Tập có độ đo không

Standard

Trong Giải tích ta bắt đầu biết về tập độ đo không khi học về hàm khả tích Riemann. Ta bắt đầu với kết quả đơn giản:

Hàm bị chặn f: [0, 1]\to \mathbb R khả tích Riemann nếu nó liên tục tại mọi điểm trừ ra hữu hạn điểm.

Tập hữu hạn điểm là tập độ đo không đơn giản nhất (không kể tập rỗng).

Với kỹ thuật đánh giá dựa vào chuỗi hội tụ ta có kết quả mạnh hơn:

Hàm bị chặn f: [0, 1]\to \mathbb R khả tích Riemann nếu nó liên tục tại mọi điểm trừ ra một tập có tối đa đếm được điểm.

Khái niệm “đếm được”  và “hữu hạn” là khái niệm  cơ bản phân biệt giữa các khái niệm “độ đo không” và “thể tích không”.

Để dễ hình dung ta chỉ xét tập trên đường thẳng thực.

Tập A\subset\mathbb R có “độ dài không” nếu

với mọi \epsilon>0 đều có hữu hạn đoạn con đóng [a_1, b_1], [a_2, b_2], \dots, [a_n, b_n] phủ A nghĩa là

A\subset \cup_{i=1}^n [a_i, b_i]

thỏa mãn tổng độ dài các đoạn \sum_{i=1}^n (b_i-a_i)<\epsilon.

Tập A\subset\mathbb R có “độ đo không” nếu

với mọi \epsilon>0 đều có đếm được đoạn con đóng [a_1, b_1], [a_2, b_2], \dots, [a_n, b_n], \dots phủ A nghĩa là

A\subset \cup_{i=1}^\infty [a_i, b_i]

thỏa mãn tổng độ dài các đoạn \sum_{i=1}^\infty (b_i-a_i)<\epsilon.

Tập hữu hạn điểm là tập có độ dài không.

Cũng có tập vô hạn điểm có độ dài không. Chẳng hạn tập A_1=\{\frac{1}{n}: \; n=1, 2, \dots\}.

Có thể thấy tập có độ dài không là tập có độ đo không.

Không phải tập có độ đo không nào cũng là tập có độ dài không. Chẳng hạn tập A_2=\{n: \; n=1, 2, \dots\}.

Tập đếm được điểm có độ đo không. Cũng có tập không đếm được có độ đo không. Chẳng hạn tập Cantor.

Tính chất quan trọng mà tất cả các kết quả dưới đây đều sử dụng:

“Hợp đếm được các tập có độ đo không cũng có độ đo không”.

Tập có độ dài khác không là tập không có độ đo không. Chẳng hạn đoạn [0, 1].

Hàm Dirichlet: f: [0, 1]\to\mathbb R

f(x)=0 khi x\in\mathbb Q

f(x)=1 khi x\not\in\mathbb Q

là hàm không khả tích Riemann.

Tập điểm gián đoạn của hàm Dirichlet là toàn bộ đoạn [0, 1] là tập không có độ đo không.

Ta dẫn đến kết quả sau của Lebesgue:

Hàm bị chặn f: [0, 1]\to \mathbb R là khả tích Riemann

khi và chỉ khi

tập điểm gián đoạn của hàm f có độ đo không.

Như vậy ta có tập độ đo không đáng lưu ý đầu tiên:

tập điểm gián đoạn của một hàm khả tích Riemann.

Để có kết quả này người ta dùng khái niệm dao độ

với mỗi x\in [0, 1], dao độ của hàm f tại điểm x được xác định bởi

w(f, x)=\lim\limits_{r\to 0_+} (\sup\limits_{y\in [0, 1]\cap (x-r, x+r)}f(y)-\inf\limits_{y\in [0, 1]\cap (x-r, x+r)}f(y)).

Ta có f liên tục tại x khi và chỉ khi w(f, x)=0.

Tập điểm gián đoạn của f:

\cup_{n=1}^\infty\{x\in [0, 1]: w(f, x)>1/n\}.

