Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Ba 3, 2015

Sử dụng tích phân Fourier để giải PTĐHR

Chuỗi Fourier được J. Fourier đưa ra như một công cụ để giải các phương trình truyền nhiệt và truyền sóng. Khi nghiên cứu phương trình truyền nhiệt trên một đoạn hữu hạn bằng phương pháp tách biến ta thu được họ đếm được các hàm riêng (còn gọi là phổ). Từ đó ta lập được công thức nghiệm dạng chuỗi Fourier. Vẫn dùng phương pháp này cho phương trình truyền nhiệt trên toàn đường thẳng ta sẽ thu được một họ “liên tục”, không đếm được các phổ. Khi đó ta lập công thức nghiệm dạng “tổng liên tục” hay “tích phân Fourier”. Trong bài “Từ chuỗi Fourier đến tích phân Fourier”

https://bomongiaitich.wordpress.com/2013/04/10/tu-chuoi-fourier-den-tich-phan-fourier/

tôi đã trình bày quá trình “liên tục” hóa này và đi đến biến đổi tích phân Fourier của hàm “đủ tốt” f:\mathbb R\to\mathbb C

\mathcal Ff(\xi)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{\mathbb R}f(x)e^{-i\xi x}dx.

Hàm đủ tốt ở đây sẽ phụ thuộc vào một số tình huống cụ thể, chẳng hạn để tích phân trên có nghĩa hàm f cần khả tích Lebesgue trên toàn đường thẳng. Trong trường hợp tốt hơn như trong bài “Từ chuỗi Fourier đến tích phân Fourier”, nghĩa là f liên tục, trơn từng khúc và khả tích tuyệt đối thì ta có thể khôi phục f từ biến đổi Fourier của nó qua biến đổi ngược Fourier sau

f(x)=p.v.\int\limits_{\mathbb R}\mathcal Ff(\xi)e^{i\xi x}d\xi=\lim\limits_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R \mathcal Ff(\xi)e^{i\xi x}d\xi.

Để sử dụng biến đổi Fourier này vào việc giải các phương trình đạo hàm riêng ta cần đến một số tính chất của biến đổi Fourier và khi đó ta sẽ đòi hỏi thêm về tính “đủ tốt”. Dưới đây ta đi vào cụ thể một số trường hợp đơn giản. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Hai 19, 2015

Một vài cách chứng minh tính không khả vi của hàm Weierstrass

Trong bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2011/05/29/khai-ni%E1%BB%87m-h%E1%BB%99i-t%E1%BB%A5-d%E1%BB%81u-va-ham-weierstrass-ham-cantor/

tôi có đề cập đến hàm Weierstrass

W(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty a^n \cos(b^n\pi x).

Khi 0<a<1, bằng dấu hiệu Weierstrass, không khó để chứng minh chuỗi hàm trên hội tụ đều và do đó hàm giới hạn W(x) là hàm liên tục. Tuy nhiên khi 0<a<1ab\ge 1, G. H. Hardy chứng minh được rằng hàm W(x) là hàm không khả vi tại bất kỳ điểm nào. Kết quả này nhắc cho ta về việc chuyển phép lấy đạo hàm qua dấu tổng "vô hạn" cần có điều kiện chuỗi đạo hàm hội tụ đều! Một điều nữa kết quả này cũng nhắc ta rằng không phải hàm liên tục thì nó chỉ không khả vi tại vài điểm. Đến đây các bạn có thể đặt câu hỏi: nhỡ Hardy chứng minh chưa đúng? Dưới đây tôi trình bày một số cách tiếp cận khác khẳng định kết quả Hardy đưa ra là đúng. (Đọc tiếp…)

Xét chuỗi số thực

\sum\limits_{n=1}^\infty u_n. \quad \quad(1)

Ta bắt đầu từ điều kiện cần, một dấu hiệu khá đơn giản, dễ kiểm tra như sau:

Nếu chuỗi (1) hội tụ thì \lim\limits_{n\to\infty}u_n=0.

Chú ý rằng nếu \lim\limits_{n\to\infty}u_n=0 thì

\limsup\limits_{n\to\infty}|u_n|=0.

Chú ý này khá hữu ích vì khi thực hành ta thường dùng điều kiện cần theo cách ngược, nghĩa là:

nếu ta tìm được một dãy con \{u_{n_k}\}_{k=1}^\infty của dãy \{u_n\}_{n=1}^\infty sao cho dãy con đó hội tụ đến một số khác 0 thì chuỗi (1) phân kỳ.

