Nguyên lý cực đại (tiếp)

Standard

Ở bài trước

https://bomongiaitich.wordpress.com/2011/07/06/nguyen-ly-c%E1%BB%B1c-d%E1%BA%A1i/

tôi đề cập đến nguyên lý cực đại liên quan đến hàm giải tích. Bài này tôi sẽ quan tâm đến nguyên lý cực đại của nghiệm của phương trình elliptic và nghiệm của phương trình parabolic.

Trong giải tích hàm biến thực ta đã biết một hàm liên tục xác định trên tập compact (trong \mathbb R^n, tập đóng và bị chặn) sẽ có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Vấn đề tiếp theo giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị bé nhất (GTNN) của hàm số đó bằng bao nhiêu, đạt được ở đâu? Phép tính vi phân giúp ta thu hẹp việc tìm kiếm:

-) hoặc GTLN (hay GTNN) đạt được ở điểm bên trong tập xác định thì

+ điểm đó là điểm dừng: nghĩa là đạo hàm cấp 1 theo bất kỳ hướng nào tại điểm đó cũng bằng 0,

-) hoặc GTLN (hay GTNN) đạt được trên biên.

Nguyên lý cực đại khẳng định rằng nếu hàm đã cho là nghiệm của phương trình elliptic hay parabolic thì chỉ có điều thứ hai xảy ra hoặc hàm đó là hằng số.

Hôm 16/08/2012 tôi có trình bày chứng minh nguyên lý cực đại cho trường hợp hàm điều hòa, nghiệm của phương trình Laplace, dựa trên công thức giá trị trung bình. Tuy nhiên tôi mắc phải một lỗi: nghiệm tôi dùng có dạng đặc biệt, xuất phát từ phương pháp tách biến! Như vậy tôi mới chỉ chứng minh được nghiệm dạng đặc biệt có công thức giá trị trung bình và nguyên lý cực đại. Tôi lại mắc thêm lỗi nữa dùng nguyên lý cực đại dẫn từ nghiệm đặc biệt để nói rằng bài toán biên Dirichlet chỉ có đúng một nghiệm dạng đặc biệt đó! “Vòng tròn luẩn quẩn”!

Để thoát khỏi vòng tròn trên, tôi phải chứng minh công thức giá trị trung bình không liên quan gì đến dạng nghiệm đặc biệt! Cách chứng minh sau được dẫn từ công thức Green trong tích phân:

Cho D là một miền mở, bị chặn, liên thông với biên S trơn từng khúc trong \mathbb R^2. Giả sử u: D\cup S\to\mathbb R liên tục trên D\cup S và điều hòa trên D, (x_0, y_0)\in DS_r, B_r lần lượt là đường tròn, hình tròn đóng tâm (x_0, y_0) với bán kính r đủ tốt để S_r\subset B_r\subset D.

Khi đó ta có công thức Green

\int\limits_{S_r}\frac{\partial u}{\partial n}(x, y)dS_r=\iint\limits_{B_r}(u_{xx}(x, y)+u_{yy}(x, y))dxdy=0

trong đó n(x, y) véc-tơ pháp tuyến ngoài, đơn vị tại điểm (x, y) trên S_r.

Chuyển sang tọa độ cực x=x_0+r\cos\theta, y=y_0+r\sin\theta

dS_r=rd\theta, \dfrac{\partial u}{\partial n}(x, y)=u_r(r, \theta)

ta được \int\limits_0^{2\pi}u_r(r, \theta)d\theta=0.

Tích phân theo r

\int\limits_0^Rdr\int\limits_0^{2\pi}u_r(r, \theta)d\theta=0

với R>0 sao cho S_R\subset D.

Đổi thứ tự lấy tích phân ta có công thức giá trị trung bình

u(x_0, y_0)=\dfrac{1}{2\pi R}\int\limits_{S_R}u(x, y)dS_R

với lưu ý

\int\limits_0^R u_r(r, \theta)dr=u(R. \theta)-u(x_0, y_0).

Từ công thức giá trị trung bình và tính liên thông của miền D dẫn đến nguyên lý cực đại của hàm điều hòa:

+) (nguyên lý cực đại yếu) GTLN và GTNN của hàm điều hòa đạt được ở trên biên S hay

\max\limits_{D\cup S}u(x, y)=\max\limits_S u(x, y),

\min\limits_{D\cup S}u(x, y)=\min\limits_S u(x, y);

+) (nguyên lý cực đại mạnh) nếu u đạt GTLN (hay GTNN) bằng M tại một điểm trong D thì u\equiv M.

