Quỹ đạo của trường véc-tơ xoáy vào gốc có độ dài vô hạn

Standard

Xét trường véc-tơ trong mặt phẳng (-y-r^2x, x-r^2y), r^2=x^2+y^2

t35

 

và đường cong xuất phát từ x(0)=1, y(0)=0 nhận trường véc-tơ là trường véc-tơ tiếp xúc, nghĩa là

x'(t)=-y(t)-r^2(t)x(t), y'(t)=x(t)-r^2(t)y(t).

Độ dài của đường cong

\int_0^\infty \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt.

Bằng tính toán

\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}=r(t)\sqrt{1+r^4(t)}.

Lại có r(t)r'(t)= x(t)x'(t)+y(t)y'(t)=-r^4(t), r(0)=1 nên r(t)=(2(t+\frac{1}{2}))^{-1/2}.

Khi đó \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}> (2(t+\frac{1}{2}))^{-1/2}.

Mà tích phân suy rộng \int_1^\infty t^{-1/2}dt=+\infty

nên độ dài của đường cong là vô hạn!

Trường véc-tơ (-y +(1-x^2-y^2)x, x+(1-x^2-y^2)y)

 

 

xoáy vào đường tròn đơn vị S(0, 1)=\{(x, y)\in\mathbb R^2|\; x^2+y^2=1\} có quỹ đạo xuất phát từ điểm x(0)=\frac{1}{2}, y(0)=0 tiệm cận từ phía trong với đường tròn S(0, 1), không thoát ra ngoài đường tròn S(0, 1), có độ dài vô hạn! Quỹ đạo xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn S(0, 1) xoáy vào đường tròn S(0, 1)! Ví dụ này được Đinh Sĩ Tiệp giới thiệu!

Ai quan tâm đến trường véc-tơ phức có thể xem trong trang web của Ninh Văn Thu

http://thunv.wordpress.com/2008/05/30/115/

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s