Hàm trơn không giải tích

Standard

Xét hàm f: (a, b)\to\mathbb R, a< b. Hàm f được gọi là trơn, còn gọi khả vi vô hạn, nếu nó có đạo hàm mọi cấp trên (a, b). Hàm f được gọi là hàm giải tích nếu nó trơn và chuỗi Taylor tại mọi điểm trên (a, b) của nó đều hội tụ đến nó trong một lân cận của điểm đang xét.

Như ta đã biết hàm

\rho(x)=\begin{cases}e^{-x^{-2}} \; khi \; x\not=0, \\ 0 \; otherwise,\end{cases}

là hàm trơn và không giải tích tại x=0.

Từ đây, không khó khăn lắm, ta có thể xây dựng được hàm trơn và không giải tích tại tối đa đếm được điểm. Liệu có hàm trơn nào mà nó không giải tích tại mọi nơi không?

Read the rest of this entry

Đổi biến – Tích phân dẫn đến phương trình vi phân

Standard

Để chứng minh tính bất biến của phương trình Laplace qua các phép biến đổi trực giao ta tính toán trực tiếp nhờ công thức đạo hàm hàm hợp và một chút đại số tuyến tính, đặc biệt viết toán tử Laplace dưới dạng

\Delta u= Tr(\nabla^2 u),

như trình bày trong phản hồi

https://bomongiaitich.wordpress.com/2016/01/18/trao-doi-bai-giang-mon-ptdhr-lop-k58a1t/#comment-4215

Như vậy, có thể nói hàm điều hòa bất biến qua phép đổi biến trực giao. Ta còn có thể chỉ ra kết quả mạnh hơn, khi ta xét trong mặt phẳng:

hàm điều hòa bất biến qua ánh xạ bảo giác.

Để làm điều này ta cũng có thể dùng cách tính toán như trong phản hồi. Lần từng bước ta thấy do ánh xạ bảo giác nói chung là phép đổi biến không tuyến tính nên khi tính toán \nabla^2 u ta sẽ thấy xuất hiện các đạo hàm cấp 1 của v. Lúc này cần đến tính bảo giác để chỉ ra hệ số của các đạo hàm cấp 1 này bằng 0. Dưới đây ta sẽ dùng tích phân để chỉ ra điều này!

Read the rest of this entry