Luận văn của Nguyễn Hữu Trí

Standard

LUANVAN-TRI_09-11

Luận văn của Nguyễn Hữu Trí tìm hiểu một số vấn đề trong bài báo

“Long-time behavior of a class of biological models”,  SIAM J. Math. Anal. 13(1982), pp. 353-396

của tác giả H. F. Weinberger.

Cụ thể, luận văn tìm hiểu về nghiệm dạng sóng chạy của mô hình phát tán gene của một quần thể sinh học. Có thể hình dung sơ qua về nghiệm sóng chạy như sự di cư để tồn tại! Tính trạng này của gene có thể không xuất hiện ở nơi này vì nó đã di cư sang nơi khác.

Để hiểu bài báo công cụ chính là giải tích cổ điển được Weinberger sử dụng rất tinh vi và nhuyễn.

Luận văn của Nguyễn Hữu Trí cố gắng tìm hiểu và làm sáng tỏ thêm vài ý trong bài báo của Weinberger. Tuy vậy luận văn có nhiều điểm khá lủng củng.

One response »

  1. Bài báo của H. F. Weinberger

    https://bomongiaitich.files.wordpress.com/2013/09/aandwsiam82.pdf

    Trong bài báo, trang 378, có đề cập đến Định lý hàm ẩn (Implicit Function Theorem) mà thực chất là Định lý hàm ngược và độ đo Gauss dương. Cụ thể ta xét mặt cong cho bởi phương trình

    D(x)=1

    có độ cong Gauss dương.

    Xét ánh xạ

    \tau(x)=\dfrac{1}{|grad D(x)|} grad D(x),

    trong đó grad D(x)=(D_1(x), \dots, D_n(x))^t, D_j(x)=\dfrac{\partial D(x)}{\partial x_j}.

    Cố định một điểm x_0 trên mặt cong. Độ cong Gauss tại điểm x_0 dương nói rằng đạo ánh của \tau tại điểm x_0 là ánh xạ tuyến tính là song ánh trong không gian tiếp xúc T_{x_0} với mặt cong ban đầu tại x_0.

    Để sử dụng Định lý hàm ngược cho
    D(x)\tau(x)=\xi
    tại điểm x_0 ta cần chứng minh đạo ánh

    (D.\tau)'(x_0)=  grad D(x_0) \tau(x_0) + \tau'(x_0)

    là xong ánh trong \mathbb R^n=T_{x_0}+ \mathbb R grad D(x_0).

    Chú ý grad D(x_0) là véc-tơ pháp tuyến của mặt cong ban đầu tại x_0 nên đạo ánh (D.\tau)'(x_0) là song ánh trong không gian tiếp xúc T_{x_0}. Ngoài ra \tau'(x_0) có hạng (n-1) và là song ánh trong không gian tiếp xúc T_{x_0} nên có véc-tơ dạng

    grad D(x_0) + \nu

    nằm trong hạt nhân của \tau'(x_0).

    Khi đó ảnh của véc-tơ trên qua đạo ánh (D.\tau)'(x_0)
    grad D(x_0)|grad D(x_0)|^2\not\in T_{x_0}.

    Từ đó ta có điều phải chứng minh!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s