Mặt và đường cong bậc hai

Standard

Đường cong bậc hai dạng tổng quát trên mặt phẳng có dạng

ax^2+ by^2+2cxy +2dx+2ey+f=0

trong đó a, b, c, d, e, f là các hằng số thực.

Bằng phép biến đổi tuyến tính (nói một cách dễ hiểu, ta ghép vào thành các số hạng có dạng bình phương) ta có thể chuyển thành một trong các dạng sau:

X^2 + Y^2= R^2, (đường tròn- ellip)

X^2- Y^2=R^2 (hyperbol)

X^2-2Y=0. (parabol)

Với dạng ellip ta chọn cách tham số hóa theo hệ tọa độ cực

X= R\cos{(\varphi)}, Y=R\sin{(\varphi)}, 0\le \varphi\le 2\pi.

Với dạng hyperbol ta chọn cách tham số hóa

X= R\cosh{(t)}, Y=R\sinh{(t)}, 0\le t.

Trường hợp parabol đơn giản Y=\dfrac{1}{2}X^2.

Mặt cong bậc hai trong không gian dạng tổng quát

a_1x^2+a_2y^2+a_3z^2+2b_1xy +2b_2yz+2b_3zx+

+2c_1x+2c_2y+2c_3z+d=0,

trong đó a_i, b_i, c_i, i=1, 2, 3,d là các số thực.

Bằng phép biến đổi tuyến tính ta sẽ chuyển về một trong các dạng sau

X^2 +Y^2+ Z^2=R^2, (mặt cầu- ellipsoid)

X^2+Y^2=Z^2, (mặt nón)

X^2+Y^2=Z^2+a, a\not=0, (hyperboloid)

X^2+Y^2= R^2, (mặt trụ)

X^2+Y^2+2Z=0, (paraboloid)

X^2 +2Y=0.

Với trường hợp mặt ellipsoid chọn cách tham số hóa cầu

X=R\cos{(\varphi)}\sin{(\theta)}, Y=R\sin{(\varphi)}\sin{(\theta)}, Z=R\cos{\theta},

0\le \varphi\le 2\pi, 0\le \theta\le \pi.

Với các trường hợp còn lại, trừ trường hợp cuối cùng, ta dùng cách tham số trụ

X=R\cos{(\varphi)}, Y=R\sin{(\varphi)}, Z=Z, 0\le \varphi\le 2\pi.

Mặt nón ta có R=|Z|.

Mặt hyperbol ta có R^2-Z^2=a, a\not=0.

Nếu a=r^2>0 ta tham số R=r\cosh{(t)}, Z=r\sinh{(t)}, 0\le t.

Nếu a=-r^2<0 ta tham số ngược lại.

23 responses »

  1. thầy cho em hỏi cách chuyển đường bậc 2 tổng quát về dạng chính tắc.( thầy chỉ nói:”Bằng phép biến đổi tuyến tính (nói một cách dễ hiểu, ta ghép vào thành các số hạng có dạng bình phương) ta có thể chuyển thành một trong các dạng sau:
    đường tròn- ellip
    hyperbol
    parabol ” )
    mong thầy chỉ cụ thể thật toán giúp em
    em xin chân thành cám ơn

  2. Phương pháp ghép vào thành các số hạng có dạng bình phương còn được gọi là phương pháp Lagrange.
    Để đi vào cụ thể ta xét vài ví dụ sau.

  3. Ta chuyển về dạng chính tắc dạng toàn phương:
    x^2 + 2y^2+3z^2+ 2xy+4yz+6zx
    như sau:
    +)B1: dồn các số hạng chứa x:
    (x^2+2xy+6zx)+ 2y^2+3z^2+4yz;
    +)B2: thêm bớt số hạng dạng bình phương
    (x+y+3z)^2-(y+3z)^2+2y^2+3z^2+4yz
    ta được một số hạng có dạng bình phương, phần còn lại chỉ chứa y, z:
    y^2-6z^2-2yz;
    +)B3: lặp lại B1 cho biến y
    (y^2-2yz)-6z^2;
    +)B4: lặp lại B2:
    (y-z)^2-7z^2.

    Như vậy ta sẽ thu được
    (x+y+3z)^2+(y-z)^2-7z^2;
    nói cách khác nếu ta dùng phép đổi biến:
    X=x+y+3z, Y=y-z, Z=\sqrt{7}z ta có
    X^2+Y^2-Z^2=0.

