Trao đổi bài giảng môn PT ĐHR lớp toán tin K56

Standard

Tôi sẽ sử dụng một số tài liệu để lấy bài tập như đã làm với khóa K55. Cụ thể các bạn có thể xem bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/01/31/trao-d%E1%BB%95i-bai-gi%E1%BA%A3ng-mon-pt-dhr-l%E1%BB%9Bp-toan-tin-k55a2a3/

Các bạn sinh viên muốn trao đổi thêm có thể viết vào phần phản hồi ngay dưới bài viết.

305 responses »

    • Đường link thứ 3 dẫn đến file đuôi djvu. Em lấy file đó về. Sau đó lấy phần mềm đọc file có đuôi djvu, chẳng hạn windjview.

    • Em có thể tìm lời giải trong các cuốn bài tập giải tích. Tôi xin phép không trả lời ở chỗ dành cho việc trao đổi môn phương trình đạo hàm riêng.

    • Để tính tích phân \int\frac{x^2+1}{x^4+1}dx em xem trong sách giáo trình giải tích cách tính nguyên hàm của phân thức. Cũng là một dịp xem lại những thứ đã học và hạn chế hỏi những câu em tự tìm được lời giải. Khi tích phân ta cứ chia nhưng cuối cùng thử lại xem đạo hàm của kết quả có đúng không?

  1. em thưa thầy !
    em là sinh viên k56a2 toán tin ạ .
    em được nhóm phân công làm bài 1 trong đề thi giữa kỳ k55a2 nhóm 4 ạ.
    nhưng em chỉ làm được pt dang elipse thui ạ. em viết dạng pt đặc trưng của nó thì vô nghiệm ạ.
    em tìm và đọc trong sách của thầy Hợp có nói qua về dạng này nhưng em không hiểu lắm về cái nghiệm liên hợp của nó ý ạ?
    thầy có thể giảng và nói rõ cho em hiểu để em có thể làm tốt bài tập này được không ạ?
    em cảm ơn thầy nhiều ạ !

    • Nếu là dạng elliptic thì phương trình đặc trưng có nghiệm phức chứ không phải vô nghiệm. Cụ thể, bài 1 đề giữa kỳ nhóm 4 K55A2 yêu cầu chuyển về dạng chính tắc phương trình
      (4+y^2)u_{xx}-2yu_{xy}+u_{yy}+xu_x-(x^2-y)u_y=0.
      Phương trình đặc trưng
      (4+y^2)dy^2-2ydxdy+dx^2=0
      có hai nghiệm
      (y\pm 2i)dy=dx.
      Đến đây em tích phân hai vế.
      Phần còn lại em tự làm nhé.

  2. Em thưa thầy, cho em hỏi. Bài tập ptđhr thầy cho các nhóm chiều thứ 3 thầy cho về ghi là “bài tập chuyển về dạng chính tắc” nhưng có một số bài đề bài đã ở dạng chính tắc rồi như bài 12, 13 sách giáo trình và bài 4.10, 4.11, 4.15 trong quyển thầy cho trên kia thì mình phải tìm nghiệm tổng quát ạ? Nếu thế thì bài 1 trong các đề thi giữa kỳ các nhóm phải làm đủ các ý ạ?
    Em cảm ơn thầy.

    • Tôi nghĩ những thứ như này không cần phải hỏi? Em đọc đề bài xem bài yêu cầu phải làm những gì. Làm đầy đủ yêu cầu đề bài ra thì mới có thể đạt điểm tối đa.

    • Tôi đã gửi tờ bài tập cho lớp trưởng các lớp K56 toán tin. Nếu em là sinh viên các lớp đó thì em hỏi các bạn lớp trưởng.

  3. thầy cho em hỏi là phương trình dạng elliptic thì khi đưa về dạng chính tắc sẽ chỉ phụ thuộc vào Vξξ, Vηη, Vη, Vξ, ξ, η còn nếu còn lại Vξη thì là sai ạ.

  4. em chào thầy. thầy có thể nói lại giúp em cái về cách đổi biến trong bài toán chuyển về dạng chính tắc của pt dạng ellip được không ạ. có phải khi tìm được nghiệm trong pt đặc trưng. em chỉ lấy 1 nghiệm rồi đặt ξ= phần thực của nghiệm, η= phần ảo của nghiệm phải k ạ.

    • Về cơ bản là đúng. Nhớ sau khi tìm được nghiệm của phương trình đặc trưng thì tích phân lên, chuyển phần chứa x, y về một bên, hằng số về bên kia, tiếp đến mới tách phần thực và phần ảo.

  5. Thưa thầy, thầy có thể dịch giúp em đề bài của bài 4.11 trang 95, cuốn “An Introduction to Partial Differential Equations” không ạ? Em không hiểu rõ đề bài đó. Em cảm ơn thầy!

    • Bài này yêu cầu tìm t0 để P(10, t0) là GTLN của hàm P(10, t) rồi so sánh P(10, t0)và 6. Nếu lớn hơn 6 thì toà nhà sẽ bị sập, ngược lại thì không.

      Ý nghĩa của bài này, có một vụ nổ tạo ra áp suất P(x, t) thoả mãn bài toán Cauchy như trong đề ra. Có một toà nhà ở vị trí x0=10. Câu hỏi đặt ra, tại thời điểm nào áp suất của vụ nổ lên toà nhà là lớn nhất. Giả sử toà nhà chịu được áp suất tối đa là 6, nghĩa là áp suất lớn hơn 6 toà nhà sẽ sập. Câu hỏi tiếp liệu toà nhà có sập không?

    • Bài này yêu cầu tìm nghiệm của bài toán Darboux cho phương trình truyền sóng

      u_{tt}(x, t)-u_{xx}(x, t)=0

      với -\infty<x<+\infty,
      t>\max\{-x, x\},

      và các điều kiện biên

      u(t, t)=\phi(t), t\ge 0,
      u(-t, t)=\psi(t), t\ge 0.

      Câu b yêu cầu chứng minh tính đặt chỉnh.

      Gợi ý: câu a, các bạn chuyển về dạng chính tắc, tìm nghiệm tổng quát rồi áp vào các điều kiện biên để tìm nghiệm phụ thuộc vào \phi, \psi. Từ đó thấy rằng bài toán có nghiệm và nghiệm tìm được hoàn toàn xác định bởi điều kiện biên. Thế là hai điều kiện của tính đặt chỉnh thỏa mãn. Còn tính chất thứ 3 tạm thời để lại.

  6. thưa thầy, bài 4.12 sách của Y. Pinchover và J. Rubinstein có yêu cầu tìm nghiệm , ở đây điều kiện biên chỉ có u(0,t) mà không có u(1,t). Theo như em thấy cách làm là viết nghiệm dưới dạng tách biến không tầm thường , rồi sau đó dựa vào các điều kiện biên đó để có thể viết ra 1 họ nghiệm , cuối cùng là kiểm tra 2 điều kiện ban đầu để có thể tìm được nghiệm chính xác của bài toán. Nếu làm theo cách này thì em vẫn chưa ra. Thầy có thể gợi ý cho em bài toán này !

    • Bài này là bài toán trên nửa trục 0<x<\infty nên không có điều kiện gì về u(1 , t). Cũng không thể dùng tách biến để tìm chuỗi nghiệm mà nên dùng đẳng thức hình bình hành và công thức D'Alembert. Một cách khác dùng một nghiệm của phương trình
      v(x, t)=\dfrac{x+t}{1+x+t}

      để khử điều kiện biên, sau đó thác triển lẻ các điều kiện ban đầu rồi dùng công thức D’Alembert.

      • thưa thầy, em chọn cách dùng đẳng thức hình bình hành(hbh), khi chia trường hợp đến TH 2, khi 0<x_0<t_0 , không dùng được công thức Dalambe. Em đã xác định được 4 đỉnh của hbh (x_0,t_0),(t_0/2-x_0/2,t_0/2-x_0/2),(x_0/2+t_0/2,x_0/2+t_0/2),(0,t_0-x_0) , rồi sau đó áp dụng đến công thức hbh, nhưng đến lúc tính u(t_0/2-x_0/2,t_0/2-x_0/2),u(x_0/2+t_0/2,x_0/2+t_0/2) thì lại quên mất. Thầy có thể nhắc em đoạn này

  7. thầy cho e hỏi là e đưa được pt về dạng chính tắc là Vηη = Vη, nhưng e không biết làm thế nào biến đổi nó về nghiệm tổng quát. thầy giúp em với ạ

  8. thưa thầy !
    thầy có thể dịch giúp em bài 11 trang 121 và bài 3 trang 133 trong sách Pinsky được không ạ? em có tải về nhưng máy em không đọc được đuôi djvu ạ. em cảm ơn thầy nhiều ạ. em cài thử phần mềm đọc đuôi djvu nhưng không hiểu sao vẫn không được ý ạ. hic

  9. à, thầy ơi, thầy có thể để phần đề thi bằng file pdf hết được không ạ? một số đề và đáp án của thầy thầy viết tay nên chúng em khó tải về để xem lắm ạ.
    em cảm ơn thầy nhiều ạ.!

