Định lý Abel – Định lý Tauber

Standard

Xét chuỗi lũy thừa \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n. \;\;\;(1)

Một nhận xét xuất phát từ điều kiện cần khá đơn giản: nếu chuỗi (1) hội tụ tại x_0\not=0 thì nó sẽ hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm x|x|<|x_0|. Thật vậy, do chuỗi (1) hội tụ tại x_0 nên theo điều kiện cần có

\lim\limits_{n\to\infty}|a_nx^n_0|=0.

Ta có với \epsilon=1 có một số tự nhiên n_0 đề với mọi n\ge n_0

|a_nx^n_0|<1 hay |a_n|<\dfrac{1}{|x_0|^n}.

Khi đó với x\in(-|x_0|, |x_0|), n\ge n_0

|a_nx^n|<\Big(\dfrac{|x|}{|x_0|}\Big)^n0\le\dfrac{|x|}{|x_0|}<1.

Do đó chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty |a_nx^n|=\sum\limits_{n=1}^{n_0}|a_nx^n|+\sum\limits_{n=n_0+1}^\infty|a_nx^n|

hội tụ với mọi x\in(-|x_0|, |x_0|).

Từ nhận xét trên, nếu đặt R=\sup\{|x|\;|\; \sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n hội tụ \} thì

+) chuỗi (1) hội tụ tuyệt đối trong khoảng (-R, R);

+) chuỗi (1) phân kỳ ngoài đoạn [-R, R].

Để tính bán kính hội tụ R ta thường dùng dấu hiệu căn Cauchy hoặc dấu hiệu D’Alembert.

Cũng có chuỗi bán kính hội tụ R=0, chẳng hạn

\sum\limits_{n=1}^\infty n! x^n.

Và có chuỗi bán kính hội tụ R=+\infty, chẳng hạn

\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}x^n.

Trong bài này ta chỉ bàn đến trường hợp bán kính hội tụ hữu hạn và dương.

Bằng việc sử dụng khái niệm hội tụ đều ta chỉ ra được hàm giới hạn S(x) là hàm khả vi vô hạn trên (-R, R).

Vấn đề của bài viết quan tâm: tại những đầu mút  x=\pm R  xảy ra những gì?

Với chú ý a_nx^n=b_n y^n với b_n=a_nR^ny^n=\dfrac{x^n}{R^n} ta có thể giả sử R=1 mà không làm mất tính tổng quát.

Vấn đề đầu tiên: nếu có \sum\limits_{n=0}^\infty a_n hội tụ đến S thì liệu có \lim\limits_{x\to 1^-}S(x)? Và nếu có thì so với S thế nào?

N.H. Abel đã cho câu trả lời đẹp: Khi đó \lim\limits_{x\to 1^-}S(x)=S.

Việc chứng minh sử dụng khái niệm hội tụ đều và Định lý Abel sau:

“Nếu chuỗi \sum\limits_{n=0}^\infty u_n(x) hội tụ đều trên D và dãy \{v_n(x)\}_{n=0}^\infty là dãy đơn điệu, bị chặn đều trên D thì chuỗi \sum\limits_{n=0}^\infty u_n(x)v_n(x) hội tụ đều trên D.

Cụ thể có chuỗi \sum\limits_{n=0}^\infty a_n hội tụ (không phụ thuộc x) và dãy \{x^n\}_{n=0}^\infty là dãy giảm và bị chặn dưới đều bởi 0 trên [0, 1] nên chuỗi \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n hội tụ đều trên [0, 1]. Từ đó ta có điều phải chứng minh.

N. H. Abel cũng cho câu trả lời khi x là số phức. Ta sẽ quay trở lại vấn đề này sau.

Vấn đề tiếp theo: câu hỏi ngược lại, nghĩa là nếu biết \lim\limits_{x\to 1^-}S(x) ta nói được gì về \sum\limits_{n=1}^\infty a_n?

Câu trả lời khẳng định sẽ giúp ta tính được một số chuỗi số! Chẳng hạn chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\dfrac{1}{n}=\ln2.

Tuy nhiên không phải lúc nào cũng có câu trả lời khẳng định. Ta sẽ thấy qua ví dụ sau.

Xét chuỗi \sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nx^n hội tụ đến S(x)=\dfrac{1}{1+x} trong (-1, 1).

Có giới hạn \lim\limits_{x\to 1^-}S(x)=\dfrac{1}{2} và không có giới hạn \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n.

Như vậy cần thêm điều kiện. A. Tauber, năm 1897, đưa ra điều kiện a_n=o(1/n) nghĩa là \lim\limits_{n\to\infty}na_n=0. Sau đó năm 1911, J.E. Littlewood đưa ra điều kiện yếu hơn a_n=O(1/n) một phía, nghĩa là có một hằng số dương M không phụ thuộc n để

na_n<M, \forall n hoặc na_n>-M, \forall n.

Tôi sẽ trình bày chứng minh khi có điều kiện của Tauber thì \sum\limits_{n=0}^\infty a_n hội tụ đến S(1^-).

Ta dùng ngôn ngữ \delta-\epsilon để chứng minh. Lấy \epsilon>0. Ta cần chỉ ra N_0 để với mọi n\ge N_0

|S_n-S(1^-)|<C\epsilon.

Từ giả thiết \lim\limits_{x\to1^-}S(x)=S(1^-) nên có số \delta để với mọi x\in(1-\delta, 1)

|S(x)-S(1^-)|<\epsilon.

Do \lim\limits_{n\to\infty}na_n=0 nên có một số dương M>1 để với mọi n=0, 1, 2, \dots

|na_n|<M.

Lại tiếp tục dùng giả thiết \lim\limits_{n\to\infty}na_n=0, ta chọn được số tự nhiên N_0>\dfrac{\epsilon}{\delta} để với mọi n>N_0

|na_n|<\epsilon^2.

Với mỗi N>N_0 ta xét hiệu

S_N-S(x)=\sum\limits_{n=0}^Na_n(1-x^n)+\sum\limits_{n=N+1}^\infty a_nx^n.

1-x^n=(1-x)(1+x+\dots+x^{n-1})<n(1-x), \forall x\in(0, 1) nên

|\sum\limits_{n=0}^Na_n(1-x^n)|\le MN(1-x).

Lại có |a_nx^n|\le\dfrac{\epsilon^2}{N}x^n, \forall x\in(0, 1), \forall n>N>N_0 nên

|\sum\limits_{n=N+1}^\infty a_nx^n|\le \dfrac{\epsilon^2}{N(1-x)}.

Do N>N_0>\dfrac{\epsilon}{\delta} hay \dfrac{\epsilon}{N}<\delta nên có thể chọn x_N\in(1-\delta, 1) để

N(1-x_N)=\epsilon.

Khi đó, ta có

|S(x_N)-S(1^-)|\le\epsilon,

|S_N-S(x_N)|\le M\epsilon+\dfrac{\epsilon^2}{\epsilon}

nên |S_N-S(1^-)|<(M+2)\epsilon.

Bạn đọc có thể xem chứng minh trong trường hợp điều kiện Littlewood trong bài của David Borwein

tauber

3 responses »

  1. Pingback: Định lý Wiener – Tauberian « Lý thuyết Hàm Suy Rộng

  2. Pingback: Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa – chuỗi Fourier « Giải tích

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s