  4. Một ví dụ khác:
    2xy+ 4yz+ 8zx.
    +) B1: ta đổi biến:
    x=u+v, y=u-v, z=t
    dạng toàn phương ban đầu trở thành
    2u^2-2v^2+12tu+4tv.
    Bằng phương pháp như ví dụ trước, sau khi ghép ta được:
    2(u+3t)^2-2(v-t)^2-16t^2.
    Nếu đặt
    X=\sqrt{2}(u+3t), Y=\sqrt{2}(v-t), Z=4t ta có:
    X^2-Y^2-Z^2=0.

  5. Trong Đại số tuyến tính, việc nghiên cứu dạng toàn phương
    \sum\limits_{i,j=1}^n a_{i j}x_i x_j (trong đó a_{i j}\in\mathbb R, a_{i j}=a_{j i})
    được chuyển về ma trận đối xứng
    A=(a_{i j})_{1\le i, j \le n}.
    Như đã biết, ma trận thực A là ma trận đối xứng khi và chỉ khi tồn tại ma trân trực giao C (mà mỗi cột là véc-tơ riêng của ma trận A) và ma trận đường chéo D (mà mỗi số trên đường chéo là giá trị riêng của ma trận A) sao cho:
    D=C^t A C.
    Khi đó bằng phép đổi biến
    (x_1, x_2, \dots, x_n)^t=C (X_1, X_2, \dots, X_n)^t
    dạng toàn phương ban đầu chuyển thành:
    (X_1, X_2, \dots, X_n)D(X_1, X_2, \dots, X_n)^t.

  6. tôi thấy các ví dụ đọc rất khó hiểu có thể cho nhiều ví dụ hơn không?tôi đang học tại trường CĐSP cao bằng học về phần mặt bậc hai này tôi cảm thấy rất trừu tượng khó hiểu và rất lan man.giải bài tập dường như không thấy liên quan đến những phần đã học mấy.có thể hướng dẫn phương pháp học nào giúp tôi học hiểu quả hơn không?tôi xin chân thành cảm ơn!

  7. Thầy cho em hỏi:bây giờ minh tính tích phân bội,minh có phai vẽ đô thị ko ạ?thầy chỉ em cách vẽ đồ thị măt bậc hai?em ko hiểu phần đó lắm.em cảm ơn thầy!

  8. thầy cho em hỏi:cach viet pt mặt trụ khi biêt trục là một đường thẳng( có phương trình tổng quát )và bán kinh R..em cảm ơn thầy!

    • Để cụ thể, ta cho đường thẳng có phương trình:
      x_1+x_2-2=0,
      x_2+x_3-2=0.
      Ta có các véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng:
      u_1=(1, 1, 0)^t, u_2=(0, 1, 1)^t
      và một điểm trên đường thẳng:
      P=(1, 1, 1)^t.

      Khi đó véc-tơ chỉ phương của đường thẳng:
      u_3=[u_1, u_2]=det\begin{bmatrix} e_1 & e_2 & e_3\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 &1 \end{bmatrix}=(1, -1, 1)^t.

      Chuẩn hóa u_3 được
      v_3=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1, -1, 1)^t.

      Dưới đây tôi sẽ trình bày một số cách để viết phương trình mặt trụ nhận đường thẳng trên làm trục và có bán kính R>0.

      Cách 1: Điểm Q=(x, y, z)^t là một điểm nằm trên mặt trụ.
      Điểm Q thuộc mặt trụ khi và chỉ có phân tích sau:
      \vec{PQ}=\alpha v_3 +w
      với \alpha\in\mathbb R, véc-tơ w có độ dài R và vuông góc với v_3, nghĩa là
      \alpha=\langle \vec{PQ}, v_3\rangle,
      ||\vec{PQ}||^2-\langle \vec{PQ}, v_3\rangle^2=R^2.
      Như vậy phương trình mặt trụ:

      (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2-
      -\dfrac{1}{3}\big((x-1)-(y-1)+(z-1)\big)^2=R^2.

