Chuyển về dạng chính tắc PTĐHR tuyến tính cấp 2

Standard

Để chuyển phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 hai biến

au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}+F(x, y, u, u_x, u_y)=0

ta thường dùng phương trình đặc trưng

a(dy)^2-2bdxdy+c(dx)^2=0.

Tuy nhiên việc dùng phương trình đặc trưng trên sẽ gặp khó khăn nếu ta tăng số biến. Lúc đó việc giải phương trình đặc trưng là khó ngay cả khi hệ số hằng.

Hôm 26/07/2012, tôi có trình bày ở lớp hè 2012 về việc chuyển về dạng chính tắc của phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 ba biến với hệ số hằng

u_{xx}+2u_{yy}+3u_{zz}-2u_{xz}+2u_{yz}+u_x+u_y=0.

Tôi đã chuyển sang việc chéo hóa ma trận đỗi xứng tương ứng

A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\    0 & 2 & 1\\    -1 & 1 & 3\end{bmatrix}.

Để chéo hóa ta tìm giá trị riêng, nghiệm của đa thức đặc trưng

-\lambda^3+6\lambda^2-9\lambda+3=0.

Đa thức này có nghiệm khá lẻ nên các bước sau tôi chỉ làm mang tính lý thuyết.

Có cách đơn giản hơn: dùng phương pháp Lagrange “chuyển dạng toàn phương về dạng chính tắc”.

Ma trận đối xứng A tương ứng với dạng toàn phương

x^2+2y^2+3z^2-2zx+2yz.

Không khó khăn gì, bằng việc dồn lại thành các bình phương, dạng toàn phương trên có dạng

(x-z)^2+2(y+\dfrac{z}{2})^2+\dfrac{3}{2}z^2.

Bằng việc chuyển sang biến mới

X=x-z, Y=y+\dfrac{z}{2}, Z=z

ta thu được dạng toàn phương chính tắc

X^2+2Y^2+\dfrac{3}{2}Z^2.

Tuy nhiên đây chưa phải là phép đổi biến để chuyển phương trình đạo riêng đang xét ở trên về dạng chính tắc. Để có phép đổi biến này ta viết lại

x=X+Z, y= Y-\dfrac{Z}{2}, Z=z

có ma trận chuyển

T=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\    0 & 1 & -\frac{1}{2}\\    0 & 0 & 1\end{bmatrix}.

Tính toán ta được

T^t A T=    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\    0 & 2 & 0\\    0 & 0 & \frac{3}{2}\end{bmatrix}.

Phép đổi biến

\xi=\xi(x, y, z),

\eta=\eta(x, y, z),

\zeta=\zeta(x, y, z)

có ma trận Jacobi

\dfrac{D(\xi, \eta, \zeta)}{D(x, y, z)}=    \begin{bmatrix} \xi_x & \eta_x & \zeta_x\\    \xi_y & \eta_y & \zeta_y\\    \xi_z & \eta_z & \zeta_z\end{bmatrix}=    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\    0 & 1 & -\frac{1}{2}\\    0 & 0 & 1\end{bmatrix}.

Từ đó ta có hệ phương trình vi phân cấp 1:

\xi_x=1, \xi_y=0, \xi_z=0,

\eta_x=0, \eta_y=1, \eta_z=0,

\zeta_x=1, \zeta_y=-\dfrac{1}{2}, \zeta_z=1.

Phép đổi biến cần tìm

\xi=x, \eta=y, \zeta=x-\dfrac{1}{2}y+z.

Qua phép đổi biến này phương trình vi phân đạo hàm riêng xét ở trên chuyển về dạng chính tắc

u_{\xi\xi}+2u_{\eta\eta}+\dfrac{3}{2}u_{\zeta\zeta}+u_\xi+u_\eta+\dfrac{1}{2}u_\zeta=0.

5 responses »

  1. Với phương trình vi phân đạo hàm riêng hai biến ta cũng có thể dùng phương pháp Lagrange như trên.

    Chẳng hạn xét phương trình dạng hyperbolic
    u_{xx}+4u_{xy}+3u_{yy}+u_x-u_y=0.

    Đầu tiên ta chuyển sang dạng toàn phương:
    x^2+4xy+3y^2=(x+y)(x+3y).

    Đổi biến
    X=x+y, Y=x+3y hay x=\dfrac{3}{2}X-\dfrac{1}{2}Y, y=-\dfrac{1}{2}X+\dfrac{1}{2}Y.

    Ma trận chuyển
    T=\begin{bmatrix} \dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{2}\\ -\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\end{bmatrix}.

    Phép đổi biến cần tìm
    \xi=\xi(x, y), \eta=\eta(x, y)

    thỏa mãn hệ phương trình vi phân
    \begin{bmatrix} \xi_x & \eta_x\\ \xi_y&\eta_y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{2}\\ -\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\end{bmatrix}.

    Phép đổi biến
    \xi=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}y, \eta=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y

    và phương trình chính tắc
    u_{\xi\eta}+2u_\xi+u_\eta=0.

    Ta cũng có thể chuyển sang dạng chính tắc khác của phương trình hyperbolic trên nhờ
    x^2+4xy+3y^2=(x+2y)^2-y^2.

    Đổi biến
    X=x+2y, Y=y hay x=X-2Y, y=Y.

    Ma trận chuyển
    T=\begin{bmatrix} 1 &-2\\ 0 & 1\end{bmatrix}.

    Phép đổi biến cần tìm
    \xi=\xi(x, y), \eta=\eta(x, y)

    thỏa mãn hệ phương trình vi phân
    \begin{bmatrix} \xi_x & \eta_x\\ \xi_y&\eta_y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -2\\ 0 & 1\end{bmatrix}.

    Phép đổi biến
    \xi=x, \eta=-2x+y

    và phương trình chính tắc
    u_{\xi\xi}-u_{\eta\eta}+u_\xi-3u_\eta=0.

  2. Trong đề thi số 6 của kỳ thi giữa kỳ lớp hè 2012 có bài chuyển về dạng chính tắc

    2u_{xx}+4u_{yy}+u_{zz}-4u_{xy}+2u_{xz}+

    +u_y+u_z=0.

    Ta xét dạng toàn phương

    2x^2+4y^2+z^2-4xy+2xz=(x-2y)^2+(x+z)^2

    nên phương trình đạo hàm riêng ban đầu có dạng parabolic.

    Đổi biến

    X=x (tùy ý sao cho phép đổi biến không suy biến),

    Y=x-2y, Z= x+z

    hay

    x=X, y=\dfrac{1}{2}(X-Y), z=Z-X.

    Phép đổi biến cần tìm

    \xi=\xi(x, y, z),
    \eta=\eta(x, y, z),
    \zeta=\zeta(x, y, z)

    thỏa mãn hệ phương trình vi phân

    \begin{bmatrix} \xi_x & \eta_x & \zeta_x\\ \xi_y & \eta_y & \zeta_y \\ \xi_z & \eta_z & \zeta_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{bmatrix}

    nên

    \xi= x + \dfrac{1}{2}y-z,
    \eta=-\dfrac{1}{2}y,
    \zeta=z.

    Khi đó dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng ban đầu

    u_{\eta\eta}+u_{\zeta\zeta}-\dfrac{1}{2}u_\xi+u_\zeta=0.

  3. thầy cho e hỏi dạng toàn phương của phương trình 3 biến uxx+uyy+uzz+2uxy+2uxz+2uzy=0 có dạng {x+y+z}^2 thì phương trình thuộc loại gì và cách đổi biến như thế nào ạ?

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s