Một cách phát biểu khác:

nếu ta tìm được một số dương \epsilon_0 sao cho có vô số số tự nhiên n thỏa mãn

|u_n|>\epsilon_0

thì chuỗi (1) phân kỳ.

Chẳng hạn ta xét chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty (1+(-1)^n).

Cũng cần lưu ý rằng điều kiện cần không phải là đủ qua ví dụ

\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}.

Tuy nhiên nếu quan sát lại chuỗi trên một chút ta nhận thấy dãy các số hạng tổng quát của nó ngoài tiến về 0 còn là dãy đơn điệu giảm. Với quan sát này ta lưu ý đến dấu hiệu sau: (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Một 19, 2015

Trao đổi bài giảng môn Giải tích 2 cho lớp K59A3

Đề cương môn học

Đề cương môn học-Ngành Toan tin-Giai tich 2 (1)

Có gì cần trao đổi về bài giảng cũng như bài tập các bạn có thể viết vào phần “Phản hồi”.

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Một 19, 2015

Trao đổi bài giảng môn PTĐHR lớp K57A1T-K57TN

Hôm nay, 19/01/2015, tôi bắt đầu dạy môn PTĐHR cho lớp K57A1T và K57TN. Giáo trình tôi sử dụng

“Giáo trình PTĐHR” của thầy Nguyễn Thừa Hợp.

Ngoài ra tôi còn sử dụng thêm các giáo trình:

+”An introduction to PDEs” của Y. Pinchover và J. Rubinstein;

+”Methods of Applỉed Mathematics III: PDEs” của Bernard Deconinck.

Sách của thầy Hợp các bạn có thể mượn thư viện.

Cuốn của Pinchover và Rubinstein các bạn có thể tìm trong bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2014/02/10/trao-doi-bai-giang-mon-ptdhr-lop-k56a1t/

Giáo trình của giáo sư Bernard các bạn có tìm trong trang

http://depts.washington.edu/bdecon/bernard/

Có gì cần trao đổi các bạn có thể viết vào phần “Phản hồi”.

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Một 12, 2015

Đề thi – Đáp án môn PTĐHR lớp K57A1C

DeThiPTDHR_so1_2014

Tôi đã chấm xong bài thi môn PTĐHR cho lớp K57A1C.

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Một 6, 2015

Đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 – lớp K59A2+A3

DeCuoiKyGT1_2014

Chúng tôi đã chấm xong bài thi môn Giải tích 1 cho lớp K59A2+A3.

Trong giải tích 1 ta học các kết quả mang tính định tính khá thú vị sau:

+ Định lý giá trị trung gian (Intermediate value theorem) cho hàm liên tục – Định lý Bolzano-Cauchy, đạo hàm của một hàm khả vi – Định lý Darboux,

+ Định lý giá trị trung bình (Mean value theorem) cho hàm khả vi – Định lý Lagrange, Định lý Cauchy,

+ Định lý giá trị trung bình (Mean value theorem) cho tích phân.

Dưới đây ta lướt qua từng kết quả này. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Mười Một 23, 2014

Khai triển Taylor của hàm hợp

Trong bài tập giải tích có một số bài yêu cầu khai triển Taylor của các hàm

(\cos x)^{\sin x},

e^{2x-x^2} hay \ln(\cos x).

Những hàm này đều có dạng hàm hợp f(g(x)) với f, g đều là các hàm cơ bản, có khai triển Taylor tại x=0. Ngoài ra, g(0)=0. Cụ thể:

– với ví dụ (\cos x)^{\sin x}

f(x)=e^x, g(x)=\sin(x)\ln(\cos x) ;

– với ví dụ \ln(\cos x)

f(x)=\ln(1+x), g(x)=\cos x-1. (Đọc tiếp…)

Đăng bởi: datuan5pdes | Tháng Mười Một 6, 2014

Đề thi giữa kỳ môn PTĐHR K57A1C

DeThiGiuaKyK57A1CN1

DeThiGiuaKyK57A1CN2

Tôi đã chấm xong bài thi giữa kỳ môn PTĐHR cho lớp K57A1C.

Đề 1: điểm cao nhất 7,5.

Đề 2: điểm cao nhất 9,0.

Older Posts »

Danh mục

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 25 other followers