  10. ui, nhưng hôm ấy phải nộp bài rùi mà thầy? hic, mà em lại phải học từ tiết 1 tới tiết 9 cơ ạ. hic. :((

  11. em chào thầy. Thầy cho em hỏi bài 4.2 trang 93 trong sách Pinchover. thầy đã giải bằng nguyên lý hình bình hành. Em làm lại bằng cách thác triển lẻ các điều kiện trong bài toán. Nhưng kết quả lại không giống như làm theo nguyên lý hbh. Thầy có thể giải thích tại sao lại có điều đó và trong bài này ta làm theo cách nào là đúng được không ạ?
    Em cảm ơn thầy!

  12. Thầy cho em hỏi công thức D’Alembert cho phương trình truyền sóng không thuần nhất:
    u_{tt} = a^2u_{xx} + F(x, t),    -\infty<x 0  u(x, 0) = f(x) u_t(x, 0) = g(x)
    Em muốn hỏi công thức nghiệm cho bài toán trên như sau có đúng không:
    w(x, t) = \dfrac{f(x - at) + f(x + at)}{2} + \dfrac{1}{2a}\int\limits_{x - at}^{x + at}g(y)dy + \dfrac{1}{2a}\int\limits_{0}^{t}d\theta\int\limits_{x - a\theta}^{x + a\theta}F(\xi, \theta)d\xi

  13. Em thưa thầy cho em hỏi ký hiệu delta ngược mũ 2 trang 168 sách M.A.Pinsky nghĩa là gì ạ? Đoạn “frequencies of the separated solutions found in…” đề bài hỏi gì ạ?

    • Delta ngược đọc là “nabla”; còn

      \nabla^2=\Delta là toán tử Laplace.

      Cụ thể hơn

      \nabla^2 u= u_{xx}+u_{yy}.

      Còn “frequencies of the separated solutions …” là các tần số dao động của các nghiệm tách biến.

      Cụ thể, nghiệm tách biến của phương trình truyền sóng trong hai chiều (mô tả dao động của màng rung với biên cố định, như mặt trống) có dạng
      u_{mn}(x, y, t)=\sin(a_m x)\sin(b_n y)(A_{mn}\cos(\omega_{mn}t)+B_{mn}\sin(\omega_{mn}t))

      với \omega_{mn}=c(a_m^2+b_n^2)^{1/2} được gọi là tần số dao động.

      Em có thể xem thêm ở trang 159 đến 161.

    • Bài này yêu cầu tìm nghiệm dạng tách biến của bài toán u(x, t)=X(x)T(t). Khi đó từ phương trình ta thu được hai phương trình
      X^{(4)}(x)-CX(x)=0,
      T^{,,}(t)-CT(t).
      Các điều kiện biên cho ta
      X^{,,}(0)=X(0)=0,
      X^{,,}(a)=X(a)=0.
      Bước tiếp ta tìm các C để có nghiệm không tầm thường.

      Chú ý phương trình đặc trưng của
      X^{(4)}(x)-CX(x)=0

      \lambda^4-C=0.

      Khi C=k^4, k>0, phương trình đặc trưng có bốn nghiệm phân biệt
      k_{1,2}=\pm k, k_{3, 4}=\pm ik.
      Nghiệm tổng quát sẽ là
      X(x)=ae^{kx}+ be^{-kx}+c\cos(kx)+d\sin(kx).

      Khi C=-k^4, k>0, phương trình đặc trưng có bốn nghiệm phân biệt
      k_{1, 2, 3, 4}=\dfrac{k}{\sqrt{2}}(\pm 1\pm i).
      Nghiệm tổng quát lúc này
      X(x)=e^{\frac{kx}{\sqrt{2}}}(a\cos(\frac{kx}{\sqrt{2}})+b\sin(\frac{kx}{\sqrt{2}}))+e^{-\frac{kx}{\sqrt{2}}}(c\cos(\frac{kx}{\sqrt{2}})+d\sin(\frac{kx}{\sqrt{2}})).

      Khi C=0 nghiệm tổng quát đơn giản
      X(x)=ax^3+bx^2+cx+d.

      • thưa thầy, e vẫn chưa rõ vì sao có được 2 phương trình như trên từ pt ban đầu sau khi đặt u(x,t)=X(x).T(t)? Vế phải của pt thứ 2 là gì ạ?

      • Em thay u(x, t)=X(x)T(t) vào phương trình rồi chia cả hai vế cho X(x)T(t). Sau đó lý luận như trong các bài toán cho phương trình truyền sóng, truyền nhiệt là có hai phương trình đó. Tôi viết thiếu vế phải của phương trình thứ 2, và thiếu vận tốc lan truyền c:

        T^{,,}(t)+c^2CT(t)=0.

  14. thưa thầy, thầy có giao cho nhóm của em bài tập trong sách M.A.Pinsky là 14 ,15 , vậy cụ thể là ở trang bao nhiêu ạ ? Em ở nhóm 2!

  15. Thưa thầy trong phần bài tập về phương trình truyền nhiệt trong sách của Pisky từ ” relaxation time” xuất hiện khá nhiều lần thầy có thể giải thích nghĩa của từ này giúp em được không ạ, em cảm ơn thầy.

    • Về định nghĩa “relaxation time” được xác định nhờ công thức

      \dfrac{1}{\tau}=-\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{1}{t}\log|u(z, t)|

      trong đó u(z, t) là nghiệm của phương trình truyền nhiệt

      u_t(z, t)=Ku_{zz}(z, t), 0<z<L, t>0

      với hệ số khuếch tán K>0.

      Khi nghiệm có dạng

      u(z, t)=\sum\limits_{n=1}^\infty A_1 \phi_n(z)e^{-\lambda_n Kt}

      thì "relaxation time" được tính nhờ

      \tau=\dfrac{1}{\lambda_1K} nếu A_1\not=0.

      Ý nghĩa của "relaxation time" là khi t\to+\infty dáng điệu của u(z, t) giống dáng điệu của

      A_1\phi_1(z)e^{-t/\tau}.

      Có thể xem "relaxation time" qua việc xét bài toán sau

      u_t(z, t)=4u_{zz}(z, t), 0<z<\pi, t>0

      với điều kiện biên

      u(0, t)=u(\pi, t)=0,

      và điều kiện ban đầu

      u(x, 0)=x.

      Khi đó chuỗi nghiệm

      u(x, t)=\sum\limits_{n=1}^\infty A_n\sin(nx)e^{-4n^2t}

      với

      A_n=\dfrac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi x\sin(nx)dx.

      A_1=2\not=0 nên "relaxation time"

      \tau=\dfrac{1}{4}.

    • Đoạn trên tôi chỉ hiểu lơ mơ về việc họ mô tả quá trình xảy ra phản ứng trong một ống gel. Trong ống gel có chứa enzyme. Người ta cho chất cần nhận biết vào ống gel. Chất này khuếch tán vào ống gel với mật độ vào thời điểm t, vị trí x trong ống gel là S(x, t). Khi vào ống gel, chất này tương tác với enzyme tạo ra sản phẩm có mật độ vào thời điểm t, vị trí x trong ống gel là P(x, t). Khi đó các hàm mật độ S(x, t), P(x, t) thỏa mãn hệ phương trình phi tuyến. Sau khi đơn giản hóa, hàm mật độ S(x, t) thỏa mãn bài toán

      S_t(x, t)=DS_{xx}(x, t)-\dfrac{V}{K}S(x, t), 0<x<L, t>0

      với điều kiện biên

      S_x(0, t)=0, S(L, t)=S_0

      và điều kiện ban đầu

      S(x, 0)=0,

      trong đó D, V, K là các hằng số dương.

      Bài tập yêu cầu tìm nghiệm dừng(steady-solution) của bài toán trên sau đó tìm nghiệm của bài toán.

  16. Em thưa thầy cho em hỏi, trong phương trình truyền sóng xác định “the domain of dependence” của một điểm là xác định cái gì? Xác định và vẽ ra như thế nào ạ? Miền nói trên có ý nghĩa gì ạ?

    • “The domain of dependence” là miền phụ thuộc. Miền phụ thuộc của một điểm là một đoạn thẳng nằm trên trục Ox có hai đầu mút là giao của các đường đặc trưng đi qua điểm đã cho và Ox. Để tính giá trị của u tại điểm đã cho ta cần biết giá trị của hàm u tại hai đầu mút và đạo hàm theo t của u trên miền phụ thuộc của điểm đó. Điều này tôi đã giảng trên lớp vài lần rồi.

    • Bài 13, 14 sử dụng kết quả tìm được của bài 12.

      +Bài 13 lấy tổ hợp tuyến tính của một vài nghiệm của phương trình truyền nhiệt tìm được ở bài 12 ta sẽ thu được các nghiệm trong bài 13. Vấn đề của em lấy tổ hợp như nào? (Em tự làm nhé.)

      +Bài 14 trước hết tìm nghiệm dừng, nghĩa là tìm hàm v(z, t)=v(z) thỏa mãn
      0=Kv^{,,}(z)
      với các điều kiện biên
      v(0)=A_0, v(L)=0.
      Sau đó đặt w=u-v ta có w thỏa mãn
      w_t=Kw_{zz}
      với các điều kiện biên
      w(0, t)=A_1\cos(2\pi t/\tau), w(L, t)=0.

