Hàm liên tục trên đoạn [0, 1]

Standard

Có thể thấy rằng đoạn [0, 1] có nhiều tính chất đẹp:

+) compact, nghĩa là

đóng và bị chặn,

hay mọi dãy trong nó đều có thể trích ra một dãy con hội tụ đến một điểm trong nó,

hay mọi phủ mở của nó đều có thể trích ra một phủ hữu hạn;

+) liên thông, nghĩa là

mọi cặp điểm trong nó đều nối với nhau bằng một đường trong nó,

hay nó không thể là hợp rời của hai tập cùng mở (hay cùng đóng),

hay một tập vừa đóng vừa mở trong nó chỉ có thể là tập rỗng hoặc chính nó.

Như vậy có thể thấy trước rằng một hàm liên tục f:[0, 1]\to\mathbb R cũng sẽ có nhiều tính chất đẹp như đã nói trong phần comment của bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2010/09/18/trao-d%E1%BB%95i-bai-gi%E1%BA%A3ng-l%E1%BB%9Bp-k55a2/

Dưới đây tôi sẽ trình bày chi tiết những điều đó.

Trước hết tính bị chặn, nghĩa là tập ảnh f([0, 1]) là tập bị chặn hay cụ thể hơn

\sup_{x\in[0, 1]}f(x), \inf_{x\in[0, 1]}f(x) là các số hữu hạn.

Tính chất này có được là nhờ tính compact của đoạn [0, 1]. Và cũng nhờ tính chất này ta có thể thấy rằng tập ảnh f([0, 1]) còn có phần tử lớn nhất, phần tử bé nhất. Cụ thể như sau:

có các phần tử a, b\in[0, 1] để f(a)\le f(x)\le f(b) \; \forall x\in[0, 1].

Cũng nhờ tính compact ta suy ra được tính liên tục đều.

Thực ra tính bị chặn, tính liên tục đều này đúng cho mọi tập compact ngoài tập [0, 1]. Kết quả này nói chung không đúng nếu tính compact bị phá vỡ.

Ta xem các ví dụ sau:

f_1: (0, 1)\to \mathbb R, f_1(x)=x có  tập ảnh bị chặn nhưng không có phần tử lớn nhất, và bé nhất, liên tục đều;

f_2:(0, 1]\to \mathbb R, f_2(x)=\dfrac{1}{x} có tập ảnh không bị chặn, không liên tục đều;

f_3: \mathbb R \to \mathbb R, f_3(x)=x có tập ảnh không bị chặn, liên tục đều;

f_4:\mathbb R\to \mathbb R, f_4(x)=x^2 có ảnh không bị chặn, không liên tục đều.

Ở ví dụ f_3 người ta vẫn nói nó là hàm bị chặn với nghĩa: biến tập bị chặn thành tập bị chặn.

Một ánh xạ liên tục đều trên một tập liên thông thì nó sẽ bị chặn.

Ánh xạ f_4 cho thấy điều ngược lại không đúng.

Sau này ta sẽ học Định lý nói về sự tương đương giữa khái niệm bị chặn và khái niệm liên tục của một ánh xạ tuyến tính trong không gian Định chuẩn.

Tiếp đến là tính liên thông nói rằng hàm liên tục f:[0, 1]\to\mathbb R nhận mọi giá trị trong đoạn [m, M] với

M=\sup_{x\in[0, 1]}f(x), m=\inf_{x\in[0, 1]}f(x).

Một câu hỏi ngược lại khi nào một hàm f:[0, 1]\to \mathbb R liên thông thì nó liên tục?

Hàm f_5:[0, 1]\to \mathbb R, f_5(x)=x khi 0\le x\le \dfrac{1}{2}f_5(x)=1-x khi \dfrac{1}{2}<x\le 1 nhận mọi giá trị trong đoạn [0, 1/2] và không liên tục. Lưu ý rằng hàm này không đơn điệu!

Phải chăng nếu thêm tính đơn điệu thì sẽ liên tục? Câu trả lời khẳng định:

Nếu hàm đơn điệu f:[0, 1]\to\mathbb R nhận mọi giá trị nằm giữa f(0)f(1) thì nó phải liên tục!

Lý do hàm đơn điệu chỉ có gián đoạn loại I, nghĩa là tại mọi điểm thì nó luôn có giới hạn trái và giới hạn phải!

Một hàm đơn điệu thực sự sẽ là đơn ánh, và cũng là song ánh từ miền xác định lên miền ảnh của nó!

