Trường véc-tơ của dòng không nén

Standard

Nhóm 7, lớp K53A1S, cũng được giao bài tập về dòng không nén (bài 9(f), trang 1048). Bài tập yêu cầu tính tổng thể tích của một dòng không nén chảy qua mặt cầu x^2+y^2+z^2=a^2 trong khoảng thời gian t_0t_1. Trong đó, trường véc-tơ vận tốc được cho bởi

c(3xti+2ytj-5ztk)

datuan202

Ta có thể mô tả dòng này như sau. Dòng này, nếu từ phần dương theo 0z sẽ chảy xuống và áp sát dần vào mặt phẳng 0xy, còn nếu từ phần âm theo 0z sẽ chảy lên và cũng áp sát vào mặt phẳng 0xy. Các dòng này có phương trình

x=C_1 e^{\frac{3t^2}{2}}, y=C_2e^{t^2}, z=C_3e^{-\frac{5t^2}{2}}.

datuan200

Nếu ta tưởng tượng mặt cầu của ta như Mặt Đất với cực Bắc có tọa độ (0, 0, a) còn cực Nam (0, 0, -a) thì dòng đi vào Trái Đất từ vùng gần hai cực và đi ra từ vùng gần xích đạo.  Do dòng này không nén nên dòng đi vào Trái Đất bao nhiêu thì ra ngoài Trái Đất bấy nhiêu!

Tuy nhiên, bài toán đặt ra là tính tổng thể tích mà dòng chảy qua mặt cầu trong khoảng thời gian t_0t_1. Qua quá trình chảy theo dòng, những hạt trên Mặt Đất chuyển động và nếu tại thời điểm t_0 là Mặt Đất thì đến thời điểm t_1 Mặt Đất biến dạng thành ellipsoid

datuan201

Như vậy tổng thể tích dòng đi qua mặt cầu trong khoảng thời gian t_0t_1 gồm hai phần:

+ phần chảy vào trong hình cầu: phần này chính là phần hình cầu bỏ đi hình ellipsoid,

+phần chảy ra ngoài hình cầu: phần này chính là phần hình ellipsoid bỏ đi hình cầu.

Để tính được ta cần xác định nếu tại thời điểm t_0 các hạt nằm trên mặt cầu:

x^2(t_0)+y^2(t_0)+z^2(t_0)=C_1^2 e^{3t_0^2}+C_2^2e^{2t_0^2}+C_3^2e^{-5t_0^2}=1

thì theo dòng cuốn đi, đến thời điểm t_1 các hạt có tọa độ

(x(t_1), y(t_1), z(t_1))=(C_1e^{\frac{3t_1^2}{2}}, c_2e^{t_1^2}, C_3e^{-\frac{5t_1^2}{2}})

sẽ nằm trên mặt ellipsoid

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1

với a=e^{\frac{3(t_1^2-t_0^2)}{2}}, b=e^{\frac{2(t_1^2-t_0^2)}{2}}, c=e^{-\frac{5(t_1^2-t_0^2)}{2}}.

One response »

  1. Ở trên, ta dùng tích phân bội để tích tổng thể tích mà dòng chảy qua mặt cầu trong khoảng thời gian t_0, t_1.
    Ta có thể dùng tích phân mặt để tính thể tích như cách của thầy Ninh Văn Thu như sau:
    \int_{t_0}^{t_1}dt \int_{S} |v(P, t).n(P)|dS(P)
    trong đó, v(P, t) là véc-tơ vận tốc của dòng tại điểm P vào thời điểm t, nghĩa là
    v(P, t)=(3xt, 2yt, -5zt) nếu P=(x, y, z);
    còn n(P) là véc-tơ pháp tuyến ngoài, đơn vị của mặt cầu S tại điểm P trên mặt cầu S, cụ thể
    n(P)=(\frac{x}{a}, \frac{y}{a}, \frac{z}{a}) nếu P=(x, y, z)a là bán kính của mặt cầu S;
    v(P, t).n(P) là tích vô hướng của hai véc-tơ
    \dfrac{1}{a}(3x^2t+2y^2t-5z^2t) tại P=(x, y, z).
    Chú ý, trong công thức cần có trị tuyệt đối vì nếu không công thức đó có nghĩa là tổng thể tích dòng đi ra khỏi hình cầu trừ đi tổng thể tích đi vào trong hình cầu (bằng 0). Còn cái ta cần tính thì không quan tâm đến việc vào hay ra mà chỉ cần đi qua mặt cầu!
    Cám ơn thầy Thu đã cùng trao đổi!!!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s