Trả lời câu hỏi của bạn “kekocaumay”

Standard

Bạn “kekocaumay” có hỏi tôi một bài tập như sau:

Tìm nghiệm tổng quát của PT dạng hyperbolic sau:

u_{xy}-\dfrac{1}{6(x+y)}(u_x+u_y)=0.

Ta có thể giải bài tập trên trong trường hợp tổng quát sau:

u_{xy}+\dfrac{a}{(x+y)}(u_x+u_y)=0 với a\not=0.

(Trường hợp a=0 dễ có u(x, y)=f(x)+g(y).)

Trường hợp của bạn “kekocaumay” khi a=-\dfrac{1}{6}.

Đặt u(x, y)=(x+y)^{-a}v(x, y) ta thu được PT:

v_{xy}+\dfrac{a(1-a)}{(x+y)^2}v=0.

Ta xét bài toán Cauchy cho PT trên với điểu kiện trên đường thẳng x+y=1:

v(x, 1-x)=h(x), v_x(x, 1-x)+v_y(x, 1-x)=g(x).

Dưới đây tôi sẽ trình bày phương pháp Riemann như trong cuốn

“Partial Differential Equations” của E. T. Copson.

Phương pháp dựa trên đẳng thức kiểu:

-2\{w(v_{xy}+cv)-v(w_{xy}+cw)\}=\dfrac{\partial}{\partial x}(vw_y-wv_y)-\dfrac{\partial}{\partial y}(wv_x-vw_x).

Khi đó áp dụng công thức Green cho miền được bao bởi các đường y=y_0, x+y=1, x=x_0 là tam giác ABC với các đỉnh

A=(x_0, y_0), B=(1-y_0, y_0), C=(x_0, 1-x_0)

ta được

-2\iint\limits_{\Delta ABC}{w(v_{xy}+cv)-v(w_{xy}+cw)}dxdy=

=\int\limits_{ABCA}(wv_x-vw_x)dx+(vw_y-wv_y)dy.

Nếu v, w là nghiệm của PT: v_{xy}+cv=0, w_{xy}+cw=0 thì

w(x_0, y_0)=

=\dfrac{1}{2}(w(1-y_0, y_0)v(1-y_0, y_0, x_0, y_0)+w(x_0, 1-x_0)v(x_0, 1- x_0, x_0, y_0))+

+\int\limits_{1-y_0}^{x_0}w(x, y_0)v_x(x, y_0, x_0, y_0)dx+

+\int\limits_{1-x_0}^{y_0}w(x_0, y)v_y(x_0, y, x_0, y_0)dy-

-\dfrac{1}{2}\int\limits_{1-y_0}^{x_0}w(x, 1-x)(v_x(x, 1-x, x_0, y_0)+v_y(x, 1-x, x_0, y_0))dx+

+\dfrac{1}{2}\int\limits_{1-y_0}^{x_0}v(x, 1-x, x_0, y_0)(w_x(x, 1-x)+w_y(x, 1-x))dx.

Nếu w là nghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện trên đường x+y=1:

w(x, 1-x)=h(x), w_x(x, 1-x)+w_y(x, 1-x)=g(x)

v là nghiệm đặc biệt thỏa mãn v_x(x, x_0 , x_0, y_0)= v_y(x_0, y, x_0, y_0)=0

thì

w(x_0, y_0)=

=\dfrac{1}{2}(h(1-y_0)v(1-y_0, y_0, x_0, y_0)+h(x_0)v(x_0, 1- x_0, x_0, y_0))-

-\dfrac{1}{2}\int\limits_{1-y_0}^{x_0}h(x)(v_x(x, 1-x, x_0, y_0)+v_y(x, 1-x, x_0, y_0))dx+

+\dfrac{1}{2}\int\limits_{1-y_0}^{x_0}g(x)v(x, 1-x, x_0, y_0)dx.

Ta sẽ tìm hàm v(x, y, x_0, y_0) như vậy dưới dạng chuỗi lũy thừa (khi c=\dfrac{a(1-a)}{(x+y)^2})

v(x, y, x_0, y_0)=1+\sum\limits_{j=1}^\infty \dfrac{v_j}{j!}\dfrac{\Gamma^j}{j!}

với \Gamma=(x-x_0)(y-y_0).

Khi đó v_j sẽ là hàm thỏa mãn hệ truy hồi

(x-x_0)\dfrac{\partial v_j}{\partial x}+ (y-y_0)\dfrac{\partial v_j}{\partial y}+jv_j+j\dfrac{\partial^2 v_{j-1}}{\partial x\partial y}+j\dfrac{a(1-a)}{\partial (x+y)^2}v_{j-1}=0.

Nếu v_j=K_j(x+y)^{-j} thì

K_j=\dfrac{(-1)^j}{(x_0+y_0)^j}\dfrac{\Gamma(a+j)\Gamma(1-a+j)}{\Gamma(a)\Gamma(1-a)}.

3 responses »

  1. cám ơn thầy với lời giải hết sức rõ ràng, em cũng được biết là trong trường hợp bài tóan Cauchy thì ta thu được nghiệm và đại loại nó biểu diễn thông qua cái đạo hàm thập phân và công thức nghiệm có vẻ khá gọn gàng ko biết có đúng ko!
    Còn đối với nghiệm tổng quát của bài tóan ban đầu vẫn là một vấn đề khó!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s