Chuỗi Fourier của hàm liên tục

Standard

Trong giáo trình Giải tích cho sinh viên, khi nói về sự hội tụ của chuỗi Fourier ta thường nhớ chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn f: \mathbb R\to \mathbb R tại điểm x sẽ hội tụ đến đúng f(x) khi f liên tục tại đó và thường không nhớ về điều kiện trơn từng khúc. Như vậy, ta thường có cảm giác chuỗi Fourier của hàm liên tục sẽ hội tụ điểm về đúng hàm đó! Dưới đây tôi sẽ chỉ ra rằng điều kiện “liên tục” không đảm bảo cho chuỗi Fourier “hội tụ điểm”!

Ta xét hàm f:\mathbb R\to \mathbb R liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2\pi và chuỗi Fourier của nó

\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))

với hệ số Fourier

a_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx, b_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx.

Dãy tổng riêng của chuỗi Fourier

S_n(f, x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^n (a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx))=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x-t)dt,

với nhân Dirichlet

D_n(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)} \; khi \; x\in[-\pi, \pi]\setminus\{0\},\\    2n+1 \; khi \; x=0.    \end{cases}

Dưới đây, tôi sẽ chỉ ra rằng tại bất kỳ điểm x_0\in\mathbb R đều có một hàm f liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2\pi mà dãy S_n(f, x_0) phân kỳ.

Bằng cách dịch chuyển g(x)=f(x-x_0), không làm mất tính liên tục và tuần hoàn, ta có thể giả sử x_0=0.

Có hai cách tiếp cận:

– thứ nhất: chỉ ra có một cách định tính,

– thứ hai: chỉ ra có bằng cách xây dựng (định lượng).

Cách tiếp cận thứ nhất của H. Lebesgue sử dụng Nguyên lý Banach-Steinhaus về tính bị chặn đều:

Cho X, Y là các không gian Banach và một họ \mathcal F các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y. Khi đó

nếu với mỗi x\in X tập \{Ax|\; A\in\mathcal F\} bị chặn trong Y (bị chặn điểm)

thì sẽ có một số dương C để

||A||=\sup\limits_{||x||\le 1}||Ax||\le C, \forall A\in\mathcal F.

Áp dụng Nguyên lý Banach-Steinhaus cho

X=\{f\in C[-\pi, \pi]|\; f(-\pi)=f(\pi)\} với chuẩn ||\varphi||_\infty=\max\limits_{x\in[-\pi, \pi]}|\varphi(x)| là không gian Banach (dựa vào nguyên lý Cauchy cho sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục); Y=\mathbb C là không gian các số phức,

\mathcal F là họ các toán từ

T_n: f \mapsto S_n(f, 0), n\in\mathbb N.

Ta sẽ chứng minh tập các chuẩn toán tử

||T_n||=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi |D_n(t)|dt=\dfrac{4}{\pi^2}\log n+O(1).

Khi đó tập này không bị chặn nên theo Banach-Steinhaus sẽ có một hàm f\in X sao cho tập \{T_nf\}_{n=1}^\infty không bị chặn, hay chuỗi Fourier không hội tụ tại x=0!

Cách làm trên mặc dù đã đưa ta đến điều cần chứng minh nhưng không cho ta cảm giác cầm được nó. Cách tiếp theo cho ta có cảm giác hơn về sự tồn tại.

Với mỗi n\in\mathbb N

||T_n||=\sup\limits_{\varphi\in X\atop ||\varphi||_\infty\le 1}S_n(\varphi, 0)=\dfrac{4}{\pi^2}\log n+O(1)

nên với n đủ lớn, ta luôn chọn được \psi_n\in X sao cho

||\psi_n||_\infty\le 1

S_n(\psi_n, 0)>\dfrac{1}{\pi}\log n.

Đặt

\varphi_n(x)=\sigma_{n^2}(\psi_n, x)=\dfrac{\sum\limits_{j=0}^{n^2}S_j(\psi_n, x)}{n^2+1}=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \psi_n(t)K_{n^2}(x-t)dt

với nhân Fejer

K_{n^2}(x)=\dfrac{1}{n^2+1}\Big(\dfrac{\sin((n^2+1)x/2)}{\sin(x/2)}\Big)^2.

Do ||\psi_n||_\infty\le 1

\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi K_{n^2}(t)dt=1, K_{n^2}(t)\ge 0

nên

|a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)|=\dfrac{1}{\pi}|\int\limits_{-\pi}^\pi \psi_n(t)\cos k(x-t)dt|\le 2,

||\varphi_n||_\infty=\sup\limits_{x\in\mathbb R}\dfrac{1}{2\pi}|\int\limits_{-\pi}^\pi \psi_n(t)K_{n^2}(x-t)dt|\le 1.

Lại có \varphi_n(x) là đa thức lượng giác bậc n^2

|S_n(\varphi_n, x)-S_n(\psi_n, x)|=\dfrac{1}{n^2+1}|\sum\limits_{k=1}^n k(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx))|\le

\le\dfrac{2\sum\limits_{k=1}^n k}{n^2+1}<2.

