Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Sáu 11, 2015

Đề thi – Đáp án cuối kỳ môn PTĐHR K57A1T+K57TN

DeThiPTDHR_so1_2015

Tôi đã chấm xong bài thi môn PTĐHR cho lớp K57A1T+K57TN.

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Sáu 8, 2015

Đề thi Giải tích 2 – Lớp K59A2+A3

DeCuoiKyGT2_2015_1

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Năm 23, 2015

Bổ đề Riemann – Lebesgue

Trong giáo trình Giải tích, khi học về chuỗi Fourier ta gặp một bổ đề quan trọng Bổ đề Riemann về dáng điệu của hệ số Fourier. Cụ thể như sau.

Cho hàm f: \mathbb R\to\mathbb R tuần hoàn chu kỳ 2\pi, khả tích Riemann trên đoạn mỗi đoạn hữu hạn. Khi đó các hệ số Fourier có tính chất

\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0

trong đó a_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx, b_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx, n\in\mathbb N.

Một dạng khác được dùng nhiều:

Cho f: [a, b]\to\mathbb R khả tích Riemann trên [a, b]. Khi đó hệ số Fourier tổng quát có tính chất

\lim\limits_{\lambda\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(\lambda x)dx.

So với dạng trước ta đã mở rộng:

-) đoạn [a, b] so với [-\pi, \pi],

-) biến liên tục \lambda so với biến rời rạc n.

Câu hỏi:

– ta có thể mở rộng sang miền vô hạn cho hàm có tích phân suy rộng hội tụ?

(Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Năm 14, 2015

Tính diện tích xung quanh nón cụt bằng tích phân đường

Cách đây khá lâu, trong phần phản hồi bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2007/11/05/s%E1%BB%B1-nh%E1%BA%A7m-l%E1%BA%ABn-tinh-di%E1%BB%87n-tich-b%E1%BA%B1ng-cong-th%E1%BB%A9c-stokes/

tôi có hỏi về việc dùng Stokes để tính diện tích mặt nón. Sáng nay, 14/05/2015, tôi có trình bày cách sử dụng Stokes để tính diện tích:

– mặt nằm trong mặt phẳng,

– mặt trụ x^2+y^2=R^2, 0\le z\le h.

Đến khi trình bày sang mặt xung quanh nón cụt thì tôi bị vấp. Dưới đây tôi trình bày cách vượt qua chỗ vấp. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Năm 6, 2015

Tích phân trên đơn hình

Ta bắt đầu từ việc tính diện tích các “hình tròn đơn vị” B_p

|x|^p+|y|^p\le 1, trong đó p>0.

Do tính đối xứng nên diện tích của B_p bằng bốn lần diện tích của góc phần tư D_p

x^p+y^p\le 1, x\ge 0, y\ge 0.

Bằng cách đổi biến x=X^{1/p}, y=Y^{1/p} ta có diện tích của D_p được cho bởi

\int\limits_{\Delta_2}\dfrac{X^{1/p-1}Y^{1/p-1}}{p^2}dXdY,

với \Delta_2=\{X+Y\le 1, X\ge 0, Y\ge 0\} là đơn hình 2-chiều. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Tư 10, 2015

Đề thi giữa kỳ PTĐHR lớp K57A1T

DeThiGiuaKyK57A1N1

DeThiGiuaKyK57A1N2

(Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Tư 8, 2015

Đề thi giữa kỳ K57TN

Trang 1 - De GK -2015

(Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Ba 31, 2015

Đề thi giữa kỳ môn Giải tích 2 – K59A3

dethigiuakigiaitich2-k59mtkhtt

dethigiuakigiaitich2-k59mtkhtt_de2

Tôi đã chấm xong bài thi giữa kỳ môn Giải tích 2 cho nhóm 2 lớp K59A3.

Đề 1: cao nhất 8,0; có năm bài dưới trung bình.

Đề 2: cao nhất 8,5; có tám bài dưới trung bình.

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Ba 3, 2015

Sử dụng tích phân Fourier để giải PTĐHR

Chuỗi Fourier được J. Fourier đưa ra như một công cụ để giải các phương trình truyền nhiệt và truyền sóng. Khi nghiên cứu phương trình truyền nhiệt trên một đoạn hữu hạn bằng phương pháp tách biến ta thu được họ đếm được các hàm riêng (còn gọi là phổ). Từ đó ta lập được công thức nghiệm dạng chuỗi Fourier. Vẫn dùng phương pháp này cho phương trình truyền nhiệt trên toàn đường thẳng ta sẽ thu được một họ “liên tục”, không đếm được các phổ. Khi đó ta lập công thức nghiệm dạng “tổng liên tục” hay “tích phân Fourier”. Trong bài “Từ chuỗi Fourier đến tích phân Fourier”

https://bomongiaitich.wordpress.com/2013/04/10/tu-chuoi-fourier-den-tich-phan-fourier/

tôi đã trình bày quá trình “liên tục” hóa này và đi đến biến đổi tích phân Fourier của hàm “đủ tốt” f:\mathbb R\to\mathbb C

\mathcal Ff(\xi)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{\mathbb R}f(x)e^{-i\xi x}dx.

Hàm đủ tốt ở đây sẽ phụ thuộc vào một số tình huống cụ thể, chẳng hạn để tích phân trên có nghĩa hàm f cần khả tích Lebesgue trên toàn đường thẳng. Trong trường hợp tốt hơn như trong bài “Từ chuỗi Fourier đến tích phân Fourier”, nghĩa là f liên tục, trơn từng khúc và khả tích tuyệt đối thì ta có thể khôi phục f từ biến đổi Fourier của nó qua biến đổi ngược Fourier sau

f(x)=p.v.\int\limits_{\mathbb R}\mathcal Ff(\xi)e^{i\xi x}d\xi=\lim\limits_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R \mathcal Ff(\xi)e^{i\xi x}d\xi.

Để sử dụng biến đổi Fourier này vào việc giải các phương trình đạo hàm riêng ta cần đến một số tính chất của biến đổi Fourier và khi đó ta sẽ đòi hỏi thêm về tính “đủ tốt”. Dưới đây ta đi vào cụ thể một số trường hợp đơn giản. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Hai 19, 2015

Một vài cách chứng minh tính không khả vi của hàm Weierstrass

Trong bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2011/05/29/khai-ni%E1%BB%87m-h%E1%BB%99i-t%E1%BB%A5-d%E1%BB%81u-va-ham-weierstrass-ham-cantor/

tôi có đề cập đến hàm Weierstrass

W(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty a^n \cos(b^n\pi x).

Khi 0<a<1, bằng dấu hiệu Weierstrass, không khó để chứng minh chuỗi hàm trên hội tụ đều và do đó hàm giới hạn W(x) là hàm liên tục. Tuy nhiên khi 0<a<1ab\ge 1, G. H. Hardy chứng minh được rằng hàm W(x) là hàm không khả vi tại bất kỳ điểm nào. Kết quả này nhắc cho ta về việc chuyển phép lấy đạo hàm qua dấu tổng “vô hạn” cần có điều kiện chuỗi đạo hàm hội tụ đều! Một điều nữa kết quả này cũng nhắc ta rằng không phải hàm liên tục thì nó chỉ không khả vi tại vài điểm. Đến đây các bạn có thể đặt câu hỏi: nhỡ Hardy chứng minh chưa đúng? Dưới đây tôi trình bày một số cách tiếp cận khác khẳng định kết quả Hardy đưa ra là đúng. (Đọc tiếp…)

Older Posts »

Danh mục

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 29 other followers