Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Năm 31, 2009

Đề thi môn PTĐHR lớp K52A2+A3(2009) lần I

Đề thi của thầy Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học, ra cho chung cho cả hai lớp K52A2 và K52A3.

Thời gian làm bài 90 phút.

Câu 1.

(a) Đưa về dạng chính tắc và phân loại phương trình sau:

\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}-2\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0.

(b)Tìm nghiệm của phương trình đã cho thỏa mãn các điều kiện sau:

\dfrac{\partial u}{\partial y}\Big|_{y=0}=0, \;\;\; u|_{y=0}=x^2.

Câu 2. Xét bài toán hỗn hợp cho phương trình truyền nhiệt:

u_t(x, t)=u_{xx}(x, t)+\dfrac{\pi^2}{\ell^2}\sin{\dfrac{\pi x}{\ell}}, 0<x<\ell, t>0,

u(0, t)=u(\ell, t)=0, \; u(x, 0)=0.

(a) Kiểm tra rằng hàm w(x, t)=\sin{\dfrac{\pi x}{\ell}} thỏa mãn phương trình và các điều kiện biên của bài toán.

(b) Bằng cách đặt u(x, t)=\sin{\dfrac{\pi x}{\ell}}+v(x, t), hãy tìm nghiệm của bài toán đã cho.

Câu 3. Cho phương trình Laplace:

\Delta u(x, y)=0 trong \Omega=\{(x, y)|\; 0\le x^2+y^2<R^2\}.

(a) Hãy viết phương trình Laplace trong hệ tọa độ cực (r, \phi) của v(r, \phi)=u(r\cos{\phi}, r\sin{\phi}) trong hình tròn \Omega (Không yêu cầu thiết lập biểu thức của Laplace).

(b) Phát biểu bài toán biên Dirichlet với phương trình Laplace trên trong hình tròn \Omega với điều kiện biên f(\phi).

(c) Tìm nghiệm v(r, \phi) bị chặn trong \Omega với f(\phi)=\cos^3{\phi}, \; |\phi|<\pi.

5 phản hồi

Posted in Đề thi

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Tư 13, 2009

Bài toán biên Dirichlet trên nửa dải vô hạn

Bằng phương pháp tách biến ta có thể tìm nghiệm bị chặn của bài toán biên Dirichlet cho phương trình Laplace

\Delta u=0 trong dải 0<x<+\infty, 0<y<\pi,

với điều kiện biên

u(x, 0)=u(x, \pi)=0, 0\le x<\infty

và u(0, y)=1, 0\le y\le \pi

dưới dạng chuỗi u(x, y)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n e^{-nx}\sin{(ny)}.

Sau đó, thay vào điều kiện x=0

u(0, y)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n \sin{(ny)}=1

ta giải được a_n, n=1, 2, \dots .

Tuy nhiên, người ta có thể chuyển bài toán trên về bài toán trong hình tròn qua các phép đổi biến. Dưới đây, tôi trình bày cách tiếp cận bằng phương pháp hàm biến phức mà tôi vừa được học từ GS. Donald Marshall.

Coi mặt  phẳng \mathbb R^2 như mặt phẳng phức \mathbb C.

Ta sử dụng các phép biến hình:

+ phép f_1(z)=e^z biến dải \{z|\; 0\le Im z \le \pi, 0\le Re z\} thành miền \{z|\; 0\le Im z, 1\le |z|\};

+phép f_2(z)=\dfrac{1}{2}(z+\dfrac{1}{z}) biến miền  \{z|\; 0\le Im z, 1\le |z|\}thành nửa mặt phẳng \{z|\; Re z\ge 0\}

+phép f_3(z)=\dfrac{z-i}{z+i} biến miền  \{z|\; Re z\ge 0\} thành hình tròn \{z|\; |z|\le 1\}.

Hàm điều hòa u:\{z|\; 0\le Im z\le \pi, 0\le Re z\}\to \mathbb R thỏa mãn điều kiện biên

u(z)=0 khi Im z=0 hoặc Im z=\pi,

và u(z)=1 khi Rez=0

khi và chỉ khi hàm v=u o \varphi:\{z|\; |z|\le 1\}\to \mathbb R là hàm điều hòa, với \varphi=(f_3 o f_2 o f_1)^{-1}, thỏa mãn điều kiện biên

v(z)=0 khi |z|=1, Re z\ge 0,

và v(z)=1 khi |z|=1, Re z\le 0.

18 phản hồi

Posted in Uncategorized

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Ba 29, 2009

Phương trình hyperbolic cấp 2 với hệ số hằng

Trong phần “Đề thi giữa kỳ môn PTVP ĐHR K51A2+A3″ cậu cuong có hỏi về phương trình u_{xy}+au_x+bu_y+abu=0, a, b là các hằng số, là dạng đặc biệt của phương trình hyperbolic cấp 2 với hệ số hằng.

Trong bài này, tôi sẽ trình bày cách giải cho trường hợp tổng quát dựa theo cuốn

“PDEs of Mathematical Physics and Integral Equations”

của R. B. Guenther & J. W. Lee.