      Đến đây ta chọn w có dạng tổ hợp tuyến tính thích hợp của các nghiệm trong bài 13, rồi dùng các điều kiện biên để tính các hệ số. Lưu ý điều kiện biên
      w(0, t)=A_1\cos(2\pi t/\tau)
      chính là gợi ý việc chọn.

      • Hôm qua có bạn hỏi tôi về bài 14. Bạn đó lập chuỗi nghiệm

        w(z, t)=\sum (...\cos()+..\cos)

        là tổ hợp tuyến tính của các hàm

        e^{cz}\cos(\beta t+cz), e^{-cz}\cos(\beta t-cz).

        Lý do điều kiện biên
        w(0, t)=A_1\cos(2\pi t/\tau).

        Tuy nhiên trong các hàm

        e^{cz}\sin(\beta t+cz), e^{-cz}\sin(\beta t-cz)

        cũng chứa \cos(\beta t)!

        Vì vậy ở bài 14 ta nên lấy nghiệm là tổ hợp tuyến tính

        a_1e^{cz}\cos(\beta t+cz)+a_2e^{-cz}\cos(\beta t-cz)+
        +a_3e^{cz}\sin(\beta t+cz)+a_4e^{-cz}\sin(\beta t-cz).

        Dĩ nhiên cũng từ điều kiện biên \beta=2\pi/\tau.

        Khi đó thay vào các điều kiện biên, dùng đồng nhất hệ số ta thu được
        a_1+a_2=A_1,
        a_3+a_4=0,
        (a_1e^{cL}+a_2e^{-cL})\cos(cL)+(a_3e^{cL}-a_4e^{-cL})\sin(cL)=0,
        (-a_1e^{cL}+a_2e^{-cL})\sin(cL)+(a_3e^{cL}+a_4e^{-cL})\cos(cL)=0.

    • Bài này có phương trình không thuần nhất. Đầu tiên tìm chuỗi nghiệm cho bài toán thuần nhất bằng phương pháp tách biến, chú ý không dùng điều kiện ban đầu. Sau đó thay đổi để được chuỗi nghiệm cho bài toán ban đầu. Tiếp đến phân tích các hàm A\cos(\alpha t), 1+\cos^2(\pi x) thành chuỗi. Rồi đồng nhất hệ số ta được các bài toán Cauchy cho các hàm T_n. Phần này tôi đã dạy trên lớp khá chi tiết.
      Một cách khác, em dùng hàm v(x, t)=v(t) thoả mãn phương trình để khử phần không thuần nhất.

    • Bài 19 em thay

      u_n(x, y, t)=(\sin(\frac{4\pi n d_1}{L\sqrt{3}})+\sin(\frac{4\pi n d_2}{L\sqrt{3}})+\sin(\frac{4\pi n d_3}{L\sqrt{3}}))\cos(\omega t)

      vào bài toán

      u_t(x, y, t)=u_{xx}(x, y, t)+u_{yy}(x, y, t)

      với điều kiện biên giá trị của u(x, y, t) bằng không trên các cạnh của tam giác đều

      0<y<x\sqrt{3}, 0<y<\sqrt{3}(L-x)

      gồm ba cạnh

      y=0, y=x\sqrt{3}, y=\sqrt{3}(L-x).

      Từ đó tìm ra \omega.

      Chú ý ta có tổng ba góc

      \dfrac{4\pi n d_1}{L\sqrt{3}}+\dfrac{4\pi n d_2}{L\sqrt{3}}+\dfrac{4\pi n d_3}{L\sqrt{3}}=2\pi.

      Bài 20 em cho n=1, t=0 rồi giải phương trình

      u_1(x, y, t)=0

      để tìm d_3 khi d_1>0, d_2>0.

      Chú ý ta có đẳng thức lượng giác

      \sin A+\sin B+\sin C=4\cos(A/2)\cos(B/2)\cos(C/2)

      với A, B, C là ba góc trong một tam giác.

  17. Thầy ơi thầy cho e hỏi khi nào thì phải khử nghiệm dừng và khử nghiệm dừng khi mà f0(x) không những phu thuộc vào x mà còn phụ thuộc cả vào t nữa.

    • Khi các điều kiện biên không thuần nhất thì phải khử sự không thuần nhất. Vấn đề có thể dùng nghiệm dừng để khử được hay không?

      Nếu các điều kiện biên phụ thuộc vào thời gian rất khó dùng nghiệm dừng để khử.

      Nếu các điều kiện biên không phụ thuộc vào thời gian ta có thể dùng nghiệm dừng để khử.

      Trong trường hợp cả phương trình cũng không thuần nhất, chứa số hạng f(x, t) thì ta làm các bước:

      + khử điều kiện biên thành thuần nhất, ta thu được bài toán mới,

      + tìm chuỗi nghiệm của bài toán mới bằng phương pháp tách biến cho trường hợp phương trình thuần nhất,

      + tìm chuỗi nghiệm cho bài toán mới,

      + phân tích phần không thuần nhất của phương trình và điều kiện ban đầu thành chuỗi,

      + đồng nhất hệ số được các bài toán Cauchy cho T_n(t).

      Cuối cùng là giải!

      Chắc đọc xong em vẫn thấy khó hiểu? Tốt nhất em cho tôi một bài toán cụ thể.

  18. Thưa thầy, thầy cho em hỏi đề bài câu b,c bài 9-trang 273 sách powers yêu cầu phải làm gì ạ? em dịch nhưng không hiểu đề ạ!

    • Em có nhầm trang (273)? Có phải bài 9/156? Nếu đúng thì
      -câu b yêu cầu thiết lập bài toán cho nghiệm trung gian w(x, t)=C(x, t)-v(x),
      -câu c yêu cầu giải bài toán thiết lập ở câu b.

  19. thưa thầy, bài 14 trang 184 sách M.A.Pinsky em đã tính ra được
    U_{mn}(x,y;t)=\sum_{n,m=1}^\infty\cos(\dfrac{n\pi x}{L})\cos(\dfrac{m\pi x}{L})(A_{mn}\sin(Ck(m,n)t)) với k(m, n)=\sqrt{m^2+n^2}\dfrac{\pi }{L}U_{00}(x,y;t)=ct với c là hằng số.

    Đến đây thầy có thể hướng dẫn em tìm $latexA_mn$ và hướng dẫn em bài 15.

  20. Bài này chỉ yêu cầu tìm nghiệm tách biến!

    Em viết
    U_{mn}(x, y, t)=\sum\limits_{m,n=1}^\infty ...

    là chưa đúng vì U_{mn}(x, y, t) là nghiệm tách biến nên cần bỏ dấu tổng đi.

    Như vậy em đã tìm được tất cả các nghiệm tách biến

    U_{mn}(x, y, t), U_{00}(x, y, t), m, n=1, 2, \dots.

    Đây chưa hết tất cả các nghiệm tách biến. Em còn thiếu
    U_{0n}(x, y, t), U_{m0}(x, y, t), m, n=1, 2, \dots.

    Yêu cầu của bài toán lúc này được giải quyết trọn vẹn.

    Dĩ nhiên sau đó chuỗi nghiệm của bài toán

    u(x, y, t)=\sum\limits_{m, n=0}^\infty U_{mn}(x, y, t).

    Bài 15 yêu cầu tìm 10 tần số dao động

    \omega_{mn}=ck(m,n)

    nhỏ nhất.

    PS. Chú ý khi viết công thức em để cách chữ “latex” và “công thức” một dấu cách.

    • vâng , đúng là em bị thiếu 2 trường hợp, nhưng với 1 điều kiện ban đầu như đề bài em vẫn thắc mắc chưa tính được A_{mn} , và với bài 15 thì ta chỉ cần tìm 10 tần số bé nhất ứng với các giá trị (m,n) tương ứng ví dụ như (m,n)=(1,1) ,(1,2),(2,1) đúng không thưa thầy ? Liệu có cần phải lắp vào phương trình truyền sóng để tính ?

      • Nếu không có điều kiện ban đầu thuần nhất
        u(x, y, 0)=0
        thì nghiệm tách biến phải là
        U_{m,n}(x, y, t)=\cos(...x)\cos(...y)(B_{mn}\cos(ckt)+A_{mn}\sin(ckt)).
        Khi có thêm điều kiện ban đầu thuần nhất ta tính được
        B_{mn}=0.

        Đến đây ta không tính A_{mn} mà cứ để nguyên!

        Chú ý nếu điều kiện ban đầu không thuần nhất, chẳng hạn
        u(x, y, 0)=1
        ta không thể dùng nó để tính nghiệm dạng tách biến!

        Còn về tần số em nhớ rằng còn các trường hợp (0, 0), (0, 1), (1, 0), (0, 2), \dots.

        Mà tôi cũng chưa hiểu tại sao em tính được nghiệm tách biến như vậy mà không dùng điều kiện ban đầu?

  21. thưa thầy!phương pháp tách biến dùng cho phương trình truyền nhiệt.đến chỗ
    a^2* X”/X = T’/T= c = const.
    làm sao để biết c 0 hay c = 0. hay mỗi bài là phải chia làm 3 TH ạ?