Tập độ đo không khác cũng đáng lưu ý: tập các điểm không khả vi của hàm Lipschitz, nghĩa là ánh xạ f: [0, 1]\to\mathbb R thỏa mãn

|f(x)-f(y)|\le L|x- y|\; \forall x, y\in[0, 1] (với L>0 nào đó).

Điều này được dẫn như sau:

+ Hàm Lipschitz là hàm liên tục tuyệt đối (absolutely continuous), nghĩa là hàm f: [0, 1] \to\mathbb R thỏa mãn

với mỗi \epsilon>0 đều có \delta>0

sao cho với bất kỳ dãy hữu hạn các đoạn không giao nhau [x_k, y_k]\subset[0, 1], k=1, 2, \dots, n thỏa mãn

\sum_{k=1}^n (y_k-x_k)<\delta

thì

\sum_{k=1}^n |f(y_k)-f(x_k)|<\epsilon.

+ Hàm liên tục tuyệt đối là hàm biến phân bị chặn (bounded variation), nghĩa là hàm f: [0, 1]\to\mathbb R có biến phân toàn phần (total variation)

V_1^0(f)=\sup\limits_P \sum\limits_{k=0}^{n_P-1}|f(x_{k+1})-f(x_k)|

trong đó \sup\limits_P là sup lấy trên toàn bộ các phân hoạch P=\{0=x_0<x_1<\dots<x_{n_P-1}<x_{n_P}=1\},

là hữu hạn.

+Hàm biến phân bị chặn là hiệu hai hàm không giảm.

+Hàm không giảm, theo Lebesgue, có tập các điểm không khả vi có độ đo không.

Cần lưu ý rằng nếu giảm bớt điều kiện Lipschitz bởi điều kiện Holder, nghĩa là

|f(x)-f(y)|\le H|x-y|^\alpha (với H>0, \alpha\in (0, 1) nào đó),

thì kết quả không đúng. Chẳng hạn hàm Weierstrass là hàm Holder và không khả vi tại mọi điểm.

Các tập có độ đo không trên đều nằm trong miền xác định của hàm số. Tập có độ đo không đáng lưu ý tiếp nằm trong miền giá trj.

Hàm khả vi liên tục f: (0, 1)\to\mathbb R (nghĩa là hàm khả vi và đạo hàm của nó là hàm liên tục) có tập các giá trị tới hạn (critical value) là tập có độ đo không. (Định lý Sard).

Giá trị y\in\mathbb R được gọi là giá trị tới hạn của hàm f nếu có một điểm x\in (0, 1) sao cho

f(x)=y, f^{,}(x)=0.

Những điểm x\in (0, 1): f^{,}(x)=0 được gọi là điểm dừng hay điểm tới hạn. Ký hiệu M là tập điểm dừng. Tập giá trị tới hạn f(M).

Để chứng minh f(M) có độ đo không người ta hạn chế M trong các đoạn con đóng [1/n, 1-1/n], n=3, 4, \dots:

M_n=M\cap [1/n, 1-1/n]

để sử dụng tính liên tục đều trên tập compact [1/n, 1-1/n] của đạo hàm f^{,} rồi từ đó dùng khai triển Taylor tại mỗi điểm dừng và đánh giá.

Định lý Sard và các dạng của nó là yếu tố quan trọng trong lý thuyết bậc và lý thuyết hàm Morse.

Chẳng hạn trong lý thuyết hàm Morse, Định lý Sard cho ta biết:

“Nếu f: \mathbb R^n\to \mathbb R là hàm khả vi liên tục đến cấp 2 thì tập các điểm a\in\mathbb R^n thỏa mãn

f(x)-\sum_{i=1}^n a_i x_i không là hàm Morse

là tập có độ đo không.”

Hàm g:\mathbb R^n\to \mathbb R được gọi là hàm Morse nếu tại mỗi điểm tới hạn ma trận Hessian của hàm g tại điểm đó không suy biến.