Xuất phát từ dạng tổng quát của phương trình

au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}+du_x+eu_y+fu=g

với a, b, c, d, e, f là các hằng số thỏa mãn

b^2-ac>0

và g là hàm theo biến x, y đủ tốt.

Bằng phép đổi biến thích hợp

\xi=\xi(x, y), \eta=\eta(x, y)

ta chuyển được phương trình về dạng chính tắc

v_{\xi\eta}+mv_{\xi}+nv_{\eta}+pv=h

với m, n, p là các hằng số và h là hàm theo \xi, \eta.

Xét hàm w(\xi, \eta)=e^{\alpha\xi+\beta\eta}v(\xi, \eta)

với \alpha, \beta là các hằng số phù hợp để

w_{\xi \eta}=e^{\alpha\xi+\beta\eta}(v_{\xi \eta}+mv_{\xi}+nv_\eta +p'v).

Khi đó ta thu được phương trình dạng

w_{\xi\eta}(\xi, \eta)+(p-p')w(\xi,\eta)=e^{\alpha\xi+\beta\eta}h(\xi, \eta).

Không khó khăn gì ta tìm được w(\xi, \eta). Từ đó, quay ngược trở lại ta tìm được u(x, y).

Nếu có hứng thú, độc giả có thể thử tự tìm nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình

u_{tt}+2u_t=u_{xx}, -\infty<x<+\infty, t>0,

với điều kiện ban đầu

u(x, 0)=0, u_t(x, 0)=x, -\infty<x<+\infty.

Để lại phản hồi

Posted in Uncategorized

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Ba 24, 2009

Bảng điểm giữa kỳ và thường xuyên môn PT VPĐHR lớp K52A3

Tôi đã gửi bảng điểm giữa kỳ và điểm thường xuyên vào hòm thư của lớp K52A3 trên khoa Toán.

Để lại phản hồi

Posted in Uncategorized

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Ba 22, 2009

Kết thúc môn PT VPĐHR lớp K52A3

Thứ Ba tới, ngày 24/03/2009, tôi sẽ kết thúc dạy môn PT VPĐHR cho lớp K52A3. Cho đến giờ vẫn còn một số nhóm chưa nộp bài tập nhóm (nhóm 5, 9, 11). Vậy ngày mai thứ Hai, ngày 23/03/2009, hạn cuối nộp bài tập cho các nhóm đó. Thứ Ba tôi sẽ thông báo điểm đánh giá thường xuyên.

ĐATuấn

Để lại phản hồi

Posted in Uncategorized

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Ba 9, 2009

Đề thi giữa kỳ K52A3

thigiuakyk52a3n1

thigiuakyk52a3n2

thigiuakyk52a3n3

Tôi đã chấm xong bài thi giữa kỳ.
Kết quả có mười bài được 10; mười bài dưới 3.

Để lại phản hồi

Posted in Uncategorized

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Hai 24, 2009

Thông báo thi giữa kỳ môn PT VPĐHR lớp K52A3

Lớp K52A3 sẽ thi môn PT VPĐHR vào chiều thứ Hai, ngày 09/03/2009 tại phòng 404T5.

Lớp sẽ chia thành ba nhóm thi:

+ nhóm I:     từ 13h30 đến 14h30;

+ nhóm II:   từ 14h45 đến 15h45;

+ nhóm III: từ 16h00 đến 17h00.

Đề thi sẽ gồm:

+ chuyển về dạng chính tắc, tìm nghiệm tổng quát;

+ các bài toán biên Dirichlet.

Chúc mọi người thi tốt!

ĐATuấn

2 phản hồi

Posted in Uncategorized

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Hai 10, 2009

Thông báo học môn PTVP ĐHR lớp K52A3

Lớp K52A3, ngoài buổi học sáng thứ Ba (từ tiết 1 đến tiết 3, 7h00 đến 9h50), học thêm một buổi chiều thứ Hai từ tiết 2 đến tiết 4, 14h00 đến 16h50, tại phòng 404 T5.
Rất mong mọi người đi học đầy đủ!
ĐATuấn

Để lại phản hồi

Posted in Uncategorized

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Hai 10, 2009

Đề thi giứa kỳ môn PTVP ĐHR K51 A2 + A3

thigiuakyk51a3n2

thigiuakyk51a3n1
thigiuakyk51a2n2
thigiuakyk51a2n1

21 phản hồi

Posted in Đề thi

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Mười Hai 16, 2008

Đổi thứ tự lấy tích phân (tiếp)

Lớp K51A3 cũng được giao một bài về đổi thứ tự lấy tích phân của tích phân ba lớp

\int_0^1 dx \int_0^{x^2} dy \int_0^{x^2+y^2} f(x, y, z) dz.

Miền lấy tích phân V=\{0\le x\le 1, 0\le y\le x^2, 0\le z\le x^2+y^2\} được minh họa như sau

datuan15

datuan161

datuan17

Các thiết diện của miền

datuan11

datuan12

datuan181

datuan1811

datuan141

Bài này lớp K51A3 đã làm được!!!

Để lại phản hồi

Posted in Uncategorized

« Newer Posts - Bài viết cũ hơn »

Chuyên mục