    • Tốt nhất em cứ chia thành ba trường hợp. Trước khi chia nhớ dùng các điều kiện biên và các điều kiện ban đầu thuần nhất (nếu có) để tính X(x) (hay X'(x)) tại các đầu mút và T(0) hoặc T'(0) (nếu có).

      Tốt hơn nữa, sau khi tính vài bài có thể rút ra được quy luật:

      -) với c nào, trong trường hợp điều kiện biên nào, ta mới có nghiệm tách biến không tầm thường?

      -) trong trường hợp điều kiện biên như vậy, chuỗi nghiệm sẽ là gì?

      Nói chung chuỗi nghiệm sẽ phụ thuộc vào chiều dài và các điều kiện biên!

    • Bài 9/108 nói về quá trình truyền nhiệt trong một bức tường có chiều dài 25cm và hệ số khuếch tán K, nghĩa là hàm nhiệt độ u(x, t) tại thời điểm t, vị trí x trong bức tường thỏa mãn phương trình truyền nhiệt
      u_t(x, t)=Ku_{xx}(x, t), 0<x<25

      với x=0 là điểm trên tường, bên trong nhà, có nhiệt độ u(0, t)=18^oC,
      x=25 là điểm trên tường, ngoài nhà, có nhiệt độ u(25, t)=-10^oC.

      Bài 9/108 yêu cầu tính dòng nhiệt đi qua mặt ngoài của tường, nghĩa là
      kv^{,}(25),
      trong đó
      (+)k=0.0016 cal/s-cm-^oC là hệ số dẫn nhiệt (conductivity),
      (+)v(x, t)=v(x) là nghiệm dừng của bài toán
      u_t(x, t)=Ku_{xx}(x, t), 0<x<25,
      và hai điều kiện biên không thuần nhất
      u(0, t)=18, u(25, t)=-10.

      Phần còn lại tôi đã dạy nên em tự làm nhé.

      Bài 12/109 yêu cầu tìm tất cả các nghiệm dạng
      u(x, t)=e^{\gamma z}e^{i\beta t}, \beta>0, \gamma là số thực,
      của phương trình
      u_t(x, t)=Ku_{xx}(x, t), 0<z<L, -\infty<t<+\infty.

      Em cứ thay vào rồi tìm mối quan hệ giữa \gamma\beta.

    • Bài 5/161 gồm ba câu.

      Câu a yêu cầu tìm nghiệm dừng của bài toán. Trong quá trình tìm sẽ thấy muốn có nghiệm dừng thì S_0=S_1. Lý do ở đây chính là Định luật bảo toàn, nghĩa là
      nhiệt đi ra đầu x=0
      u_x(0, t)=S_0
      bằng
      nhiệt đi vào đầu x=a
      u_x(a, t)=S_1.

      Câu b yêu cầu chứng minh các điều kiện biên đối với w(x, t)=u(x, t)-v(x), trong đó v(x) là nghiệm dừng tìm được ở câu a, là
      w_x(0, t)=w_x(a, t)=0.

      Câu c yêu cầu chứng tỏ hàm u(x, t)=A(kt+x^2/2)+Bx thỏa mãn phương trình truyền nhiệt
      u_t(x, t)=ku_{xx}(x, t).
      với A, B là các số thực bất kỳ.

      Sau đó tìm A, B để u(x, t) thỏa mãn hai điều kiện biên
      u_x(0, t)=S_0, u_x(a, t)=S_1.

      Tiếp theo, khi S_0\not=S_1 thì cái gì xảy ra cho u(x, t) khi cho t\to+\infty.

  22. Thầy có thể gợi ý cho em bài 2 đề GKHè2012-Đề 3, ở đây:
    u_{tt}(x,t)=u{xx}(x,t)-u_t(x,t)+t+t^2\cos{1006\pi x} trong phương trình truyền sóng có chứa u_t(x,t) và hàm f(x,t) phụ thuộc t vậy tìm nghiệm dừng như thế nào ?

    • Trước hết em tìm nghiệm tách biến của bài toán thuần nhất
      u_{tt}(x, t)=u_{xx}(x, t)-u_t(x, t)
      và điều kiện biên
      u_x(0, t)=u_x(2, t)=0(hai đầu tự do).

      Sau khi tìm hết tất cả các nghiệm tách biến
      u_0(x, t)=a_0t+b_0,
      u_n(x, t)=\cos(n\pi x/2)T_n(t)

      ta lập chuỗi nghiệm cho bài toán ban đầu
      u(x, t)=T_0(t)+\sum\limits_{n=1}^\infty T_n(t)\cos(n\pi x/2). (1)

      Việc tiếp theo là giải T_n(t), với chú ý nói chung sẽ không có
      T_n(t)=a_n\cos(n\pi t/2)+b_n\sin(n\pi t/2).

      Ta phân tích phần không thuần nhất ở phương trình

      f(x, t)=t+t^2\cos(1006\pi x)=f_0(t)+\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(t)\cos(n\pi x/2)

      và các điều kiện ban đầu

      u(x, 0)=0=g_0+\sum\limits_{n=1}^\infty g_n\cos(n\pi x/2),
      u_t(x, 0)=\cos^2(\pi x)=h_0+\sum\limits_{n=1}^\infty h_n\cos(n\pi x/2).

      Thay công thức chuỗi nghiệm (1) vào bài toán và các phân tích trên rồi đồng nhất hệ số ta sẽ được các bài toán Cauchy cho T_n(t) như sau.

      +) n=0 có
      T_0^{,,}(t)=-T_0^{,}(t)+t
      và các điều kiện ban đầu
      T_0(0)=0, T_0^{,}(0)=1/2.

      +) n=4 có
      T_4^{,,}(t)=-4\pi^2 T_4(t)-T_0^{,}(t)
      và các điều kiện ban đầu
      T_4(0)=0, T_4^{,}(0)=1/2.

      +) n=2012 có
      T_{2012}^{,,}(t)=-1006^2\pi^2 T_{2012}(t)-T_{2012}^{,}(t)+t^2
      và các điều kiện ban đầu
      T_{2012}(0)=0, T_{2012}^{,}(0)=0.

      +) Còn lại n\not\in\{0, 4, 2012\}
      T_n^{,,}(t)=-(n\pi/2)^2 T_n(t)-T_n^{,}(t)
      và các điều kiện ban đầu
      T_n(0)=0, T_n^{,}(0)=0.

      Phần còn lại em tự hoàn thiện nhé.

    • Bài 7/207 yêu cầu tìm nghiệm dừng của bài toán. Sau đó tìm nghiệm của bài toán ban đầu.

      Bài 18/208 yêu cầu kiểm tra hàm cho trước có phải là nghiệm của phương trình truyền nhiệt cùng với hai điều kiện biên của bài 17/208. Sau đó dùng hàm đó để khử điều kiện biên rồi giải bài toán trong bài 17/208.

      Hình như em muốn hỏi bài 17/208 chứ không phải bài 7/207? Bài 17/208 yêu cầu đưa ra lời giải thích vật lý cho việc nghiệm của bài toán đưa ra tăng theo thời gian.

    • Bài 17, 18/208 khá giống bài 5/161, bài bạn “tt” có hỏi lúc 11h37 sáng nay. Chú ý rằng u_x(x, t) cho ta biết dòng nhiệt đi ngược hướng dương của trục Ox. Khi đó u_x(0, t) dòng nhiệt đi ra ở đầu x=0, u_x(a, t) dòng nhiệt đi vào ở đầu x=a.

  23. thưa thầy cho em hỏi đối với bài toán uxx = 1/c2(utt +2k ut) 0<x<a,0<t
    với u(0,t)=u(a,t)= 0, 0<t và u(x,0) = f(x), ut(x,0)=0 ,0<x<a
    em dùng cách tìm nghiệm dừng nhưng v(x,t) = v(x) = 0. Khi đó u(x,t) = w(x,t), như thế bài toán lại trở về như ban đầu,
    thầy chỉ em cách làm khác được không ạ

    • Đúng vậy, nghiệm dừng của bài này v(x)=0! Lý do rất đơn giản, phương trình và các điều kiện biên của bài toán đều thuần nhất! Cũng cần chú ý thêm số hạng chứa u_t phụ thuộc vào nghiệm u(x, t) hoàn toàn khác với hàm f(x, t) chỉ phụ thuộc vào x, t mà không phụ thuộc nghiệm u(x, t).

      Như vậy ta không cần khử gì nữa mà dùng phương pháp tách biến để giải luôn. Ta tìm nghiệm tách biến không tầm thường
      u(x, t)=X(x)T(t)
      của phương trình thuần nhất
      u_{xx}=\dfrac{1}{c^2}(u_{tt}+2ku_t)
      và hai điều kiện biên thuần nhất
      u(0, t)=u(a, t)=0
      cũng như điều kiện ban đầu thuần nhất
      u_t(x, 0)=0.