Tập có độ đo không đáng chú ý khác liên quan đến việc đổi thứ tự lấy đạo hàm riêng. Cụ thể như  sau.

Cho hàm f:(0, 1)\times(0, 1)\to\mathbb R là hàm có các đạo hàm riêng cấp hai \partial_x\partial_y f(x, y), \partial_y\partial_x f(x, y). Các đạo hàm riêng cấp hai này là các hàm liên tục. Khi đó, chúng bằng nhau (kết quả của Alexis Claude Clairaut và Hermann Amandus Schwarz, tác giả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz).

Như ta cũng đã thấy các ví dụ cho thấy nếu không có điều kiện liên tục thì kết luận sai. Tuy nhiên khi phân tích ví dụ kết luận sai hay sự không bằng nhau chỉ tại vài điểm.

Từ lý thuyết hàm suy rộng người ta thấy rằng nếu các đạo hàm riêng cấp hai trên là các hàm chính quy (khả tích điạ phương) thì chúng sẽ bằng nhau hầu khắp nơi. Nói cách khác tập những điểm hai đạo hàm riêng cấp hai

\partial_x\partial_y f(x, y), \partial_y\partial_x f(x, y)

khác nhau có độ đo không.

49 responses »

  1. Thầy Chử Văn Tiệp có góp ý cho tôi: nên đưa ví dụ cụ thể để thấy hàm Lipschitz, v.v là như nào.

    Bất kỳ hàm khả vi, có đạo hàm bị chặn đều là hàm Lipschitz. Chẳng hạn hàm \cos: \mathbb R\to\mathbb R, x\mapsto \cos(x).

    Hàm khả vi nói chung không là hàm Lipschitz. Chẳng hạn hàm f: \mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x^2.

    Câu hỏi: “Phải chăng điều kiện bị chặn của đạo hàm là điều kiện cần và đủ để hàm khả vi là Lipschitz?”

    Hàm Lipschitz là hàm liên tục tuyệt đối. Có những hàm liên tục tuyệt đối không Lipschitz. Chẳng hạn hàm g: [0, 1]\to \mathbb R, g(x)=x^{1/2}. Bạn đọc tự kiểm tra.

    Câu hỏi: “Cùng có đạo hàm tại hầu khắp nơi, vậy cái gì giúp ta phân biệt hàm Lipschitz và hàm liên tục tuyệt đối?”

    Hàm liên tục tuyệt đối thì biến phân bị chặn. Có những hàm biến phân bị chặn không liên tục tuyệt đối. Chẳng hạn hàm Cantor có đạo hàm bằng 0 hầu khắp nơi và không là hằng số.

    Bạn đọc có thể xem thêm bài giảng của Christopher Heil

    http://people.math.gatech.edu/~heil/6337/fall07/section3.5b.pdf

    Hàm khá đơn giản sau: f: [0, 1]\to \mathbb R
    f(x)=0 khi 0\le x<1/2,
    f(x)=1 khi 1/2\le x\le 1
    là hàm có biến phân bị chặn và không liên tục tuyệt đối.
    Lý do đơn giản như sau:
    – nó có đạo hàm hầu khắp nơi bằng 0 (trừ một điểm x_0=1/2)
    – đạo hàm trên không đủ để phục hồi lại hàm f.

    Như vậy mặc dù chỉ là một điểm nhưng nó phải có ý nghĩa quan trọng nào đó? Để lý giải một phần ý nghĩa này người ta đi đến loại hàm mới "Hàm Dirac" được hiểu sơ qua như trong

