Bài tập chữa bị sai

Standard

datuan1

datuan2

datuan3

Trong tuần 15 của kỳ I năm học 2008-2009, tôi có chữa bài tập sau cho các lớp K52A1T, K52A1C, K52A3:

Tính tích phân \int_S zdS

với mặt S là một phần hình trụ x^2+z^2=2az, a>0, bị giới hạn trong nón x^2+y^2=z^2 (được mô tả qua ba hình trên).

Do tính đối xứng của mặt S qua mặt phẳng x=0 và tính chẵn theo biến x của hàm dưới dấu tích phân z nên ta chỉ cần tính tích phân \int_{S_1}zdS

với S_1 là mặt cho bởi x=\sqrt{2az-z^2}, với (y, z) chạy trong miền D.

Sự sai lầm xảy ra ở việc xác định miền D. Trong bài chữa cho các lớp tôi đã nghĩ miền D được xác định như sau:

D=\{0\le z\le 2a, |y|\le z\}.

Điều này sai là do tôi quên mất một việc: xác định giao tuyến của hai mặt x^2+y^2=z^2x^2+z^2=2az là đường cong:

y^2=2z^2-2az, x^2=2az-z^2.

Như vậy a\le z\le 2a|y|\le \sqrt{2z^2-2az}!!!

Từ hình vẽ ta có thể nhận ra lỗi xác định miền vì mặt S_1 không đi qua gốc!!!

Sau khi tính dS=\dfrac{a}{\sqrt{2az-z^2}}dydz công việc tính tích phân trở thành

I=\int_S zdS=2 \int_{S_1} zdS= 2\int_a^{2a}zdz\int\limits_{\sqrt{2z^2-2az}}^{-\sqrt{2z^2-2az}}\dfrac{a}{\sqrt{2az-z^2}}dy.

Tính như sau:

I=4a\int_a^{2a}\dfrac{z\sqrt{2z^2-2az}}{\sqrt{2az-z^2}}dz=4\sqrt{2}a\int_a^{2a}\dfrac{z\sqrt{z-a}}{\sqrt{2a-z}}dz

đặt u=\sqrt{\dfrac{z-a}{2a-z}}z=a: u=0; z=2a: u=+\infty,

z=a\big(2-\dfrac{1}{u^2+1}\big), dz=\dfrac{2au}{(u^2+1)^2} du

nên

I= 8\sqrt{2}a^3\int_0^{+\infty}\Big(\dfrac{2}{u^2+1}-\dfrac{3}{(u^2+1)^2}+\dfrac{1}{(u^2+1)^3}\Big)du

mà với J_n=\int_0^\infty \dfrac{1}{(u^2+1)^n}duJ_{n+1}=\dfrac{2n-1}{2n}J_n, J_1=\dfrac{\pi}{2}

do đó

I=8\sqrt{2}a^3\big(2J_1-3J_2+J_3\big)=\dfrac{7\sqrt{2}a^3\pi}{2}.

2 responses »

  1. Đây là bài 1227 trong sách Bài tập Giải tích, tập II phần 2, của Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn.
    Trong đó, bài này được giải bằng cách khác!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s