Đổi biến – Tích phân dẫn đến phương trình vi phân

Standard

Để chứng minh tính bất biến của phương trình Laplace qua các phép biến đổi trực giao ta tính toán trực tiếp nhờ công thức đạo hàm hàm hợp và một chút đại số tuyến tính, đặc biệt viết toán tử Laplace dưới dạng

\Delta u= Tr(\nabla^2 u),

như trình bày trong phản hồi

https://bomongiaitich.wordpress.com/2016/01/18/trao-doi-bai-giang-mon-ptdhr-lop-k58a1t/#comment-4215

Như vậy, có thể nói hàm điều hòa bất biến qua phép đổi biến trực giao. Ta còn có thể chỉ ra kết quả mạnh hơn, khi ta xét trong mặt phẳng:

hàm điều hòa bất biến qua ánh xạ bảo giác.

Để làm điều này ta cũng có thể dùng cách tính toán như trong phản hồi. Lần từng bước ta thấy do ánh xạ bảo giác nói chung là phép đổi biến không tuyến tính nên khi tính toán \nabla^2 u ta sẽ thấy xuất hiện các đạo hàm cấp 1 của v. Lúc này cần đến tính bảo giác để chỉ ra hệ số của các đạo hàm cấp 1 này bằng 0. Dưới đây ta sẽ dùng tích phân để chỉ ra điều này!

Read the rest of this entry

Tính chất khả vi được suy ra từ tính khả tích

Standard

Khi học về dãy hàm hay tích phân phụ thuộc tham số ta quan tâm đến:

– tính liên tục,

– tính khả tích,

– tích khả vi

của hàm giới hạn và tích phân phụ thuộc tham số. Dưới đây ta tập trung vào việc quan sát tính khả tích và khả vi, đặc biệt việc sử dụng tích khả tích để chứng minh tính khả vi. Read the rest of this entry

Thử lại nghiệm tách biến

Standard

Phương pháp tách biến giúp ta tìm nghiệm dạng chuỗi của một số bài toán:

– bài toán biên cho phương trình Laplace, hay phương trình Poisson,

– bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyền sóng, truyền nhiệt trong một đoạn hữu hạn.

Câu hỏi: chuỗi nghiệm tìm được có phải nghiệm cổ điển hay không? Nghĩa là

– Nó có thỏa mãn phương trình bên trong miền xác định không?

– Nó có thỏa mãn các điều kiện biên và điều kiện ban đầu không?

Dưới đây ta sẽ trình bày lần lượt các vấn đề này: Read the rest of this entry

Công thức Bochner

Standard

Trong bài giảng PTĐHR cho lớp cao học 2015-2017 tôi có trình bày công thức sau

\Delta|\nabla u|^2=2|\nabla^2 u|^2+ 2\nabla u\cdot \nabla(\Delta u)

với u\in C^3(\Omega), \Omega là một miền trong \mathbb R^n.

Ở đây:

+) \nabla u=(\partial_1 u, \dots, \partial_n u), \partial_iu=\dfrac{\partial u}{\partial x_i} , là vec-tơ gradient của hàm u;

+) \nabla^2u=(\partial^2_{ij}u)_{1\le i, j\le n}, \partial^2_{ij}u=\dfrac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}, là ma trận Hessian của hàm u;

+) \Delta u= \nabla \cdot \nabla u=\sum\limits_{j=1}^n \partial^2_j=Tr(\nabla^2 u), \partial^2_j=\partial^2_{jj}.

Công thức trên chính là công thức Bochner trong không gian Euclide. Một cách tổng quát, trên đa tạp Riemann (M, g) với độ cong Ricci Ric_M và hàm u\in C^\infty(M) ta có công thức Bochner Read the rest of this entry