      Chú ý ta không dùng điều kiện ban đầu không thuần nhất
      u(x, 0)=f(x)!
      Thay nghiệm tách biến vào ta được
      +) hai phương trình
      X^{,,}(x)=CX(x),
      T^{,,}(t)+2kT^{,}(t)=Cc^2T(t),
      +) hai điều kiện biên
      X(0)=X(a)=0,
      +) một điều kiện ban đầu
      T^{,}(0)=0.

      Giải ra em sẽ thấy để có nghiệm không tầm thường C=-(n\pi/a)^2.
      Khi đó
      X_n(x)=\sin(n\pi x/a)
      và phương trình đối với T_n(t)
      T_n^{,,}(t)+2kT^{,}(t)+(n\pi c/a)^2 T_n(t)=0.
      Chú ý k là số dương bé dùng để
      \Delta=k^2-(n\pi c/a)^2<0.
      Khi đó
      T_n(t)=e^{-kt}(a_n\cos(t\sqrt{(n\pi c/a)^2-k^2})+b_n\sin(t\sqrt{(n\pi c/a)^2-k^2})).
      Đến đây dùng điều kiện ban đầu T_n^{,}(t)=0 ta có b_n=0.
      Như vậy tất cả các nghiệm tách biến tìm được là
      u_n(x, t)=a_ne^{-kt}\cos(t\sqrt{(n\pi c/a)^2-k^2})\sin(n\pi x/a).
      Cuối cùng em lập chuỗi nghiệm
      u(x, t)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_ne^{-kt}\cos(t\sqrt{(n\pi c/a)^2-k^2})\sin(n\pi x/a).
      Dùng điều kiện ban đầu không thuần nhất còn lại của bài toán u(x, 0)=f(x) để tính a_n.

  24. Em thưa thầy!
    Thầy có thể hướng dẫn em làm bài 3 trang 169 sách Power không ạ?
    Trong ý (3) họ cho du/dx(a,t)=0, o<t thì cái điều kiện này là gì ạ?
    Em cảm ơn thầy!

    • Hình như em hỏi bài 3/167?
      Nếu đúng là bài này, thì nó có một điều kiện biên không thuần nhất
      u(0, t)=T_0 (không phụ thuộc thời gian t)
      nên trước tiên em phải khử điều kiện biên bằng nghiệm dừng v(x, t)=v(x) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt
      v^{,,}(x)=0
      và hai điều kiện biên
      v(0)=T_0, (từ u(0, t)=T_0)
      v^{,}(a)=0 (từ u_x(a, t)=0).

      Sau đó đặt w(x, t)=u(x, t)-v(x) thì w(x, t) thỏa mãn bài toán mới với phương trình và các điều kiện biên thuần nhất.

      Lúc này em dùng tách biến để giải w(x, t), cụ thể em tìm tất cả các nghiệm dạng w(x, t)=X(x)T(t).
      Thay vào phương trình truyền nhiệt có hai phương trình
      X^{,,}(x)=CX(x),
      T^{,}(t)=CkT(t)

      và hai điều kiện biên
      X(0)=0,
      X^{,}(a)=0.

      Phần còn lại em tự làm nhé.

    • Tôi nhầm khi ra đề. Không có các bài 13, 14 nào ở các trang 191-193. Như vậy nhóm 4 không có các bài này. Xin lỗi các bạn vì sự nhầm lẫn này.
      Nếu được các bạn làm bài 9/192 thay các bài không có trên.

      Tôi dịch tạm đề bài 9/192 như sau.
      Xét bài toán cho phương trình truyền nhiệt trên nửa trục
      C_t(x, t)=D(C_{xx}(x, t)-a^2C(x, t)), 0<x0,

      với các điều kiện biên
      C(0, t)=C_0, C(x, t)\to 0 khi x\to+\infty,
      và điều kiện ban đầu
      C(x, 0)=0.

      (a) Tìm nghiệm dừng của bài toán trên, nghĩa là tìm hàm v(x, t)=v(x) thỏa mãn
      v^{,,}(x)-a^2v(x)=0
      với
      v(0)=C_0, v(x)\to 0 khi x\to+\infty.

      (b) Thiết lập bài toán cho w(x, t)=u(x, t)-v(x).

      (c) Giải bài toán cho w(x, t) với chú ý w(x, t) chỉ bị chặn chứ không cần tiến về 0 khi x\to+\infty.

  25. thưa thầy thầy hướng dẫn giúp em bài 10 và 11 sách pinsky trang 108 – 109 được không ạ.Em không hiểu đề bài cũng như cách làm bài.

    Em cảm ơn thầy.

    • Bài 11/109 yêu cầu kiểm tra hàm cho trước là nghiệm của phương trình truyền nhiệt. Để kiểm tra em cứ thay trực tiếp hàm vào phương trình xem có đúng không.

      Bài 10/108 yêu cầu tìm nghiệm bị chặn (nghĩa là |u(z, t)|\le M) của bài toán biên với phương trình truyền nhiệt
      u_t(z, t)=Ku_{zz}(z, t), z>0, -\infty<t<+\infty,

      với điều kiện biên

      u(0, t)=A_0+A_1\cos(2\pi t/\tau)+....

      Trước hết em dùng phương pháp tách biến, nghĩa là tìm các nghiệm dạng u(z, t)=Z(z)T(t)
      của phương trình.
      Lưu ý là chỉ tìm nghiệm không tầm thườngbị chặn, nghĩa là

      +) Z(z)\not\equiv 0, T(t)\not\equiv 0,

      +) khi |t|\to+\infty hàm T(t) không tiến ra vô cùng,

      +) khi z\to+\infty hàm Z(z) không tiến ra vô cùng.

      Chi tiết em có thể xem ở trang 104, 105. Ở đó người ta xây dựng chuỗi nghiệm nhờ điều kiện ban đầu được phân tích dưới dạng chuỗi.

    • Bài 7 em dùng tách biến để tìm nghiệm không tầm thường u(x, t)=X(x)T(t) của bài toán thuần nhất tương ứng. Cụ thể em cho p_0=0. Sau đó em xem trang 219 để biết “eigenvalues, eigenfunctions” là những gì.

      Bài 8 yêu cầu tìm tần số dao động (tích của vận tốc lan truyền c và căn bậc hai của “eigenvalue”) nhỏ nhất trong các phần 7a, 7b.

  26. thưa thầy !
    thầy cho em hỏi bài tập 11 trang 121 sách pinsky ạ.
    với điều kiện ban đầu $ latex u(z,0) = T_3 $ và điều kiện biên là u(0,t) = T1,u(L,T)= T2 thì nghiệm của bài toán $ latex u_t =k.u_zz +r $ là nghiệm dạng chuỗi số $ latex u(z,t) = sum T_k (t)*sin(k*ii*x/L) $ hay u(z,t) = v(z,t) + w(z,t)+p(t) +x/L…… ấy ạ? nếu là trường hợp thứ nhất thì em khử T1,T2,T3 và r như thế nào ạ/
    em cảm ơn thầy nhiều ạ !

    • Có đúng em hỏi bài 11 trang 121? Bài này yêu cầu giải bài toán
      + phương trình truyền nhiệt
      u_t(z, t)=u_{zz}(z, t), 0<z0,
      với điều kiện biên
      u_z(0, t)=hu(0,t), .v.v?

      Liệu em có nhầm với bài nào không?

      • Để giải bài này trước hết em tìm nghiệm dừng v(z, t)=v(x), nghĩa là nghiệm của
        0=Kv^{,,}(z)+r,
        v(0)=T_1, v(L)=T_2.

        Sau đó đặt w(z, t)=u(z, t)-v(z). Khi đó w(z, t) thỏa mãn bài toán mới
        w_t(z, t)=Kw_{zz}(z, t)
        với hai điều kiện biên
        w(0, t)=w(L, t)=0
        và điều kiện ban đầu
        w(z, 0)=... (em tự tính nhé).
        Lúc này em dùng tách biến để tìm nghiệm w(z, t).
        Để tìm “relaxation time” của u(z, t) chính là tính “relaxation time” của w(z, t). Phần này em xem phản hồi ngày 07/03 cho bạn Nguyễn Quang Trung ở phía trên nhé.

      • em cảm ơn thầy nhiều ạ, nhưng hình như cái v(z,t) = v(x) mà thầy cho là của pt truyền sóng để mình khử điều kiện biên chứ ạ?

      • và thêm nữa là nghiệm dừng của pt 0= K.v”(x) + r mới đúng phải không ạ? có phải thầy viết nhầm thành v”(z) không ạ? nếu thầy viết đúng thì chắc là em hiểu sai chỗ này, thầy có thể nói lại giúp em được không ạ? em cảm ơn thầy nhiều ạ !

    • Bài này yêu cầu giải bài toán màng rung hình vuông, nghĩa là dao động xung quanh vị trị cân bằng của màng u(x, y, t) thỏa mãn phương trình truyền sóng
      u_{tt}(x, y, t)=c^2(u_{xx}(x, y, t)+u_{yy}(x, y, t)),
      0<x<L, 0<y<L
      và các điều kiện biên
      u(0, y, t)=u(L, y, t)=u(x, 0, t)=u(x, L, t)=0
      và các điều kiện ban đầu
      u(x, y, 0)=....

