Luận văn của Vũ Công Viên

Standard

Luận văn của Vũ Công Viên

Luan_van

tìm hiểu về bất đẳng thức Hardy có trọng trong trường hợp 1-chiều.

Bất đẳng thức Hardy được khởi nguồn từ G. H. Hardy vào năm 1920 với hai dạng

– Dạng rời rạc: với dãy các số không âm bất kỳ a_1, a_2, \dots, và số p>1 ta có
\sum_{n=1}^\infty\Big(\dfrac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\Big)^p\le \Big(\dfrac{p}{p-1}\Big)^p\sum_{n=1}^\infty a_n^p,
và dấu bằng xảy ra chỉ khi a_n=0, \forall n\ge 1.
– Dạng liên tục: với hàm đo được không âm f: (0, +\infty)\to \mathbb R và số p>1 ta có
\int_{0}^\infty\Big(\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt\Big)^pdx\le \Big(\dfrac{p}{p-1}\Big)^p\int_{0}^\infty f(x)^pdx,
và dấu bằng xảy ra chỉ khi f(x)=0, h.k.n trên (0, +\infty).
Hằng số \Big(\dfrac{p}{p-1}\Big)^p là tốt nhất được E. Landau chứng minh vào năm 1921.

Ngay sau đó, G. H. Hardy mở rộng bất đẳng thức dạng liên tục dưới dạng có trọng

\int_{0}^\infty\Big(\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt\Big)^px^\epsilon dx\le \Big(\dfrac{p}{p-1-\epsilon}\Big)^p\int_{0}^\infty f(x)^px^\epsilon dx,

với p>1, \epsilon<p-1,
và dạng liên hợp của nó

\int_{0}^\infty\Big(\frac{1}{x}\int_x^\infty f(t)dt\Big)^px^\epsilon dx\le \Big(\dfrac{p}{1+\epsilon-p}\Big)^p\int_{0}^\infty f(x)^px^\epsilon dx,

với p>1, \epsilon>p-1.

Vào những năm 1980, các nhà toán học mở rộng lớp trọng để có thể áp dụng được tốt hơn vào việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng. Luận văn của Vũ Công Viên tìm hiểu một vài điều trong trường hợp 1-chiều theo hướng này.

Gần đây, năm 2003, các tác giả G. Barbatis, S. Filippas, A. Tertikas đưa ra cách tiếp cận thống nhất cho các mở rộng của bất đẳng thức Hardy.

Các bạn có thể xem

0302326v1

7 responses »

  1. Pingback: Không gian W^s([0, infty)) khi 0<s<1- Bất đẳng thức Hardy | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s