    http://datuan5pdes.wordpress.com/2007/05/03/13/

  2. em xin chào thầy ạ,

    em là Thịnh, em không phải là sinh viên của lớp thầy đâu ạ. em là sinh viên của trường đại học bách khoa.
    em thấy topic này của thầy đã lâu rồi, mà bây giờ em post comment thì không biết có tiện không nữa. nếu có gì mong thầy đừng trách em nha.
    hiện tại em đang thắc mắc về tập có độ đo không và tập rỗng.
    tập có độ đo không là lý thuyết trong phạm trù về lý thuyết độ đo, còn tập rỗng là lý thuyết trong phạm trù tập hợp.
    mà em được biết thì 2 phạm trù này có liên hệ mật thiết với nhau. bầng chứng là trong lý thuyết độ đo cò nói tời xích ma đại số và các phép toán về tập hợp.
    điều em đang thắc mắc ở đây chính là mối tương quan giữa tập rỗng và tập có độ đo không.? hay 1 cái gì đó liên hệ giữa 2 tập đó.? ( điều em suy nghĩ là có điều kiện gì để tập rỗng trở thành tập có độ đo không và ngược lại?)
    mong được thầy chỉ dẫn và giúp đỡ ạ.

    em chờ hồi âm của thầy.

    • Đúng như em nghĩ, muốn có khái niệm độ đo thì cần có các khái niệm liên quan đến tập hợp:

      -)chẳng hạn như đại số các tập con, \sigma-đại số các tập con trong đó tập rỗng được coi như một phần tử trong đó,
      -)và hàm xác định trên đại số hay \sigma-đại số đó thỏa mãn một số tính chất.

      Từ đó ta có khái niệm độ đo và tập đo được. Tập rỗng là tập đo được và nó có độ đo không.

      Tuy nhiên điều ngược lại không đúng! Nó cho ta những thứ gần gũi với đời thường! Trong đời thường có những tiểu tiết không “đáng kể”, nhưng nó vẫn có, thì trong lý thuyết độ đo, tập có độ đo không chính phản ánh sự không “đáng kể”, khác rỗng, trong toán học.

    • Đường cong lớp C^1

      C=\{C(t)=(x(t), y(t))|\; a\le t\le b\}

      có diện tích không. Từ đó nó có độ đo 2-chiều không.

      Để chứng minh đường cong C có diện tích không, ta chứng minh bằng định nghĩa. Cụ thể, cứ lấy \epsilon>0 tùy ý. Sau đó ta tìm cách phủ đường cong C bởi một số hữu hạn các hình chữ nhật B_1, B_2, \dots, B_m sao cho tổng diện tích của các hình chữ nhật này không lớn hơn \epsilon.

      Do x, y là các hàm khả vi liên tục, nghĩa là chúng có đạo hàm là các hàm liên tục trên đoạn [a, b] nên chúng là các hàm Lipschitz (tại sao?). Như vậy tồn tại hằng số L để với mỗi a\le t_2<t_1\le b

      |x(t_1)-x(t_2)|\le L(t_1-t_2),

      |y(t_1)-y(t_2)|\le L(t_1-t_2).

      Chọn số tự nhiên n sao cho \dfrac{(b-a)^2(n+1)}{n^2}\le \dfrac{\epsilon}{4L^2}.

      Ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia

      a=t_0<t_1<\dots<t_n=b.

      Khi đó các hình chữ nhật cần tìm

      B_j=[x(t_j)-\dfrac{L(b-a)}{n}, x(t_j)+\dfrac{L(b-a)}{n}]\times
      \times  [y(t_j)-\dfrac{L(b-a)}{n}, y(t_j)+\dfrac{L(b-a)}{n}],
      j=0, 1, \dots, n.

      Em tự viết hoàn chỉnh lại nhé.

      • Với cách chọn hình chữ nhật B_j như vậy thì cách chọn n là vô cùng hợp lý. Nhưng em thắc mắc, tại sao thầy lại chọn độ dài mỗi đoạn là \dfrac {2L( b-a) } {n} . Thầy có thể cho em biết lý do được không ạ!
        Em cảm ơn thầy!

      • Thay vì nói “vô cùng hợp lý” em nên thử nghĩ cách chọn khác thì hơn!

        Cách chọn các hình chữ nhật B_1, B_2, \dots, B_n dựa trên hai tiêu chí:

        +) phủ đường cong C, nghĩa là bất kỳ điểm nào trên đường cong cũng có ít nhất một hình chữ nhật chứa điểm đó;

        +) tổng diện tích các hình chữ nhật này phải bé.

