Giới hạn trên, giới hạn dưới của dãy tập hợp

Standard

Nhắc lại khái niệm giới hạn trên, giới hạn dưới của dãy số thực:

  •  C1: Từ tập các giới hạn riêng của dãy số, cận trên đúng của tập này (kể cả vô cùng) được gọi là giới hạn trên của dãy số và cận dưới đúng là giới hạn dưới. Về khái niệm giới hạn riêng có thể nói nôm na là “chỗ”, trên đường thẳng thực, mà dãy số quay trở lại vô số lần.
  •  C2: Dãy số thực \{x_n\}_{n=1}^\infty

+(giới hạn trên) \limsup\limits_{n\to\infty}x_n=\inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge 1}x_{n+k},

+(giới hạn dưới) \liminf\limits_{n\to\infty}x_n=\sup\limits_{n\ge 1}\inf\limits_{k\ge 1}x_{n+k}.

Chú ý Read the rest of this entry

Hàm trơn không giải tích

Standard

Xét hàm f: (a, b)\to\mathbb R, a< b. Hàm f được gọi là trơn, còn gọi khả vi vô hạn, nếu nó có đạo hàm mọi cấp trên (a, b). Hàm f được gọi là hàm giải tích nếu nó trơn và chuỗi Taylor tại mọi điểm trên (a, b) của nó đều hội tụ đến nó trong một lân cận của điểm đang xét.

Như ta đã biết hàm

\rho(x)=\begin{cases}e^{-x^{-2}} \; khi \; x\not=0, \\ 0 \; otherwise,\end{cases}

là hàm trơn và không giải tích tại x=0.

Từ đây, không khó khăn lắm, ta có thể xây dựng được hàm trơn và không giải tích tại tối đa đếm được điểm. Liệu có hàm trơn nào mà nó không giải tích tại mọi nơi không?

Read the rest of this entry