trường số mới, không phải tập số thực trường adic

Bạn đọc muốn tìm hiểu thêm có thể tham khảo bài giảng ngắn gọn sau của Andrew Baker:

padicnotes

Câu hỏi tiếp: liệu còn giá trị tuyệt đối nào khác xác định trên trường số hữu tỷ không?

Câu trả lời chính là Định lý của Ostrowski nói rằng:

Giá trị tuyệt đối không tầm thường trên trường số hữu tỷ

- hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường,

- hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối adic.

Bạn đọc có thể tham khảo chứng minh cũng như các khái niệm “giá trị tuyệt đối tầm thường” và “hai giá trị tuyệt đối tương đương” trong trang web

http://en.wikipedia.org/wiki/Ostrowski%27s_theorem

Có thể nói nôm na “hai giá trị tuyệt đối tương đương” cho ta cùng “một khái niệm hội tụ”.

“Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3ed”

của H. M. Schey

cho ta thấy nguồn gốc Vật lý của tích phân mặt và tích phân đường cũng như các công thức đẹp Green-Stokes, Ostrogradki-Gauss (Divergence Theorem).

Các bạn có thể lấy cuốn sách từ đường link

http://www.box.net/shared/qjg0aibjcoz9hd420s99

Các bạn lớp K56A2 có thể xem qua chương trình tôi đã dạy năm ngoái ở trang

http://bomongiaitich.wordpress.com/2010/09/18/trao-d%e1%bb%95i-bai-gi%e1%ba%a3ng-l%e1%bb%9bp-k55a2/

Các bạn có thể viết các thắc mắc ở phần “Comments” (hay “phản hồi”) ở phía dưới bài viết.