Khi đó

|S_n(\varphi_n, 0)|>\dfrac{1}{\pi}\log n -2.

Lấy \lambda_n=2^{3^n}, xét chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}\varphi_{\lambda_n}(\lambda_n x).

||\varphi_{\lambda_n}(\lambda_n x)||_\infty\le 1 nên theo Weierstrass chuỗi trên hội tụ đều đến hàm f(x) liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2\pi trên đường thẳng thực.

Ta sẽ chứng minh f là hàm cần tìm, nghĩa là dãy \{S_n(f, 0)\}_{n=1}^\infty phân kỳ.

Chú ý

\varphi_{\lambda_n}(\lambda_n x)=\sum\limits_{m=0}^{\lambda_n^2}\hat{\varphi}_{\lambda_n}(m)e^{i\lambda_n m x}

nên

với j\ge n+1, m\ge 1e^{i \lambda_j m x} là đa thức lượng giác trực giao với tất cả các đa thức

e^{i k x}, 0\le k\le \lambda_n^2=2^{2.3^n}<2^{3^{n+1}}=\lambda_{n+1}

\sum\limits_{j=1}^{n-1}\dfrac{1}{j^2}\varphi_{\lambda_j}(\lambda_j x)

là đa thức lượng giác bậc

\lambda_{n-1}^2<\lambda_n^2.

Do đó

S_{\lambda_n^2}(f, 0)=S_{\lambda_n^2}(\sum\limits_{j=1}^n\dfrac{1}{j^2}\varphi_{\lambda_j}(\lambda_j x), 0)+\sum\limits_{j=n+1}^\infty\dfrac{1}{j^2}\hat{\varphi}_{\lambda_j}(0)

=\sum\limits_{j=1}^{n-1}\dfrac{1}{j^2}\varphi_{\lambda_j}(0)+\dfrac{1}{n^2}S_{\lambda_n}(\varphi_{\lambda_n}, 0)+\sum\limits_{j=n+1}^\infty\dfrac{1}{j^2}\hat{\varphi}_{\lambda_j}(0).

Để ý rằng ||\varphi_j||_\infty\le 1 nên

|\varphi_j(0)|\le 1, |\hat{\varphi_j}(0)|\le 1.

Khi đó

|S_{\lambda_n^2}(f, 0)|>\dfrac{1}{n^2\pi}\log \lambda_n -3=\dfrac{3^n}{n^2\pi}-3.

Do đó S_{\lambda_n}(f, 0) phân kỳ khi n\to+\infty.

Cách tiếp cận ở trên, dựa vào cuốn

“An introduction to Harmonic Analysis”

của Y. Katznelson,

vẫn còn điểm chưa rõ ràng:

\psi_n(x) được xây dựng cụ thể như nào?

Cách xây dựng dưới đây của L. Fejer cho ta cảm giác cụ thể hơn như sau.

Với các số tự nhiên N>n>0 ký hiệu

Q(x, N, n)=2\sin(Nx)\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{\sin(kx)}{k}

=\dfrac{\cos(N-n)x}{n}+\dfrac{\cos(N-n+1)x}{n-1}+\dots +

+\dfrac{\cos(N-1)x}{1}-\dfrac{\cos(N+1)x}{1}-\dots-\dfrac{\cos(N+n)x}{n}

là đa thức lượng giác có các số hạng là các đa thức cosin có bậc chạy từ N-n đến N+n.

Dùng dấu hiệu Abel cho:

+) dãy \{1/n\}_{n=1}^\infty giảm dần đều theo x về 0,

+) chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty \sin(nx) có dãy tổng riêng bị chặn đều trên 1\le |x|\le \pi

nên chuỗi \sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{\sin(kx)}{k} hội tụ đều trên 1\le |x|\le \pi và do đó có dãy tổng riêng bị chặn đều bởi C_1.

Khi 0<|x|\le 1 chú ý

\sum\limits_{k=1}^M\dfrac{\sin(kx)}{k}=\sum\limits_{1\le k<1/x}\dfrac{\sin(kx)}{k}+\sum\limits_{1/x\le k\le M}\dfrac{\sin(kx)}{k}.

Khi 0<kx\le 1 thì |\sin(kx)|\le kx. Do đó

|\sum\limits_{1\le k<1/x}\dfrac{\sin(kx)}{k}|\le \sum\limits_{1\le k<1/x} x\le 1.

Khi 1\le kx\le k thì có số dương A, không phụ thuộc x, M,  để x\le A|\sin(x/2)|. Do đó

|U_n|=|\sum\limits_{1/x\le k\le n} \sin(kx)|\le \dfrac{2A}{x} với mọi 1/x\le n\le M.

Như vậy, theo cách của Abel

|\sum\limits_{1/x\le k\le M}\dfrac{\sin(kx)}{k}|=|\sum\limits_{1/x\le k\le M}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})U_k+\frac{U_{M+1}}{M+1}|\le 2A.

