Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Tám 2, 2015

Định lý Cantor về tính duy nhất của chuỗi lượng giác

Như trong bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/10/10/tinh-duy-nhat-chuoi-taylor-chuoi-fourier/

tôi có đưa ra hai câu hỏi về tính duy nhất của chuỗi Fourier:

– Câu hỏi 1: hệ số Fourier có xác định duy nhất hàm trong lớp hàm khả tích tuần hoàn L^1(\mathbb T)?

– Câu hỏi 2: mỗi hàm chỉ có đúng một chuỗi “Fourier” hội tụ về nó?

Với câu hỏi 1 có câu trả lời khẳng định nhờ Định lý Fejer.

Với câu hỏi 2 cần hiểu hai điểm:

– chuỗi “Fourier”, nên gọi là chuỗi lượng giác

a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))

với các hệ số phức a_n, b_n không xuất phát từ hàm (đây là điểm phân biệt với chuỗi Fourier),

– chuỗi lượng giác gắn với hàm theo nghĩa chuỗi này “hội tụ” đến hàm.

Nếu chuỗi lượng giác hội tụ đều thì hàm giới hạn là hàm liên tục, tuần hoàn. Nhờ tính chất chuyển giới hạn qua dấu tích phân của dãy hàm hội tụ đều, các hệ số Fourier của hàm giới hạn chính là hệ số của chuỗi lượng giác.

Nếu chuỗi lượng giác có dãy tổng riêng hội tụ trong L(\mathbb T) đến hàm f thì, bằng đánh giá đơn giản

\int\limits_0^{2\pi} |(S_n(x)-f(x))\exp(ikx)|dx\le ||S_n-f||_{L^1(\mathbb T)}, k, n, \in\mathbb Z_+,

các hệ số của chuỗi lượng giác chính là hệ số Fourier của hàm f.

Bài viết này nhằm trả lời câu hỏi:

nếu dãy tổng riêng hội tụ điểm thì liệu hệ số của chuỗi lượng giác có được xác định duy nhất từ hàm giới hạn không?

Câu hỏi này không dễ nghĩ đến! Nó được xuất phát từ B. Riemann năm 1854 trong luận án tiến sỹ dưới sự hướng dẫn của L. Dirichlet. Trong luận án này B. Riemann đặt ra ba câu hỏi về chuỗi lượng giác: (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Bảy 20, 2015

Định lý Cantor-Lebesgue

Bổ đề Riemann-Lebesgue cho ta biết hệ số Fourier của hàm khả tích Lebesgue hội tụ về 0. Cụ thể, với f\in L(\mathbb T) thì

\lim\limits_{|n|\to\infty}\hat{f}(n)=0

với \hat{f}(n)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{\mathbb T}e^{-inx}f(x)dx.

Với chuỗi lượng giác

\sum\limits_{n\in\mathbb Z}c_n e^{inx}, c_n\in\mathbb C,

thì sao?

G. Cantor cho ta kết quả sau: (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Bảy 15, 2015

Karl Hermann Amandus Schwarz

Karl Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) là nhà toán học Đức, đồng tác giả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

Trong không gian Hilbert H

|\langle x, y\rangle|\le ||x||\cdot||y||, \forall x, y\in H,

trong đó \langle \cdot, \cdot\rangle là tích vô hướng, và ||\cdot|| là chuẩn.

Chẳng hạn H=\mathbb R^n, x=(x_1, \dots, x_n), y=(y_1, \dots, y_n)\in \mathbb R^n

+) tích vô hướng

\langle x, y\rangle=\sum\limits_{j=1}^n x_jy_j,

+) chuẩn

||x||=(\sum\limits_{j=1}^n x_j^2)^{1/2}.

Khi đó ta có dạng quen thuộc của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

(\sum\limits_{j=1}^n x_jy_j)^2\le (\sum\limits_{j=1}^n x_j^2)(\sum\limits_{j=1}^n y_j^2).

Khi H=L^2(\mathbb R; \mathbb R), không gian các hàm bình phương khả tích, giá trị thực, có

+) tích vô hướng

\langle f, g\rangle=\int\limits_{\mathbb R}f(x)g(x)dx,

+) chuẩn

||f||=\left(\int\limits_{\mathbb R}|f(x)|^2\right)^{1/2}.