Hàm liên tục f:[0, 1]\to B, B là tập con của \mathbb R, là song ánh thì nó sẽ đơn điệu.

Thật vậy, do f là song ánh nên f(0)\not=f(1). Nếu (-f) đơn điệu tăng thì f đơn điệu giảm nên không mất tính tổng quát ta giả sử f(0)<f(1) rồi chứng minh f đơn điệu tăng.

Lấy a, b\in (0, 1), a<b bất kỳ ta sẽ chứng minh

f(0)<f(a)<f(b)<f(1).

Do tính liên thông nên ảnh f([a, 1]) chứa tất cả các giá trị nằm giữa f(a)f(1),0\not\in[a, 1], f là song ánh nên f(0) không nằm giữa f(a)f(1). Như vậy f(0)<f(a)<f(1).

Tương tự với ảnh f([b, 1])  chứa tất cả các giá trị nằm giữa f(b)f(1),0, a\not\in[b, 1], f là song ánh nên f(0), f(a) không nằm giữa f(b)f(1). Như vậy f(0)<f(a)<f(b)<f(1).

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Vậy ánh xạ liên tục, song ánh f:[0, 1]\to B là đơn điệu nên B=[m, M] với m=\min\{f(0), f(1)\}, M=\max\{f(0), f(1)\}. Khi đó ánh xạ ngược f^{-1}:[m, M]\to [0, 1] là đơn điệu, liên thông nên cũng là liên tục!

Cuối cùng tính khả tích Riemann của hàm liên tục f:[0, 1]\to\mathbb R.

Tính khả tích được chứng minh dựa trên tính liên tục đều.

Lấy \epsilon>0 tùy ý. ta sẽ chọn ra một phân hoạch P có dạng

0=x_0<x_1=\dfrac{1}{k}<x_2=\dfrac{2}{k}<\dots<x_k=1

để U(f, P)-L(f, P)<\epsilon.

Thực ra để chọn phân hoạch P ta cần chọn k\in\mathbb N đủ lớn.

Việc chọn dựa vào tính liên tục đều:

do f liên tục đều nên có số \delta>0 sao cho

nếu x, y\in[0, 1], |x-y|<\delta thì |f(x)-f(y)|<\epsilon.

Khi đó chọn k=\Big[\dfrac{2}{\delta}\Big]+1.

Ta có với x, y\in [x_i, x_{i+1}], i=0, 1, \dots, k-1,

|x-y|\le \dfrac{1}{k}\le \dfrac{\delta}{2} nên |f(x)-f(y)|<\epsilon

do đó

M_i-m_i<\epsilon,

m_i=\inf_{x\in[x_i, x_{i+1}]}f(x), M_i=\sup_{x\in[x_i, x_{i+1}]}f(x), i=0, 1, \dots, k-1.

Khi đó

U(f, P)-L(f, P)=\sum_{i=0}^{k-1}(M_i-m_i)(x_{i+1}-x_i)<\epsilon.

Ta có điều phải chứng minh.

8 responses »

  1. Chỗ chứng minh tính đơn điệu từ tính liên tục của một song ánh f:[0, 1]\to B có vấn đề!
    Với 0<a<1f(0) không nằm giữa f(a)f(1)f(0)<f(1) nên ta chỉ có
    f(0)<\min\{f(a), f(1)\}. \;\;\; (1)
    Rất có thể f(0)<f(1)<f(a).
    Điều này không xảy ra vì
    xét ảnh f([0, a])
    f(1)>\max\{f(0), f(a)\}.\;\;\; (2)
    Kết hợp (1), (2) ta mới có
    f(0)<f(a)<f(1).

  2. A compact=> A đóng và bị chặn
    A đóng và bị chặn => A compact chỉ đúng với A\subset R^n
    trong không gian Metric thì không thể suy ra A đóng và bị chặn => A muốn suy ra được thì phải là không gian Metric đầy đúng không ạ?

    • Trong không gian metric nói chung thì

      đóng + bị chặn không dẫn đến compact,

      ngay cả trường hợp không gian metric đầy đủ.

      Chẳng hạn hình cầu đóng, đơn vị trong không gian dãy \ell_2 không là tập compact.

  3. f(x) khả vi tại x_0 thì f(x) liên tục tại x_0 ” em đang muốn tìm một hàm “f(x) không liên tục tại x_0 nhưng hàm “f(x) tồn tại đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải điểm x_0 các đạo hàm trái và phải hữu hạn. Thầy có thể cho em một ví dụ hàm “f(x) cụ thể như thế này?

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s