Có thể nhìn thấy từ chứng minh trên nếu không giả thiết u là hàm điều hòa, nghĩa là nghiệm của phương trình Laplace, mà chỉ giả thiết nó là (hàm điều hòa dưới – subharmonic) nghiệm của bất phương trình

\Delta u(x, y)\ge 0, (x, y)\in D

thì công thức giá trị trung bình sẽ chuyển thành bất đẳng thức

u(x_0, y_0)\le\dfrac{1}{2\pi R}\int\limits_{S_R}u(x, y)dS_R.

Từ đó hàm điều hòa dưới chỉ có tính chất: GTLN của hàm đạt được trên biên và nếu nó đạt GTLN tại một điểm trong D thì nó là hằng số. Để dễ hình dung ta nhìn vào đồ thị của hàm một biến f(x)=ax^2+bx+c, a\ge 0 hay hàm hai biến u(x, y)=ax^2+by^2+cx+dy+e, a\ge 0, b\ge 0. Một cách tương tự ta có tính chất về GTNN cho hàm điều hòa trên.

Trở lại hàm điều hòa, từ nguyên lý cực đại ta có hai tính chất (liên quan đến tính đặt chỉnh)

-) bài toán biên Dirichlet có duy nhất nghiệm, nghĩa là nếu tìm được hai nghiệm thì chúng trùng nhau;

-) bài toán biên Dirchlet phụ thuộc liên tục vào điều kiện biên, nghĩa là nếu điều kiện biên thay đổi nhỏ thì nghiệm cũng thay đổi nhỏ!

Việc chứng minh các tính chất trên đơn giản: xét hiệu của hai nghiệm!

Kết hợp cả tính chất của hàm tính chất của hàm điều hòa dưới và hàm điều hòa trên ta cũng có thể khẳng định rằng bài toán biên

u_{xx}(x, y)+u_{yy}(x, y)=u^3(x, y), x^2+y^2<1

với điều kiện biên

u(x, y)=0, x^2+y^2=1

chỉ có nghiệm tầm thường.

Như vậy công thức giá trị trung bình giúp ta thấy được nguyên lý cực đại của hàm điều hòa, nghiệm của phương trình Laplace. Tuy nhiên nghiệm của phương trình elliptic sau

Lu=au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}+du_x+eu_y=0

với a, b, c, d, e là các hằng số thỏa mãn

b^2-ac<0, a>0

thì không có công thức giá trị trung bình.

Trước hết ta để ý

nếu u_{xx}(x, y)+u_{yy}(x, y)+du_x(x, y)+eu_y(x, y)>0 trong D

thì GTLN không thể đạt được trong D.

Vì nếu u đạt GTLN tại điểm (x_0, y_0)\in D thì

-) dọc theo phương trục hoành u(x, y_0) có cực đại tại điểm trong x_0 nên

u_x(x_0, y_0)=0, u_{xx}(x_0, y_0)\le 0;

-) dọc theo phương trục tung u(x_0, y) có cực đại tại điểm trong y_0 nên

u_y(x_0, y_0)=0, u_{yy}(x_0, y_0)\le 0.

Từ đó ta có

u_{xx}(x_0, y_0)+u_{yy}(x_0, y_0)+du_x(x_0, y_0)+eu_y(x_0, y_0)\le 0

mâu thuẫn với giả thiết!

Bằng cách chuyển về dạng chính tắc ta cũng có

nếu Lu(x, y)>0 trong D

thì hàm u không đạt GTLN bên trong D.

Lưu ý tính chất này khác so với kết luận của nguyên lý cực đại: nghiệm của phương trình elliptic vẫn có thể đạt GTLN bên trong D nhưng lúc đó nó là hàm hằng!

Trước hết ta chứng minh nếu hàm u\in C(D\cup S) thỏa mãn bất đẳng thức

Lu(x, y)\ge 0 \; \forall (x, y)\in D

thì

\max\limits_{S\cup D}u(x, y)=\max\limits_S u(x, y).

Chọn w(x, y)=e^{\alpha x} với \alpha đủ lớn để

Lw(x, y)=(a\alpha^2+d\alpha)w(x, y)>0\; \forall (x, y)\in D.