Khi đó ta có dạng tích phân của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

\left(\int\limits_{\mathbb R}f(x)g(x)dx\right)^2\le \left(\int\limits_{\mathbb R}|f(x)|^2dx\right)\left(\int\limits_{\mathbb R}|g(x)|^2dx\right).

Cũng cần nói thêm dạng tổng được chứng minh bởi Augustin-Louis Cauchy (1821), còn dạng tích phân được chứng minh bởi Viktor Bunyakovsky (1859). Chi tiết các bạn tham khảo

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality

Trong phần tiếp của bài viết tôi muốn trình bày một số kết quả thú vị khác trong Giải tích của H.A. Schwarz. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Sáu 11, 2015

Đề thi – Đáp án cuối kỳ môn PTĐHR K57A1T+K57TN

DeThiPTDHR_so1_2015

Tôi đã chấm xong bài thi môn PTĐHR cho lớp K57A1T+K57TN.

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Sáu 8, 2015

Đề thi Giải tích 2 – Lớp K59A2+A3

DeCuoiKyGT2_2015_1

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Năm 23, 2015

Bổ đề Riemann – Lebesgue

Trong giáo trình Giải tích, khi học về chuỗi Fourier ta gặp một bổ đề quan trọng Bổ đề Riemann về dáng điệu của hệ số Fourier. Cụ thể như sau.

Cho hàm f: \mathbb R\to\mathbb R tuần hoàn chu kỳ 2\pi, khả tích Riemann trên đoạn mỗi đoạn hữu hạn. Khi đó các hệ số Fourier có tính chất

\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0

trong đó a_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx, b_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx, n\in\mathbb N.

Một dạng khác được dùng nhiều:

Cho f: [a, b]\to\mathbb R khả tích Riemann trên [a, b]. Khi đó hệ số Fourier tổng quát có tính chất

\lim\limits_{\lambda\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(\lambda x)dx.

So với dạng trước ta đã mở rộng:

-) đoạn [a, b] so với [-\pi, \pi],

-) biến liên tục \lambda so với biến rời rạc n.

Câu hỏi:

– ta có thể mở rộng sang miền vô hạn cho hàm có tích phân suy rộng hội tụ?

(Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Năm 14, 2015

Tính diện tích xung quanh nón cụt bằng tích phân đường

Cách đây khá lâu, trong phần phản hồi bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2007/11/05/s%E1%BB%B1-nh%E1%BA%A7m-l%E1%BA%ABn-tinh-di%E1%BB%87n-tich-b%E1%BA%B1ng-cong-th%E1%BB%A9c-stokes/

tôi có hỏi về việc dùng Stokes để tính diện tích mặt nón. Sáng nay, 14/05/2015, tôi có trình bày cách sử dụng Stokes để tính diện tích:

– mặt nằm trong mặt phẳng,

– mặt trụ x^2+y^2=R^2, 0\le z\le h.

Đến khi trình bày sang mặt xung quanh nón cụt thì tôi bị vấp. Dưới đây tôi trình bày cách vượt qua chỗ vấp. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Năm 6, 2015

Tích phân trên đơn hình

Ta bắt đầu từ việc tính diện tích các “hình tròn đơn vị” B_p

|x|^p+|y|^p\le 1, trong đó p>0.

Do tính đối xứng nên diện tích của B_p bằng bốn lần diện tích của góc phần tư D_p

x^p+y^p\le 1, x\ge 0, y\ge 0.

Bằng cách đổi biến x=X^{1/p}, y=Y^{1/p} ta có diện tích của D_p được cho bởi

\int\limits_{\Delta_2}\dfrac{X^{1/p-1}Y^{1/p-1}}{p^2}dXdY,

với \Delta_2=\{X+Y\le 1, X\ge 0, Y\ge 0\} là đơn hình 2-chiều. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Tư 10, 2015

Đề thi giữa kỳ PTĐHR lớp K57A1T

DeThiGiuaKyK57A1N1

DeThiGiuaKyK57A1N2

(Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Tư 8, 2015

Đề thi giữa kỳ K57TN

Trang 1 - De GK -2015

(Đọc tiếp…)

Older Posts »

Danh mục

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 31 other followers