      • Em chọn n thỏa: \dfrac{L^2(b-a)^2}{\sqrt{n}} \le \dfrac{\epsilon}{2^(n+1)}
        Và hình chữ nhật cần tìm là: B_j=[x(t_j)-\dfrac{L^2}{(b-a)^2};x(t_j)+\dfrac{L^2}{(b-a)^2}] \times
        \times [y(t_j)-\dfrac{L^2}{(b-a)^2};y(t_j)+\dfrac{L^2}{(b-a)^2}]
        j=0;1;2;...
        Như vậy có ổn không thầy?
        Và “Do x, y là các hàm khả vi liên tục, nghĩa là chúng có đạo hàm là các hàm liên tục trên đoạn [a, b] nên chúng là các hàm Lipschitz (tại sao?). ” Theo em nghĩ: Bất kỳ hàm nào có đạo hàm(bậc 1) bị chặn thì là hàm Lipschit. Nên ở đây,đạo hàm liên tục trên một khoảng đóng [a,b] nên nó sẽ bị chặn trong 1 khoảng đóng. Nên x, y là các hàm Lipschit.
        Em nghĩ vậy!

      • Câu hỏi thứ nhất: liệu có n là số tự nhiên thỏa mãn cách chọn của em khi \epsilon rất nhỏ?

        Hình như em không tính diện tích của mỗi hình chữ nhật B_j?

        “Ổn hay không” không phải do tôi mà do hai tiêu chí cần có! Em cũng không kiểm tra việc chọn có thỏa mãn hai tiêu chí đó hay không thì phải?

      • Chắc có lẽ do em đánh Latex sai nên thầy chỉnh lại khác với ý em. Nhưng cuối cùng em cũng đã hiểu được cách chọn n sao cho hợp lý. Em cảm ơn thầy!
        Nhân đây, thầy có thể gợi ý cho em cách chứng minh định lý Borel-Catelli được không thầy.
        Định lý phát biểu như sau:
        Nếu A\subset \mathbb{R}^{k} có độ đo 0 thì tồn tại dãy ô {P_n} sao cho
        \sum_{1}^{\infty } \left | P_n \right | < \infty và mỗi x\in A đều thuộc về vô số các P_n .

      • Trước hết, nếu em thấy cái gì “khác với ý em” thì em cho tôi biết! Như thế tôi cũng học được một chút!

        Về “định lý Borel-Cantelli” (không phải Catelli) tôi nghĩ em phát biểu ngược?

        Có thể xem phát biểu của kết quả này ở đây

        http://en.wikipedia.org/wiki/Borel%E2%80%93Cantelli_lemma

        Tôi nghĩ phát biểu như sau:

        Nếu tập A\subset\mathbb R^k thỏa mãn

        có một dãy các ô P_n sao cho

        \sum\limits_{n=1}^\infty |P_n|<+\infty,

        A\subset \cap_{n=1}^\infty \cup_{k=1}^\infty P_{n+k} (mỗi điểm x\in A đều thuộc về vô số các P_n),

        thì A có độ đo 0.

        Tuy nhiên phát biểu của em vẫn đúng. Chứng minh hoàn toàn dựa vào định nghĩa. Em lấy dãy các số dương \{\epsilon_k\}_{k=1}^\infty đủ tốt.
        Do A có độ đo không nên với mỗi k em chọn được phủ đếm được các ô \{Q_{nk}\}_{n=1}^\infty có tổng thể tích nhỏ hơn \epsilon_k. Dãy các ô cần tìm chính là hợp tất cả các phủ vừa tìm! Chi tiết em tự làm nhé.

