Sự phân kỳ của dãy sin, cos

Standard

Như đã biết dãy \{\sin n\}_{n=1}^\infty hay \{\sin(n!)\}_{n=1}^\infty phân kỳ.

Tuy nhiên cả hai dãy \{\sin(n2\pi)\}_{n=1}^\infty và \{\sin(n!2\pi)\}_{n=1}^\infty đều hội tụ.

Câu hỏi đặt ra với một dãy \{\lambda_n\}_{n=1}^\infty tăng ra vô cùng liệu có tồn tại x để dãy \{\sin(\lambda_n x)\}_{n=1}^\infty phân kỳ?

Câu trả lời là khẳng định! Nó dựa trên sự kiện sau:

hai dãy \{\Big\{\dfrac{\lambda_n}{2\pi}\Big\}\}_{n=1}^\infty\{\{\lambda_n\}\}_{n=1}^\infty không cùng hội tụ, trong đó \{\lambda\} được hiểu là phần lẻ của \lambda.

Từ kết quả trên dẫn đến kết quả sau.

Cho dãy số thực \{\alpha_n\}_{n=1}^\infty. Nếu dãy \{e^{i\alpha_n x}\}_{n=1}^\infty hội tụ điểm trên \mathbb R thì dãy \{\alpha_n\}_{n=1}^\infty hội tụ!

9 responses »

  1. Cách tiếp cận trên có vấn đề vì ta có thể chọn dãy \{\lambda_n\} sao cho hai dãy \{\{\lambda_n\}\}\{\{\dfrac{\lambda_n}{2\pi}\}\} cùng hội tụ.
    Xuất phát từ việc số 2\pi là không hữu tỷ nên ta có thể chọn được các số tự nhiên p_n, q_n sao cho
    \lim\limits_{n\to\infty}q_n=\lim\limits_{n\to\infty}p_n=+\infty

    \Big|\dfrac{p_n}{q_n}-2\pi\Big|<\dfrac{1}{q_n^2}.
    Khi đó ta chọn \lambda_n=p_n
    \lim\limits_{n\to\infty}\{p_n\}=0

    \lim\limits_{n\to\infty}\{\frac{p_n}{2\pi}\}=0 hoặc \lim\limits_{n\to\infty}\{\frac{p_n}{2\pi}\}=1.

  2. Chứng minh kết quả trên khá đơn giản nhờ việc dùng Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue như cách trình bày trong cuốn
    “Principles of Mathematical Analysis”
    của Walter Rudin.

    Một dãy số thực \{\lambda_n\} tăng ra vô cùng để với mọi số thực x dãy
    \{\sin{(\lambda_n x)}\} hội tụ
    ta gọi là dãy có tính chất sin-hội tụ.
    Giả sử có một dãy số thực \{\lambda_n\} thỏa mãn tính chất sin-hội tụ.
    Lấy x=2\pi có thể thấy ngay
    dãy \{\lambda_n -[\lambda_n]\} hội tụ.
    Từ đó có một dãy con của \{[\lambda_n]\} cũng thỏa mãn tính chất sin-hội tụ.
    Như vậy không mất tính tổng quát ta giả sử thêm \lambda_n là các số tự nhiên.

    Khi đó ta có với mọi x\in\mathbb R
    \lim\limits_{n\to\infty}(\sin{(\lambda_{n+1}x)}-\sin{(\lambda_{n}x)})^2=0.
    Dãy hàm (\sin{(\lambda_{n+1}x)}-\sin{(\lambda_{n}x)})^2 bị chặn bởi hàm hằng 4 nên theo Định lý Lebesgue về sự hội tụ bị chặn có
    \int\limits_0^{2\pi}(\sin{(\lambda_{n+1}x)}-\sin{(\lambda_{n}x)})^2dx=0.
    Mặt khác từ việc tính trực tiếp với chú ý \lambda_{n}\in\mathbb N, \lambda_{n}<\lambda_{n+1}
    \int\limits_0^{2\pi}(\sin{(\lambda_{n+1}x)}-\sin{(\lambda_{n}x)})^2dx=2\pi
    ta có điều mâu thuẫn.
    Vậy không có dãy số thực nào có tính chất sin-hội tụ!

  3. Từ kết quả trên dẫn đến dãy \{\sin(nx)\}_{n=1}^\infty không có một dãy con nào là dãy hàm hội tụ điểm trên \mathbb R. Một cách tương tự ta cũng có điều đó với dãy \{\cos(nx)\}_{n=1}^\infty.