Khi đó với mọi \epsilon>0

L(u+\epsilon w)(x, y)>0 \; \forall (x, y)\in D.

Theo lý luận trên có u+\epsilon w không thể đạt GTLN trong D nên

\max\limits_{S\cup D}(u+\epsilon w)(x, y)=\max\limits_S (u+\epsilon w)(x, y).

Ta được

\max\limits_S u(x, y)\le\max\limits_{S\cup D}u(x, y)\le\max\limits_S u(x, y) +\epsilon \max\limits_S w(x, y).

Cho \epsilon giảm về 0 ta được điều phải chứng minh. Lưu ý D, S là các tập bị chặn!

Bây giờ ta sẽ chứng minh nếu hàm u\in C(D\cup S) thỏa mãn bất đẳng thức

Lu(x, y)\ge 0 trong D

thì nếu u đạt GTLN bên trong D thì nó là hằng số.

Giả sử ngược lại, nghĩa là có hai điểm P, Q\in D để

u(Q)<M=u(P)u(x, y)\le M \forall (x, y)\in D\cup S.

Ta sẽ xây dựng một hàm

w(x, y)=e^{-\alpha[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2]}+C

với \alpha, (x_0, y_0), C được chọn để dẫn đến điểm mâu thuẫn. Việc chọn này khá hình học và kỹ thuật. Bạn đọc có thể xem trong bài của G. Sweers

maxprinc

Ta xét tiếp phương trình elliptic dạng

Lu(x, y)+hu(x, y)=0 trong D.

Nếu h<0 thì với u là nghiệm của phương trình elliptic trên có

+) (nguyên lý cực đại yếu)

\max\limits_{S\cup D} u(x, y)\le\max\limits_S u^+(x, y),

\min\limits_{S\cup D} u(x, y)\ge\min\limits_S u^-(x, y),

trong đó u^+(x, y)=\max\{u(x, y), 0\}, u^-(x, y)=\min\{u(x, y), 0\};

+ (nguyên lý cực đại) nghiệm u đạt GTLN (hay GTNN) không âm (không dương) trong D thì nó là hằng số.

Từ đó ta cũng có tính duy nhất nghiệm cũng như tính phụ thuộc liên tục vào điều kiện biên.

Nếu h>0 nói chung nghiệm của phương trình elliptic trên không có nguyên lý cực đại như cách phát biểu ở trên. Chẳng hạn hàm u(x, y)=\sin x \sin y

+) là nghiệm của phương trình elliptic

u_{xx}(x, y)+u_{yy}(x, y)+2u(x, y)=0 trong D=(0, \pi)\times(0, \pi),

+) không là hằng số và đạt GTLN bằng 1 tại (\pi/2, \pi/2) trong D.

Mặc dù không có nguyên lý cực đại nhưng trong trường hợp 0<h<2 bài toán biên Dirichlet cho phương trình

u_{xx}(x, y)+u_{yy}(x, y)+hu(x, y)=0 trong D=(0, \pi)\times(0, \pi)

vẫn có duy nhất nghiệm!

Ta chuyển sang nguyên lý cực đại cho phương trình parabolic

u_t(x, y, t)-Lu(x, y, t)=0 trong D_T=D\times(0, T],

trong đó Lu(x, y, t)=au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}+du_x+eu_y như phần elliptic bên trên.

Ta cũng có nhận xét:

nếu u_t(x, y, t)- Lu(x, y, t)>0 trong D_T

thì hàm u(x, y, t) không đạt GTLN bên trong D_T.

Thật vậy, giả sử  u(x, y, t)  đạt GTLN tại (x_0, y_0, t_0)\in D_T.

Khi đó theo (x, y) ma trận Hessian

A=-\begin{bmatrix}u_{xx}(x_0, y_0, t_0)& u_{xy}(x_0, y_0, t_0)\\ u_{xy}(x_0, y_0, t_0) & u_{yy}(x_0, y_0, t_0)\end{bmatrix}

xác định dương.

Lại có ma trận

B=\begin{bmatrix}a& b \\ b & c\end{bmatrix}

là xác định dương

nên ma trận tích BA cũng xác định dương.

Từ đó vết của ma trận BA

tr(BA)=-Lu(x_0, y_0, t_0)\ge 0.

Nếu 0<t_0<T thì (x_0, y_0, t_0) là điểm dừng hay

u_t(x_0, y_0, t_0)=0.