      • Dạ thưa thầy!
        Ở cách chọn n của em, em sẽ chặn diện tích của hình chữ nhật [x(t_1)-x(t_2)]\time [y(t_1)-y(t_2)] bằng L^2 (b-a)^2 vì chia thành n đoạn nên ta sẽ có n hình chữ nhật nên ta sẽ cho L^2 (b-a)^2 n < \epsilon. Nhưng\epsilon thì rất nhỏ nên để cho hợp lý ta nên chia vế trái cho một số thật lớn, có thể làn^2, (n+1)^,…. Ở đây em sẽ chọnn thỏa latex \dfrac {L^2 (b-a)^2 n}{(n+1)^2} < \epsilon$ nên họ các hình chữ nhật có dạng[x(t_i) -\dfrac{L(b-a)}{n+1}, x(t_i) -\dfrac{L(b-a)}{n+1}]\time [x(t_i) -\dfrac{L(b-a)}{n+1}, x(t_i) -\dfrac{L(b-a)}{n+1}] .
        Ở chứng minh Bổ đề Borel-Cantelli, thầy cho em hỏi\epsilon đủ tốt là sao thầy?
        Em cảm ơn thầy!

      • Em không để ý các câu hỏi của tôi về việc chọn, đặc biệt là câu hỏi đầu tiên! Chú ý rằng L, a, b là các số cố định nên nếu ta lấy \epsilon dương đủ nhỏ, cụ thể

        \epsilon=\dfrac{L^2(b-a)^2}{2}

        thì không có số tự nhiên nào thỏa mãn

        L^2(b-a)^2n<\epsilon!

        Đoạn sau em viết tôi không hiểu gì! Em lấy t_j như cách tôi làm? Nếu đúng vậy thì có (n+1) hình chữ nhật! Tạm chấp nhận tổng diện tích của các hình chữ nhật này nhỏ! Còn tiêu chí phủ, nghĩa là bất kỳ điểm nào trên đường cong cũng có một trong các hình chữ nhật em chọn chứa nó, không rõ em đã kiểm tra chưa?

        Còn việc chứng minh "phát biểu của em" (lưu ý không phải Bổ đề Borel-Cantelli) có chỗ chọn dãy \{\epsilon_k\}_{k=1}^\infty nhằm vào việc tổng thể tích tất cả các ô \{Q_{nk}\}_{n, k\in\mathbb N} hữu hạn.

    • Để trả lời câu hỏi này ta cần nhớ sự đồng nhất giữa các tập đo được Lebesgue trong không gian Euclide \mathbb R^k\times\mathbb R^l\equiv \mathbb R^{k+l} và các tập đo được được trong không gian tích \mathbb R^k\times \mathbb R^l.

      Từ đó có mỗi lát cắt
      E_x=\{y\in\mathbb R^l: (x, y)\in E\}

      của tập đo được E trong \mathbb R^k\times\mathbb R^l

      là tập đo được trong \mathbb R^l.

    • Câu trả lời lần trước của tôi có vấn đề!

      Vấn đề thứ nhất, tôi trả lời sai câu hỏi của em.

      Thứ hai, hình như em hỏi ngược? Tôi cảm giác em thích hỏi ngươc?

      Thường thì ta biết f đo được trước rồi mới xem g có đo được không! Nếu ngược lại thì câu trả lời khá dễ dàng: Bài toán em đưa ra sai! Lý do có rất nhiều hàm f để hạn chế của nó là g!

      Câu hỏi ngược lại khó hơn! Hạn chế của hàm đo được có đo được không?

      Em xem phần trả lời trong bài (trang 12, ví dụ sau Định lý Tonelli)

      http://www.math.washington.edu/~hart/m555/integration.pdf

  3. Thầy ơi, tập Cantor là gì, và xây dựng như thế nào ạ? Trong bài này có nói đến tập Cantor là tập không đếm được có độ đo không. Em không hiểu điều này, vì không hình dung được tập đó.
    Em cảm ơn Thầy ạ.

  4. Thầy ơi cho e hỏi 1 bài ” Cho E là tập còn lại sau khi lấy khỏi mỗi đoạn [0,1] các khoảng (1/2n,1/(2n-1)) và hàm f(x)=3^2. Tính tích phân lebesgue trên E với độ đo lebesgue trên đường thẳng thực”
    Em cảm ơn thầy ạ!