      Em sử dụng phương pháp tách biến, nghĩa là tìm tất cả các nghiệm dạng
      u(x, y, t)=X(x)Y(y)T(t)
      của phương trình truyền sóng và các điều kiện biên (không dùng các điều kiện ban đầu).
      Chi tiết em xem trang 159.
      Sau đó lập chuỗi nghiệm.
      Cuối cùng dùng các điều kiện ban đầu tìm hệ số của chuỗi nghiệm.

  27. Thưa thầy , bài 5.10 sach y.pin em làm ý a-tách biến; ý b-nghiệm dừng; ý c em ko biết làm thế nào. Thầy có chỉ cho em cách làm và cho em hỏi ysa, b em làm thế có đúng ko ạ?

    • Ý a tìm nghiệm bằng tách biến là đúng rồi.

      Ý b không phải nghiệm dừng hoàn toàn mà em vẫn dùng tách biến tìm nghiệm rồi tính giới hạn nghiệm tìm được khi t tiến ra vô cùng.

      Ý c giống ý b.

  28. Thưa thầy, bài 5-trang 206 sách powers em làm bằng tách biến bình thường thấy nghiệm của bài toán bằng 0 như thế có đúng ko ạ?

    • Các hệ số b_k là hệ số Fourier-sine của

      u(x, 0)=\sum\limits_{k=1}^\infty b_k\sin(kx)=x(\pi-x).

      Còn tại sao lại có

      b_k=\dfrac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi x(\pi-x)\sin(kx)dx

      em đọc lại phần khai triển Fourier trong giáo trình giải tích.

  29. thưa thầy !
    thầy cho em hỏi bài 3trang 134 trong sách Pinsky ý ạ, em về nhà xem và làm lại cho chi tiết thì thấy 1 điều là nếu mình chỉ cần cái w(z,t) thui để tính được relaxation time bằng cách áp dụng luôn công thức thầy cho mà hôm nay em có hỏi ở trên lớp luôn (em không biết viết cái relaxation…để viết lại công thức đó ) thì em thấy quá trình mình tính v(z,t) ở trên và để áp dụng tính w(z,0) mà không sử dụng gì đến nó và cả mất bao nhiêu thời gian để tìm c1,c2 theo T1,T2,T3 để rồi cuối cùng chẳng sử dụng gì đến nó thì có phải là việc làm ấy là mất thời gian không ạ/ mình chỉ cần tách biến cái w(z,t) thôi là xong thôi ạ nếu không sử dụng đến những thứ ở trên ạ ?
    hay là em hiểu sai vấn đề ạ?
    thầy trả lời giúp em ạ/
    em hiểu là nếu mình tính những cái đó là để mình tìm u(z,t) rồi xác định lim của nó theo công thức định nghĩa của thầy, nhưng nếu mình chỉ cần áp dụng ngay cái số mũ của e trong hàm w(z,t) thì những bước trên mình có thể bỏ đi được không ạ?
    thầy trả lời giúp em là nếu không được thì tại sao ạ?
    em cảm ơn thầy nhiều ạ !

  30. thầy ơi! thầy có thể cho e xin số điện thoại thầy dũng được không ạ, để thứ 6 e có thể nộp nốt bài tập ptdhr mà nhóm e làm nhầm cho thầy dũng ạ, chẳng là hôm thứ 3 e đã lấy số thầy dũng rồi nhưng hôm nay e làm mất điện thoại ạ,Y_Y , hoặc nếu không thì thầy có thể cho e biết thầy dũng ở trường t6 vào khoảng tiết mấy cũng được ạ … e xin cám ơn và xin lỗi nếu e có làm phiền thầy ạ T_T

  31. em nhầm thầy ạ. là bài 6.18 trang 171 sách Y&J thầy hướng dẫn em với ạ. và thầy dịch giúp em bài 7 trang 225 sách Power với ạ.
    em cảm ơn thầy

    • Bài 6.18/171 em giải bằng phương pháp tách biến. Tôi chữa một số bài tương tự như này trên lớp khá kỹ nên xin phép không nhắc lại.

      Bài 7/225 yêu cầu tìm các giá trị riêng và hàm riêng của các bài toán cho phương trình truyền sóng với các điều kiện biên tương ứng ở câu a và b.

    • Bài này giống bài bạn KenLee hỏi lúc 5h19 chiều ngày 14/03/2013. Các bài từ 1-8/108 đều yêu cầu tìm nghiệm dừng. Lưu ý nghiệm không phụ thuộc vào x, y cũng như biến thời gian t (nghiệm dừng) mà chỉ phụ thuộc z.

    • Bài này giống bài bạn KenLee hỏi lúc 5h19 chiều ngày 14/03/2013 và bạn huongdan hỏi lúc 11h29 chiều ngày 16/03/2013. Các bài từ 1-8/108 đều yêu cầu tìm nghiệm dừng. Lưu ý nghiệm không phụ thuộc vào x, y cũng như biến thời gian t (nghiệm dừng) mà chỉ phụ thuộc z.

    • Câu này khá đơn giản khi biết yêu cầu. Công thức (19) cho ta chuỗi nghiệm w(x, t) dạng \sum\limits_{n=1}^\infty. Yêu cầu bài này viết rõ một số số hạng đầu tiên n=1, 2, 3, .v.v.

  32. Thầy ơi
    Thầy hướng dẫn em giải mấy bài tập với ạ
    bài 3/133 sách pinsky, em dặt u = w +v thì ra được phương trình thuần nhất nhưng điều kiện biên và điều kiện ban đầu thì lại không thuần nhất.
    bài 10/121 sách pinsky ta chỉ cần xét 2 TH c = 0 và c>0 dúng không ạ?
    bài 11/121 sách pinsky em dùng tách biến bình thường,nhưng với trường hợp c = -k^2(k>0) thì em tìm ra nghiệm rắc rối quá,em không biết giải tiếp thế nào nữa
    thầy chỉ em cách làm với ạ

    • Bài 3/133 tôi không rõ em tìm nghiệm dừng v(x, t)=v(x) thế nào? Bài này tôi đã trả lời câu hỏi của bạn ĐỖ NGA _MƯA SAO BĂNG BUỒN lúc 11h37 ngày 11/03/2013.

      Bài 10/121 tôi không hiểu tại sao em chỉ xét c=0 hay c>0? Khi làm bài tập cần giải thích chỗ này mới được điểm tối đa.

      Bài 11/121 chính là dùng kết quả của bài 10/121 để lập chuỗi nghiệm. Nghiệm em tìm được rắc rối thế nào? Cách tìm của em thế nào? Nếu viết ra được thì tốt?

  33. Em thưa thầy!
    Trong bài 14 trang 224-227 sách Power, họ viết là hàm f(x) là phương trình (11). nhưng e xem pt(11) thì nó lại là bn= 2/npic……cái này em không hiểu ạ?
    Thầy có thể giải thích chỗ này giúp em không ạ?

  34. bài 3/133 với v(z,t) = v(z) suy ra 0 = Kv” + r. Từ đây suy ra v = -(r/2K)z^2 + Cz + D
    đặt w = u – v ta biến đổi và suy ra w_t = K w_zz
    w(0,t) = u(0,t) – v(0,t) = T1 – D
    w(L,t) = T2 + (rL^2)/2K – CL – D
    w(z,0) = T_3 +(r/2K)z^2 - Cz - D
    nó ra rắc rối thế này em không biết làm thế nào
    bài 11/121 TH c= -m^2 (m>0) em tìm được nghiệm Z(z) = Acosmz + Bsinmz
    áp dụng z'(0) = hZ(0) và Z'(L) = -hZ(L) thì em tìm được
    Z'(0) = Bm = hA
    Z'(L)=-AmsinmL + BmcosmL = -h(AcosmL + BsinmL)
    như thế này thì tìm A,B kiểu gì được ạ?Em thử biến đổi để tìm nhưng không được

    • Bài 3/133 khi tìm nghiệm dừng em thiếu điều kiện biên, hay em cần tìm C, D từ các điều kiện biên
      v(0)=T_1, v(L)=T_2.

      Có lẽ em chưa xem phần trả lời câu hỏi của bạn ĐỖ NGA _MƯA SAO BĂNG BUỒN lúc 11h37 ngày 11/03/2013 ở phía trên?

      Việc làm em viết ở bài 11/121 chính là công việc bài 10/121 yêu cầu. Tôi không rõ tại sao em chỉ xét C<0? Còn trường hợp em viết, ta cần tìm Z(z) không đồng nhất không hay nghiệm (A, B) của hệ phương trình tuyến tính
      hA + mB=0, (chỗ này em viết nhầm)
      A(m\sin(mL)-h\cos(mL))-B(m\cos(mL)+h\sin(mL))=0
      có nghiệm không tầm thường
      hay ta cần tìm m để định thức
      -h(m\cos(mL)+h\sin(mL))-m(m\sin(mL)-h\cos(mL))=0.

      Nhớ rằng lúc đó nghiệm
      Z_m(z)=B(\dfrac{m}{h}\cos(mz)+\sin(mz)).

      • Chỗ tôi viết em nhầm thì chính tôi nhầm và em viết đúng!

        Khi đó m là nghiệm của phương trình
        2hm\cos(mL)=(m^2-h^2)\sin(mL).