      Cách 2: Điểm Q thuộc mặt trụ khi và chỉ khi nó cách đường thẳng một khoẳng bằng R.
      Công thức tính khoảng cách từ điểm Q đến đường thẳng
      có véc-tơ chỉ phương v_3 và đi qua điểm P

      d=\dfrac{||[\vec{PQ}, v_3]||}{||v_3||}.
      Tính toán ta có

      ||v_3||=1,
      [\vec{PQ}, v_3]=\dfrac{1}{\sqrt{3}}det\begin{bmatrix} e_1 & e_2 & e_3\\ x-1 & y-1 & z-1\\ 1 & -1 &1 \end{bmatrix}=
      =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\big((y-1)+(z-1), (z-1)-(x-1), -(x-1)-(y-1)\big)^t.

      Do đó phương trình mặt trụ
      \big((y-1)+(z-1)\big)^2+\big((z-1)-(x-1)\big)^2+\big((x-1)+(y-1)\big)^2=
      =3R^2.

      Về bản chất hai cách trên giống nhau.

      Cách 3: Ta trực chuẩn hóa các véc-tơ u_1, u_2, u_3 được hệ véc-tơ
      v_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0),
      v_2=\dfrac{1}{c}(u_1+au_2)=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(-1, 1, 2),
      v_3=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1, -1, 1).

      Xét hệ tọa độ mới X, Y, Z mà ở đó các véc-tơ v_1, v_2, v_3 có tọa độ
      (1, 0, 0)^t, (0, 1, 0)^t, (0, 0, 1)^t.

      Khi đó trong hệ tọa độ này điểm P=(1, 1, 1)^t có tọa độ mới (X_0, Y_0, Z_0) thỏa mãn
      (1, 1, 1)^t=X_0 v_1 + Y_0 v_2 +Z_0v_3=U(X_0, Y_0, Z_0)^t

      với U là ma trận trực giao

      U=(v_1, v_2, v_3).

      Trong hệ tọa độ mới điểm Q=(x, y, z)^t có hệ tọa độ mới
      (X, Y, Z)^t=U^t(x, y, z)^t.

      Điểm Q nằm trên mặt trụ khi và chỉ khi

      (X-X_0)^2+(Y-Y_0)^2=R^2 (do phép đổi hệ tọa độ trực giao bảo toàn khoảng cách)

      hay phương trình mặt trụ

      3\big((x-1)+(y-1)\big)^2+\big(-(x-1)+(y-1)+(z-1)\big)^2=6R^2.

  9. thưa thầy e có đề sau : nhận dạng đường bậc 2 sau bằng pp sử dụng phép biến hình.
    X2 +2xy+y2 +8x+y=0
    thầy cho e hỏi phép biến hình là sử dụng pp nào??

    • Tôi không hiểu đề bài:

      – đường kính liên hợp với phương v là gì?

      – v liên hợp với phương liên hợp của nó là gì?

      – phương liên hợp là gì?

      Nếu em làm rõ những thứ đó thì tôi mới giúp em được.

  10. THẦY ƠI,thầy giải giúp em bài này được không ạ: Viết phương trình mặt elipxoit đối với hệ trục Descartes vuông góc Oxyz , biết nó có hai đỉnh là A(0,0,6),B(0,0,-2) và nó cắt mặt phẳng Oxy theo một đường tròn có bán kính là 3

  11. Thầy hướng đẫn giúp em cách làm bài này với ạ:Trong hệ trục toạ độ Descartes vuông góc, cho đường thẳng (d) có phương trình :z=kx,y=0 k>0.
    Viết phương trình của mặt nón tròn xoay được tạo thành khi quay đường thẳng d quanh trục Oz.

  12. Thầy ơi làm sao có thể chứng minh được:a)Cho hình bình hành có các đỉnh nằm trên một elip.Chứng minh rằng tâm của hình bình hành trùng với tâm của elip còn các cạnh của hình bình hành thì song song với hai đường kính liên hợp của elip.
    b)Một bình hành ngoại tiếp đường bậc hai :2x^2-4xy+3y^2-4x+6y-3=0.Một đỉnh của nó là A(3;4).TÌm các đỉnh còn lại của hình bình hành

    • Câu a hình như không đúng?

      conic

      Đường kính liên hợp là gì?

      Câu b, từ A kẻ các tiếp tuyến với đường bậc hai, lấy đối xứng qua tâm của đường bậc hai. Tóm lại em xem hình

      conic

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s