  5. Em thưa thầy trong tích phân Lebesgue ở trên mình có cần tính cụ thể ra không hay để ở dạng chuỗi số như vậy ạ? Em nghĩ kết quả để ở dạng 1 trừ đi tổng từ n=1 đến + vô cùng của 1/(2n-1)^3 cộng với tổng từ n=1 đến vô cùng của 1/(2n)^3 là được rồi ạ. Không biết có phải tính toán tiếp gì không? Em cảm ơn thầy. Em là sinh viên K59,kì sau em mới học môn này.Mong thầy hướng dẫn giúp em!

  6. Thầy cho em hỏi: Cho \mathscr{M} là họ tất cả các tập hợp con chỉ gồm 1 phần tử của X.Tìm \mathscr{A}(\mathscr{M}) (\sigma– đại số sinh ra bởi \mathscr{M}). Theo em thì \mathscr{A}(\mathscr{M}) ={X,\emptyset} có phải không ạ?

    • Không đúng. Chẳng hạn X là tập các số nguyên \mathbb Z thì \mathcal A(\mathcal M) gồm tất cả các tập con của \mathbb Z.

      Em xem lại định nghĩa của \sigma-đại số, cụ thể nó đóng với các phép toán tập hợp nào?

  7. Đóng với các phép toán hợp,giao,hiệu,lấy phần bù,hiệu đối xứng hữu hạn hoặc đếm được các tập hợp ạ.Em nghĩ là \mathscr{A}(\mathscr{M}) ={\emptyset,\mathbb{Z}} trong trường hợp X=\mathbb{Z},với \mathscr{M} là họ tất cả các tập hợp con chỉ gồm 1 phần tử của \mathbb{Z} ạ. \sigma-đai số sinh ra bởi \mathscr{M}\sigma-đại số bé nhất trên X chứa \mathscr{M},và là giao của tất cả các \sigma-đại số trên X chứa \mathscr{M}.

      • Có thể em chưa hiểu \sigma-đại số có mỗi phần tử của nó là các tập con của X chứ không phải là phần tử của X. Lấy đơn giản tập X có hai phần tử \{0, 1\}. Khi đó \mathcal M gồm các phần tử là các tập con

        \{0\}, \{1\}.

        Khi đó \sigma-đại số \mathcal A(\mathcal M) gồm các phần tử là các tập con

        \{0\}, \{1\}, X=\{0, 1\} và tập rỗng \emptyset.

        Em xem lại trường hợp X là tập các số nguyên \mathbb Z.

  8. Tập độ đo không đáng chú ý nữa xuất hiện trong Định lý Fubini:

    Cho f\in L^1(\mathbb R^2). Khi đó tập

    \{x\in \mathbb R|\; f(x, \cdot) không khả tích Lebesgue trên \mathbb R\}

    có độ đo không trong \mathbb R.

    • Em dùng phản chứng: nghĩa là giả sử tập không bị chặn A\subset\mathbb R^n có thể tích không.

      Lấy \epsilon=1. Theo định tập tập có thể tích không sẽ có hữu hạn các hình hộp

      A_k=[a_{k1}, b_{k1}]\times [a_{k2}, b_{k2}]\times \dots\times [a_{kn}, b_{kn}], k=1, 2, \dots, m,

      phủ tập A, nghĩa là

      A\subset \cup_{k=1}^m A_k,

      và tổng thể tích

      \sum\limits_{k=1}^m vol(A_k)=\sum\limits_{k=1}^m \prod_{j=1}^n (b_{kj}-a_{kj})\le 1.

      Chú ý các hình hộp A_k ta chọn cố định và chỉ có hữu hạn hình hộp nên có hình hộp A_{k_0} cách xa gốc tọa độ nhất. Giả sử R là khoảng cách xa nhất từ gốc đến các điểm trong A_{k_0}. Khi đó

      A nằm trong hình cầu tâm tại gốc bán kính R.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s