        Từ phương trình trên ta sẽ tìm được một dãy các m_n>0 tiến dần ra vô cùng. Tính cụ thể m_n là rất khó, có lẽ chỉ tính được xấp xỉ, nên em cứ để nguyên như vậy.

  35. thầy cho em hỏi. trong bài của em có yêu cầu là tìm tần số rung động thấp nhất của không khí trong các đường ống. vậy nghĩa là tìm cái gì ạ. em cảm ơn thầy

      • Bài này xuất phát từ bài 7/225. Bài 7/225 yêu cầu tính các giá trị riêng nghĩa là các hằng số C để có nghiệm tách biến không tầm thường, rồi sau đó tính các hàm riêng nghĩa là các X_n(x). Kết thúc yêu cầu của bài 7/225. Sau tính X_n(x) ta sẽ tính
        T_n(t)=A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t)
        tương ứng.
        Khi đó \omega_n được gọi là tần số dao động.

        Bài 8/225 yêu cầu tìm trong các tần số dao động \omega_n, tần số dao động bé nhất.

    • Bài này đề cập đến nhiệt độ bên trong lòng đất u(x, t), trong đó x là độ sâu tính từ mặt đất vào trong lòng đất. Khi đó u(x, t) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt
      u_t(x, t)=ku_{xx}(x, t), 0<x<\infty, t>0
      và điều kiện biên
      u(0, t)=\sin(\omega t).

      Câu a yêu cầu kiểm tra hàm đã cho có thỏa mãn phương trình và điều kiện biên trên không?
      Câu b yêu cầu vẽ đồ thị u(x, t) tại các vị trí x khác nhau.
      Câu c hỏi ở độ sâu x bằng nhau thì nhiệt độ u(x, t) ngược với nhiệt độ trên mặt đất u(0, t).

      • Thưa thầy cho em hỏi:
        1) Với phương trình truyền nhiệt như trên thì làm sao để khử được điều kiện biên ạ?
        2) Nếu điều kiện biên không phải là hàm sin mà là 1 số To thì khử như thế nào ạ?
        3) Câu a) yêu cầu kiểm tra hàm u(x,t) đã được cho sẵn thì mình chỉ cần thay vào phương trình ban đầu hay là vẫn phải giải ra hẳn nghiệm rồi so sánh ạ?

      • Đúng trong trường hợp tổng quát thì có một cách là khử điều kiện biên. Tuy nhiên tạm thời gác lại việc đó mà ta chỉ làm các yêu cầu của bài. Câu a chỉ cần thay vào như em nói là được.

      • Vâng ạ.
        Tại trước khi thầy dịch giúp em bài trên em có xem tiếp xuống bài 12 trang 207-208 sách D.L.Power. Em thấy lúc đấy điều kiện biên là To nhưng mà vẫn không sao để khử nó được ạ?

      • Em tìm nghiệm dừng v(x, t)=v(x), bị chặn để khử. Lưu ý v(x) bị chặn nghĩa là khi cho x tiến ra vô cùng thì v(x) không tiến ra vô cùng.

  36. Thưa thầy, thầy có thể hướng dẫn em bài 16 Trang 121 sách M.A.Pinsky, em muốn hỏi giải bài toán như thế nào với điều kiện bao đầu
    u(z,0)= T  0<z<L/2 , u(z,0)=0  L/2<z<L ?

    • Trước hết em giải bài 2/120 bằng tách biến. Em sẽ có chuỗi nghiệm
      u(x, t)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n T_n(t)Z_n(z).
      Điều kiện ban đầu dùng để tính các hệ số a_n, với chú ý không thể đồng nhất hệ số mà phải dùng công thức tích phân
      a_n=\dfrac{2}{L}\int\limits_0^L u(z, 0)Z_n(z)dz.

      Sau đó em tính relaxation time như tôi đã nói cách tính ở các phản hồi trước. Ý nghĩa của relaxation time chính là dáng điệu của u(20, t) sẽ giống a_1T_1(t)Z_1(20) khi t lớn. Nếu em tính được u(20, t) khi t=0.1, 1.0, 10, 100 thì sẽ thấy được điều này.

      • Em thưa thầy, thầy có thể hướng dẫn giúp em bài 25 sách D.L.Powers trang 210 được không ạ? Bài này sau khi thay u(p,t)=v(p,t)/p, em tách biến P(p)T(t) thì được P(p) = mcos(\omega p) + nsin(\omega p). Nhưng với điều kiện đề bài cho thì chỉ được P(a) = 0 nên không rút gọn được P(p).
        Sau đó nếu T(t)=e^(-\omega^2 kt) thì viết công thức nghiệm v như thế nào với cận 0<p<a ạ?

  37. Em xin chào thầy. Thầy hướng dẫn em làm phương trình truyền sóng hoặc phương trình truyền nhiệt mà dạng ko thuần nhất đk ko ạ. Em đọc tài liệu nhưng mà vẫn ko hiểu đk cách làm thế nào ?

    • Nếu em là sinh viên đang học ở các lớp K56 toán tin thì tôi đã chữa khá kỹ các bài đó và nhắc các bạn lên bảng làm bài để xem có vướng mắc gì không? Có lẽ em thấy lúc đó không cần thiết? Bây giờ hỏi tôi hướng dẫn chỉ nói chung chung thì tôi nghĩ chắc cũng không hơn gì việc em đọc tài liệu?

  38. thầy ơi !
    với 1 bài toán pt truyền nhiệt hay pt truyền sóng thì khi nào mình dùng nghiệm dừng ? khi nào mình tách biến, và khi nào thì sử dụng hình bình hành ạ? mà bài toán hình bình hành thực sự em chưa hiểu rõ lắm về cách làm và phương pháp của nó, thầy có thể nói lại rõ hơn giúp em được không ạ? em cảm ơn thầy !

    • Khi các điều kiện biên không phụ thuộc thời gian t ta sẽ dùng nghiệm dừng để khử các điều kiện biên. Ta chỉ có thể dùng phương pháp tách biến khi các điều kiện biên thuần nhất và phương trình thuần nhất. Khi phương trình không thuần nhất mà các điều kiện biên thuần nhất ta dùng tách biến nhưng không thể tìm T khi tách biến! Cụ thể tôi đã dạy nên không nói chi tiết ở đây. Đối với phương trình truyền sóng u_{tt}=a^2u_{xx} ta có đẳng thức hình bình hành, nghĩa là trong một hình bình hành mà các cạnh nằm trên các đường cong đặc trưng thì tổng giá trị của nghiệm u(x, t) tại các cặp đỉnh đối diện bằng nhau. Sử dụng tính chất này ta có thể giải bài toán biên cho phương trình truyền sóng trong một số trường hợp. Cụ thể phần này tôi cũng nói trên lớp. Những vấn đề em hỏi nếu chỉ nói mà em chưa từng làm bài nào thì tôi nghĩ em chắc vẫn còn lơ mơ? Chính vì vậy tôi thường nhắc các bạn lên bảng để viết ra phần mình còn lơ mơ một cách cụ thể qua bài tập cụ thể chứ hỏi chung chung thì rất khó nhận được gì?

      • vâng, em cảm ơn thầy nhiều ạ !
        em làm nhưng chưa phân biệt được cách làm nếu không có định hướng của thầy và các bạn, nên em muốn hỏi cách phân biệt và hướng làm để em nhận biết và tự làm tốt nhất khi không hỏi quan thầy và các bạn mà em vẫn làm được !
        còn dùng phương pháp hình bình hành thì em chưa làm bài nào dùng phương pháp này , và lên lớp thì em chỉ biết vẽ cái đồ thị nhưng em không hiểu lắm, nên e hỏi ạ !

  39. thưa thầy thầy cho em hỏi như bài về công thức D’Alembert và công thức hình bình hành thầy từng chữa cho chúng em là bài 4.2 em k rõ nhưng hình như là ở sách Power thì phần dùng công thức hình bình hành ấy ạ, người ta bảo tính U(4,1) thì làm thế nào để xác định các đỉnh còn lại để áp dụng hbh hả thầy. em cảm ơn thầy

  40. Có bạn dùng tên tôi để hỏi về bài 10/169 trong sách của Pinsky. Tôi thấy hơi bất tiện! Làm sao phải sợ khi hỏi điều minh chưa biết? Hay làm sao phải dùng tên người khác khi mình cũng có cái tên bố mẹ cho? Cái gì của mình tại sao mình lại xấu hổ không dám dùng? Tôi hy vọng bạn đó hiểu điều tôi muốn nói?

    Về bài 10/169 yêu cầu giải bài toán biên cho phương trình Laplace trong hình lập phương. Ta dùng tách biến

    u(x, y, z)=X(x)Y(y)Z(z).

    Từ phương trình ta có

    \dfrac{X^{,,}}{X}+\dfrac{Y^{,,}}{Y}+\dfrac{Z^{,,}}{Z}=0

    và dùng các điều kiện biên thuần nhất có

    X^{,}(0)=X^{,}(L)=0, Y^{,}(0)=Y^{,}(L)=0,
    Z^{,}(0)=0.