Khi đó

|\sum\limits_{1\le k\le M}\dfrac{\sin(kx)}{k}|\le \max\{C_1,1+2A\}

trong |x|\le \pi.

Do tính tuần hoàn chu kỳ 2\pi nên

\sum\limits_{1\le k\le M}\dfrac{\sin(kx)}{k} bị chặn đều trên \mathbb R.

Khi đó có số dương C để

|Q(x, N, n)|\le C, \forall x\in\mathbb R, N, n\in\mathbb N, n<N.

Chọn n_k=\dfrac{1}{2}N_k=2^{k^2}, \alpha_k=k^{-2}

N_k+n_k=3.2^{k^2}<2^{(k+1)^2}=N_{k+1}-n_{k+1}

\sum\limits_{k=1}^\infty\alpha_k=\sum\limits_{k=1}^\infty k^{-2}=\dfrac{\pi^2}{6} hội tụ.

Khi đó theo Weierstrass chuỗi

\sum\limits_{k=1}^\infty \alpha_k Q(x, N_k, n_k)

hội tụ đều đến hàm f trên \mathbb R.

Khi đó f: \mathbb R\to\mathbb R là hàm liên tục cần tìm.

Ta tính hệ số Fourier của hàm f.

+) Q(x, N_k, n_k) là đa thức lượng giác chỉ gồm các đa thức cosin nên

b_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(t)\sin(nt)dt

=\dfrac{1}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty \alpha_k\int\limits_{-\pi}^\pi Q(t, N_k, n_k)\sin(nt)dt

=0;

+) với k_1<k_2N_{k_1}+n_{k_1}<N_{k_2}-n_{k_2} nên các đa thức cosin trong Q(x, N_{k_1}, n_{k_1}) khác trong Q(x, N_{k_2}, n_{k_2}), do đó

– khi N_k-n_k\le n\le N_k+n_k thì

a_n=\dfrac{\alpha_k}{N_k-n}

– khi hoặc 0\le n<N_1-n_1 hoặc N_k+n_k<n<N_{k+1}-n_{k+1} thì

a_n=0.

Ta có

|S_{N_k+n_k}(f, 0)-S_{N_k}(f, 0)|=|\sum\limits_{n=N_k+1}^{N_k+n_k}a_n|

=\sum\limits_{n=1}^{n_k}\dfrac{\alpha_k}{n}

\ge \alpha_k \log n_k=1.

Như vậy dãy \{S_n(f, 0)\}_{n=1}^\infty không Cauchy nên không hội tụ.

Một ví dụ tương tự các bạn có thể xem trong

http://math.stackexchange.com/questions/2227/example-of-a-function-whose-fourier-series-fails-to-converge-at-one-point

Hàm liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2\pi thuộc vào L^2[0, 2\pi] nên chuỗi Fourier của nó, theo L.Carleson, hội tụ đến chính hàm liên tục h.k.n trên \mathbb R.

J. P. Kahane và Y. Katznelson chứng minh được với bất kỳ tập có độ đo không đều có một hàm liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2\pi mà chuỗi Fourier của nó phân kỳ tại mọi điểm trong tập có độ đo không đó.

Vậy nếu f là hàm liên tục, tuần hoàn thì từ các hệ số Fourier có phục hồi lại được hàm f không? L. Fejer đã trả lời khẳng định câu hỏi này bằng cách xây dựng tổng riêng Fejer

\sigma_n(f, x)=\dfrac{\sum\limits_{k=0}^n S_n(f, x)}{n+1}

=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(t)K_n(x-t)dt.

Dãy tổng riêng Fejer hội tụ đều đến hàm f.

Một kết quả thú vị khác của Pal-Bohr:

Với hàm f\in X. Chuỗi Fourier của f có thể không hội tụ tại một số điểm nhưng sẽ có một hàm liên tục, tăng chặt \varphi:[-\pi, \pi]\to [-\pi, \pi] sao cho chuỗi Fourier của fo\varphi hội tụ đều đến f.

Các bạn có thể xem kết quả này trong bài

“On the theorem of Bohr and Pal”, Bull. Amer. Math. Soc., 50 (1944) 579-580,

của R. Salem.

Đường link

Pal_Bohr_Salem

Sau đó J. P. Kahane và Y. Katznelson chỉ ra rằng có thể chọn hàm \varphi chung cho tất cả các hàm liên tục trong cùng một tập compact K\subset C(\mathbb T). Điều này các bạn có thể xem trong bài

“On  Bohr’s  T h e o r e m   for  Multiple  Fourier  Series”, Mathematical Notes, December 1998, Volume 64, Issue 6, pp 787-797,

của A.  A.  S a a k y a n.

Đường link

On Bohr’s T h e o r e m for Multiple Fourier Series

2 responses »

  1. Pingback: Nguyên lý bị chặn đều Steinhaus-Banach – Chuỗi Fourier | Giải tích

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s