Công thức giá trị trung bình (Hàm điều hòa)

Standard

Thầy Ninh Văn Thu có ra một bài tập:

Tính I=\iiint\limits_{x^2+y^2+z^2\le R^2}\dfrac{dx dy dz}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}}

với a^2+b^2+c^2>R^2 ((a, b, c) nằm ngoài hình cầu x^2+y^2+z^2\le R^2).

Tính trực tiếp là công việc khá khó khăn!!!

Nhưng nếu ta để ý

\Delta f(x, y, z)=0, x^2+y^2+z^2\le R^2

với \Delta= \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} +\dfrac{\partial^2}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial z^2},

f(x, y, z)=\dfrac{1}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}}

ta có thể sử dụng Công thức giá trị trung bình (Hàm điều hòa)

\iiint\limits_{x^2+y^2+z^2\le R^2}f(x, y, z)dxdydz=f(0, 0, 0)\iiint\limits_{x^2+y^2+z^2\le R^2}1dxdydz

nói cách khác, tích phân cần tính có kết quả:

I=\dfrac{4\pi R^3}{3\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

Vậy Công thức giá trị trung bình được thiết lập như nào?

Dùng Fubini chuyển tích phân trên hình cầu thành tích phân theo bán kính của tích phân trên mặt cầu. Cụ thể

\iiint\limits_{x^2+y^2+z^2\le R^2}f(x, y, z)dxdydz=\int_0^R dr \iint_{S_r}f(x, y, z)dS_r,

với S_r=\{x^2+y^2+z^2=r^2\} là mặt cầu bán kính r, tâm là gốc tọa độ.

Bằng cách đổi biến x= r\xi, y=r\eta, z=r\zeta,

\phi(r)=\dfrac{1}{|S_r|}\iint_{S_r}f(x, y, z)dS_r=\dfrac{1}{|S_1|}\iint_{S_1}f(r\xi, r\eta, r\zeta)dS_1,

|S_r|=\iint_{S_r}1dS_r là diện tích mặt cầu S_r.

Dùng quy tắc đạo hàm hàm hợp:

\phi'(r)=\iint_{S_1}\big(\xi\dfrac{\partial f}{\partial x}(r\xi, r\eta, r\zeta)+\eta\dfrac{\partial f}{\partial y}(r\xi, r\eta, r\zeta)+\zeta\dfrac{\partial f}{\partial z}(r\xi, r\eta, r\zeta)\big)dS_1

=\iint_{S^+_r} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y, z)dydz+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x, y, z)dzdx+\dfrac{\partial f}{\partial z}(x, y, z)dxdy,

với S^+_r được định hướng dương theo phía ngoài mặt cầu.

Khi đó, áp dụng Công thức Ostrogradski-Gauss có

\iint_{S^+_r} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y, z)dydz+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x, y, z)dzdx+\dfrac{\partial f}{\partial z}(x, y, z)dxdy=

=\iint_{x^2+y^2+z^2\le r^2} \Delta f(x, y, z)dxdydz

\Delta f(x, y, z)=0 nên \phi'(r)=0.

Lại có từ Công thức trung bình tích phân

\lim_{r\to 0_+}\phi(r)=\lim_{r\to 0_+}\dfrac{1}{|S_r|}\iint_{S_r}f(x, y, z)dS_r=f(0, 0, 0).

Vậy

\iint_{S_r}f(x, y, z)dS_r=f(0, 0, 0)\iint_{S_r}1dS_r

nên

I=\int_0^R dr f(0, 0, 0)\iint_{S_r}1dS_r=f(0, 0, 0)\iiint\limits_{x^2+y^2+z^2\le R^2}1dxdydz.

3 responses »

  1. Pingback: Thế vị trọng trường « Giải tích

  2. Tôi đã cùng trao đổi với thầy cô trong Bộ môn Giải tích thì thấy ta vẫn có thể tính I theo cách thông thường với chú ý sau:
    Ta dùng phép quay để điểm (a, b, c) trong hệ tọa độ mới nằm trên một trục của hệ tọa độ, chẳng hạn (0, 0, d) với
    d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.
    Khi đó
    I=\iiint\limits_{x^2+y^2+z^2\le R^2} \dfrac{dxdydz}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}.
    Ta chuyển qua hệ tọa độ trụ
    x=r\cos{\varphi}, y=r\sin{\varphi}, z=z
    thì
    I=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_{-R}^R dz\int\limits_0^{\sqrt{R^2-z^2}}\dfrac{rdr}{\sqrt{r^2+(z-d)^2}}.
    Tính tích phân trên với lưu ý d>R>z.

  3. Pingback: Nguyên lý cực đại « Giải tích

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s