Tích phân elliptic

Standard

Chu vi của đường cong ellip:

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1

với b>a>0

được tính như sau.

Tham số đường cong ellip: x=a\cos{\varphi}, y=b\sin{\varphi} với 0\le \varphi< 2\pi

có vi phân đường ds=\sqrt{b^2-(b^2-a^2)\sin^2{\varphi}}d\varphi

nên chu vi của đường cong ellip:

\int_0^{2\pi}\sqrt{b^2-(b^2-a^2)\sin^2{\varphi}}d\varphi=4bE(k)

với k=\sqrt{\frac{b^2-a^2}{b^2}}

E(k)=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2{\varphi}}d\varphi=\int_0^1\sqrt{\frac{1-k^2t^2}{1-t^2}}dt.

E(k) được gọi là tích phân elliptic đầy đủ loại II.

Khi nghiên cứu về tích phân không xác định, còn được gọi là các tích phân elliptic,

\int R(t, s)dt

với R(t, s) là hàm hữu tỷ theo t, s còn s^2 là đa thức bậc hai hay ba của t,

Legendre đã chỉ ra rằng có thể chuyển tích phân elliptic về một trong ba dạng:

+ tích phân elliptic loại I:

F(\varphi, k)=\int\limits_{0}^{\varphi}\dfrac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2{\varphi}}};

+ tích phân elliptic loại II:

E(\varphi, k)=\int\limits_{0}^{\varphi}\sqrt{1-k^2\sin^2{\varphi}}d\varphi;

+ tích phân elliptic loại III:

\Pi(n,\varphi, k)=\int\limits_{0}^{\varphi}\dfrac{d\varphi}{(1-n\sin^2{\varphi})\sqrt{1-k^2\sin^2{\varphi}}}.

Khi \varphi=\dfrac{\pi}{2} ta gọi các tính phân elliptic trên là đầy đủ.

Việc tính thể tích khối lượng của dòng không nén chảy qua mặt cầu trong một khoảng thời gian dẫn đến việc tính tích phân elliptic theo cách như sau:

ta sẽ phải tích tính phân dạng

\iint\limits_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1}\sqrt{1-\frac{x^2}{c^2}-\frac{y^2}{d^2}}dxdy.

Bằng cách chuyển về hệ tọa độ cực x=ar\cos{\varphi}, y=br\sin{\varphi} tích phân cần tính có dạng

4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int\limits_{0}^1abr\sqrt{1-r^2(h^2\sin^2{\varphi}+l^2\cos^2{\varphi})}dr.

Sau một hồi biến đổi ta cần phải tính tích phân dạng

\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(1-k^2\sin^2{\varphi})^3}d\varphi.

Một vài ví dụ khác cũng liên quan đến tích phân elliptic, chẳng hạn tính chu vi của đường cong Lemniscate

r^2=a^2\cos{(2\varphi)} trong hệ tọa độ cực.

Một ví dụ khác về việc tính chu kỳ của con lắc:

x=L\cos{\theta}, y=L\sin{\theta}

trong đó, L chiều dài con lắc, \theta là góc hợp bởi con lắc và trục thẳng đứng.

Khi đó thời gian để con lắc đi hết một chu kỳ:

\sqrt{\dfrac{2L}{g}}\int\limits_{-\theta_0}^{\theta_0}\dfrac{d\theta}{\sqrt{\cos{\theta}-\cos{\theta_0}}}

với \theta_0 là góc tại thời điểm ta bắt đầu thả con lắc cho nó dao động tự do.

Đổi biến u=\dfrac{\sin{\frac{\theta}{2}}}{\sin{\frac{\theta_0}{2}}}

ta thu được tích phân:

2\sqrt{\dfrac{L}{g}}\int\limits_{-1}^1\dfrac{du}{\sqrt{1-u^2}\sqrt{1-u^2\sin^2{(\frac{\theta_0}{2})}}}.

Ai muốn quan tâm chi tiết về ví dụ con lắc có thể tìm trong cuốn

“Intrduction to Calculus and Analysis, Vol. I” của R. Courant và F. John.

One response »

  1. Một câu hỏi đặt ra: liệu có tính được tích phân elliptic theo nghĩa có tìm được nguyên hàm của nó?
    Ai quan tâm đến tích phân elliptic có thể tham khảo thêm trong trang web
    http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegral.html
    hoặc cuốn
    “A course of modern analysis” của Whittaker K.T., Watson G.N.
    hay cuốn
    “Elliptic functions and elliptic integrals” của Prasolov V., Solovyev Yu.
    Hai cuốn này mọi người có thể lấy bản điện tử trong Box.net – PDEs – Analysis.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s