    Có thể nói đây là điểm khác biệt với dãy số, vì một dãy số bị chặn luôn tìm được dãy con hội tụ. Điểm khác biệt này chính là sự khác biệt giữa không gian hữu hạn chiều và vô hạn chiều!

    Một cách nhìn khác trong bài

    https://datuan5pdes.wordpress.com/2010/02/03/s%E1%BB%B1-h%E1%BB%99i-t%E1%BB%A5-c%E1%BB%A7a-cac-day-cosnx-cosnx2/

    lại cho thấy dãy \{\cos(nx)\}_{n=1}^\infty vẫn có thể hội tụ?

    • Cảm ơn em đã hỏi! Dãy \{\sin(n!)\} mà tôi khẳng định là phân kỳ ở trên tôi cũng chưa chứng minh được và chưa thấy ở đâu có chứng minh cho nó! Tôi nghĩ đây là một câu hỏi khó! Điểm xuất phát của việc này là ta quan tâm đến sự hội tụ điểm của dãy hàm \{\sin(n! \pi x)\}. Không khó để thấy dãy hàm này hội tụ điểm đến 0 tại những điểm hữu tỷ! Tại những điểm vô tỷ điều gì xảy ra? Bằng cách viết
      e=1+\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}
      ta sẽ chứng minh được dãy hàm trên cũng hội tụ về 0 tại x=e.
      Trong trường hợp tôi viết x=1/\pi.
      Các câu hỏi liên quan khác:
      +) tập những điểm vô tỷ mà dãy hàm hội tụ về 0 là tập như nào?
      +) tập những điểm vô tỷ mà dãy hàm không hội tụ là tập như nào?

      Em có thể tham khảo thêm
      http://mathoverflow.net/questions/34369/on-the-behaviour-of-sinn-pi-x-when-x-is-irrational

      Có thể thấy:

      +) tập các điểm vô tỷ mà dãy hàm hội tụ về 0 là trù mật trong \mathbb R, có lực lượng continuum,

      +) tập các điểm vô tỷ mà dãy hàm hội tụ có độ đo 0.

  4. Với mỗi số \alpha\in[0, 1) chọn dãy số tự nhiên \{x_n\} sao cho
    \lim\limits_{n\to\infty} x_n/n=\alpha,
    chẳng hạn x_n=[\alpha n].

    Khi đó chuỗi
    \sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{2x_n}{n!}
    hội tụ đến một số ta đặt là x(\alpha).

    Ta có dãy \{\sin(n!\pi x(\alpha))\} sẽ hội tụ đến \sin(2\alpha \pi).

    Còn nếu chọn dãy số tự nhiên
    x_{2k}=2k-2, x_{2k+1}=2[k/2]
    thì chuỗi \sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{x_n}{n!}
    hội tụ đến một số ta đặt là x
    mà dãy \{\sin(n!\pi x)\} không hội tụ!

    Với x=1/\pi ta có thể phân tích thành chuỗi
    \sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{x_n}{n!}
    trong đó x_n\in\{0, 1, 2, \dots, n-1\}.

    Để biết dãy \{\sin(n!)\} có hội tụ hay không ta cần biết quy luật của dãy \{x_n\}. Đây chỉ là một cách tiếp cận. Có thể có cách tiếp cận khác?

    • Em thấy việc quan sát này khó mà thực hiện được. Hơn nữa, phân tích như trên liệu có tồn tại! Em thử theo hướng khai triển chuỗi Taylor của hàm $e^x$ với $x=\ln \pi^{-1}$, nhưng vẫn bế tắc.

      • Với mỗi số thực x\in(0, 1) ta đều tìm được số tự nhiên n để
        \dfrac{1}{(n+1)!}\le x<\dfrac{1}{n!}.
        Khi đó ta đặt
        x_1=\dots=x_n=0,
        và ta cũng tìm được số tự nhiên 0\le k<n+1 để
        \dfrac{k}{(n+1)!}<x<\dfrac{k+1}{(n+1)!}.
        Ta đặt
        x_{n+1}=k,

        y_1=x-\dfrac{k}{(n+1)!}.

        0\le y_1<\dfrac{1}{(n+1)!}.
        Ta lại tiếp tục quá trình trên cho y_1.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s