Do đó u_t(x_0, y_0, t_0)-Lu(x_0, y_0, t_0)\ge 0. Trái với giả thiết.

Nếu t_0=T thì theo t hàm u không giảm tại (x_0, y_0, t_0) hay

u_t(x_0, y_0, t_0)\ge 0.

Do đó u_t(x_0, y_0, t_0)-Lu(x_0, y_0, t_0)\ge 0. Trái với giả thiết.

Nhận xét: hàm w(x, y, t)=tw_t-Lw=1>0

nên bằng cách nhiễu như trong trường hợp elliptic ta cũng có nguyên lý cực đại yếu cho nghiệm của phương trình parabolic

u_t-Lu=0 trong D_T

\max\limits_{S_T\cup D_T}u=\max\limits_{S_T}u\min\limits_{S_T\cup D_T}u=\min\limits_{S_T}u,

trong đó S_T=D\times\{0\}\cup S\times [0, T].

Từ đó ta cũng có tính duy nhất nghiệm và tính phụ thuộc liên tục vào điều kiện biên và điều kiện ban đầu cho phương trình parabolic. Lưu ý thêm, ta có thể làm gần giống trên khi T=+\infty.

Để có nguyên lý cực đại mạnh cho phương trình parabolic bạn đọc tham khảo ở bài sau của Kuttler

547notesB

13 responses »

    • Tôi có cho một bài cụ thể trong bài viết trên:

      Chứng minh bài toán biên sau chỉ có nghiệm tầm thường

      u_{xx}(x, y)+u_{yy}(x, y)=u^3(x, y) khi x^2+y^2<1

      với điều kiện biên

      u(x, y)=0 khi x^2+y^2=0.

      Hoặc bài sau: chứng minh rằng nghiệm của phương trình

      u_{xx}(x, y)+u_{yy}(x, y)=u^2(x, y) khi (x, y)\in D(tập mở, liên thông, bị chặn trong mặt phẳng)

      hoặc không đạt GTLN trong D

      hoặc đồng nhất 0.

  1. em chào thầy thầy có thể giải chi tiết cho bọn em hai bài trên
    không ạ ! để bọn em có thể hiểu rõ ràng hơn về việc áp dụng nguyên lý cực đại việc giải quyết bài toán ạ

    Em đã cố gắng giải nhưng chưa làm được ạ
    em vẫn bối rối và chưa thể áp dụng nguyên lý cực đại vào để giải bài toán ạ
    mong thầy giải mẫu giúp chúng em ạ
    cảm ơn thầy !

      • Thầy cho em hỏi : “Một hàm( nhiều biến) liên tục trên 1 tập đóng D thì nó đạt GTLN và GTNN trên biên của D” đúng hay sai?

      • Đúng hay sai phụ thuộc vào tính chất của hàm. Nếu giả thiết thêm hàm đã cho là hàm điều hòa thì câu trả lời là đúng. Một ví dụ đơn giản của hàm điều hòa là hàm tuyến tính.

        Một ví dụ khác để thấy hàm liên tục có thể không đạt GTNN trên biên:
        f: D=\{(x, y)|\; x^2+y^2\le 1\}\to \mathbb R, f(x, y)=x^2+y^2.

        Một ví dụ nữa để thấy hàm liên tục có thể không đạt GTLN trên biên:
        f: D=\{(x, y)|\; x^2+y^2\le 1\}\to \mathbb R, f(x, y)=-(x^2+y^2).

        Em thử nghĩ xem có hàm nào vừa không đạt GTLN vừa không đạt GTNN trên biên?

    • Vẫn có thể giải được khi các điều kiện này không phụ thuộc vào thời gian. Tôi nhớ đã chữa trên lớp một vài bài kiểu này.

  2. Thầy xem giúp em bài 〖:u〗_xx+ u_yy=0
    u(0,y) = 0, u_y (x,0)=0 (0<x<a)
    u(a,y) = f(y) = {■(1 nếu 0<y<b@0 nếu b<y)
    em giải ra nghiệm u(x,y) = A_0 x+ ∫_0^∞▒〖A(k)(e^(-kx) 〗- e^kx)cosky dk có đúng không ạ?

    • Những gì cần giúp có lẽ tôi đã giúp trong lúc học! Từ giờ đến khi kiểm tra cuối kỳ xong tôi xin phép không trả lời những câu hỏi kiểu này.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s