    Bằng cách lý luận về sự không phụ thuộc vào biến dẫn đến
    X^{,,}+C_1X=0,
    Y^{,,}+C_2Y=0,
    Z^{,,}+C_3Z=0,
    với C_1+C_2+C_3=0.

    Giải hệ các bài toán biên này sẽ thu được các nghiệm tách biến. Sau đó lập chuỗi nghiệm và dùng điều kiện không thuần nhất để tính hệ số của chuỗi nghiệm.

    Câu hỏi tiếp: làm thế nào để nhận dạng? Tôi không rõ bạn muốn hỏi nhận dạng về cái gì?

  41. Em chào thầy ạ!
    Thưa thầy, thầy có thể dịch và hướng dẫn em làm bài 40 sách Power trang 292 không ạ?
    Em cảm ơn thầy ạ!

    • Bài 40/292 quan tâm hàm nhiệt độ T(x, y) trong một tấm thép dài khi nó không phụ thuộc thời gian. Lúc này hàm nhiệt độ thỏa mãn bài toán biên

      \dfrac{v}{k}T_x=T_{xx}+T_{yy}, 0<x, -b<y<b,

      với các điều kiện biên

      T_y(x, 0)=0, 0<x,

      -\kappa T_y(x, b)=h(T(x, b)-T_a), 0<x,

      T(0, y)=T_0.

      Sau khi đổi hàm, đổi biến người ta đã chuyển sang bài toán đối với hàm \theta trong nửa dải
      \gamma \theta_X=\theta_{XX}+\theta_{YY}, 0<X, 0<Y<1,

      với điều kiện biên
      \theta_Y(X, 0)=0, 0<X,
      \theta_Y(X, 1)=-B\theta(X, 1), 0<X,
      \theta(0, Y)=1, 0<Y<1.

      Bài tập yêu cầu giải bài toán đối với \theta khi B\to\infty, lúc đó
      \theta(X, 1)=0.

      Ta tìm các nghiệm tách biến \theta(X, Y)=f(X)g(Y) của bài toán thuần nhất
      \gamma \theta_X=\theta_{XX}+\theta_{YY},
      \theta_Y(X, 0)=\theta(X, 1)=0.
      Khi đó ta có
      Cf(X)-\gamma f^{,}(X)+f^{,,}(X)=0,
      Cg(Y)-g^{,,}(Y)=0,
      g^{,}(0)=g(1)=0.

      Đoạn này em tự tính ra các nghiệm bị chặn, không tầm thường. Sau đó lập chuỗi nghiệm.

      Dùng nốt điều kiện không thuần nhất
      \theta(0, Y)=1
      để tính các hệ số.

      • Em thưa thầy, đề bài bài này đến hết trang 293 còn gì nữa không ạ? trang 294 em load mãi mà không được ạ!
        Em cảm ơn ạ!

      • Trang 294 chính đoạn về hàm \theta tôi đã viết ra ở lần trả lời trước rồi đấy.

        Nếu được em thử làm nốt bài 41/294 cũng yêu cầu tìm hàm \theta, chỉ thay đổi ở chỗ B\to 0, hay thay vì \theta(X, 1)=0 (khi B\to\infty) ta chuyển thành điều kiện \theta_Y(X, 1)=0. Việc giải cũng như vậy, chỉ có nghiệm thay đổi chút ít.

  42. em chào thầy ak. thầy có thể gợi í bài tập 7.12 trang 204 – 207 của y.pinchover không ak ở đây xuất hiện cả hai loại điều kiện biên nên em không hiểu lắm . em cám ơn thầy nhiều !

    • Bài 7.9/205 là bài tập lý thuyết khá hay. Bài tập hỏi về số chiều của không gian V_n gồm các đa thức thuần nhất bậc n
      P_n(x, y)=\sum\limits_{i+j=n}a_{ij}x^iy^j, a_{ij}\in\mathbb R,
      mà là nghiệm của phương trình Laplace
      \Delta P_n=0.

      Trước hết V_n là một không gian véc-tơ trên trường thực khá dễ kiểm tra.
      Tiếp theo để tính số chiều của V_n, bài tập gợi ý chuyển sang hệ tọa độ cực
      x=r\cos\theta, y=r\sin\theta
      ta có
      P_n(x, y)=r^n\Phi(\theta)
      và trong hệ tọa độ cực
      \Delta P_n=\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\Big(r\dfrac{\partial (r^n \Phi(\theta))}{\partial r}\Big)+\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2 (r^n\Phi(\theta))}{\partial\theta^2}=0
      hay
      r^{n-2}(n^2\Phi(\theta)+\Phi^{,,}(\theta))=0.
      Từ đó
      n^2\Phi(\theta)+\Phi^{,,}(\theta)=0.
      Phần còn lại:
      + em tính hàm \Phi(\theta),
      + sau đó xem số chiều của V_n?

    • Bài 3/168 yêu cầu tìm nghiệm tách biến u(x, y)=X(x)Y(y) của bài toán
      \Delta u=0,
      trong hình chữ nhật
      0<x<L_1, 0<y<L_2
      với các điều kiện biên
      u_x(0, y)=0, u_x(L_1, y)=0.

      Em cứ thay vào và tìm các nghiệm tách biến không tầm thường.

    • Bài 7.3/204 em tìm tất cả các nghiệm tách biến u(x, y)=X(x)Y(y) thỏa mãn bài toán thuần nhất
      \Delta u-ku=0,
      và các điều kiện biên
      u(\pi, y)=u(x, 0)=u(x, \pi)=0.
      Từ phương trình dẫn đến hai phương trình
      X^{,,}-kX=CX,
      Y^{,,}+CY=0.
      Còn các điều kiện biên cho ta
      X(\pi)=0,
      Y(0)=Y(\pi)=0.

      Phần còn lại em tự làm nhé.

      Bài 19/288 dựa vào bài 18/288. Từ bài 18/288 thiết lập chuỗi nghiệm cho bài 19/288. Sau đó để tính các hệ số ta dùng hai điều kiện biên trên hai đường tròn

      u(a, \theta)=1, u(b, \theta)=0

      lập ra các hệ phương trình tuyến tính. Từ đó giải các hệ phương trình tuyến tính này ta sẽ tính ra các hệ số.

      Cần chú ý nghiệm tách biến (C_0+D_0\theta)\ln r chỉ tuần hoàn theo \theta khi D_0=0.

    • Bài 2a/269 có các điều kiện biên

      + trên cạnh (x, b), 0\le x\le a như đã cho,

      + còn lại trên các cạnh khác đều có đạo hàm theo pháp tuyến ngoài (outward normal derivative) bằng 0.

    • Bài 10/270 giống bài 24/289 bạn “luan” hỏi. Bài yêu cầu tìm các hệ số của đa thức P để
      \Delta P=0-H,
      H là hằng số cho trước.
      Em thay vào rồi đồng nhất hệ số sẽ ra các phương trình tuyến tính đối với các hệ số của đa thức P. Từ đó tìm các hệ số.

      • em thưa thầy. tức là đầu tiên vẫn phải đi tìm P(x,y) bằng cách đặt v=x^2.H/2 rồi đi tìm hàm w(x,y) = u-v đấy ạ. sau đó quay lại đồng nhất hệ số ạ

      • Không cần tìm hàm v mà thay vào trực tiếp. Tìm hàm v như vậy cũng được nhưng mất thời gian hơn.

    • Bài 25/183 là bài toán biên trong vành \rho_1<\rho<\rho_2. Em thay chuỗi nghiệm vào điều kiện biên trên các đường tròn rồi đồng nhất hệ số. Khi đó ta sẽ thu được các hệ phương trình tuyến tính với ẩn là các hệ số của chuỗi nghiệm. Từ đó tính ra được nghiệm.

    • Bài 5c/273 là bài toán trên nửa dải. Điều kiện u(a, y)=f(y) được xác định bởi hai công thức trên hai khoảng tương ứng và nó chỉ cho ta một trường hợp về hàm này! Khi tính nghiệm ta sẽ có một tích phân của hàm f(y). Để tính tích phân này thì cần tách thành hai tích phân trên hai miền tương ứng với hai công thức. Lúc đó ta sẽ tính từng tích phân một rồi cộng lại được tích phân cần tính.

  43. Thưa thầy
    Bài tập Laplace trong hình lập phương mà có cả Đk Noiman và Dirichlet thì phải làm thế nào ạ?
    Ví dụ với bài u_{xx} + u_{yy} + u _{zz} = 0 ,0<x<L, 0<y<L, 0<z<L
    với các ĐK biên u(0,y,z)=0, u(x,0,z)=0, u(x,y,0)=0, u(x,y,L)=1, u_x(L,y,z) = 0, u_y(x,L,z) = 0.
    Với thầy hướng dẫn luôn cho em bài
    Giải PT laplace trong miền trụ 1<x<2 thỏa mãn Đk biên u(1,y)=0, u(2,y)=0 với -\pi<y<0 và u(2,y)=1 với 0<y<\pi.

    • Bài đầu giải giống bài 10/169 tôi đã trả lời ngày 12/04/2013 ở trên. Cụ thể ta đi tìm tất cả nghiệm tách biến
      u=XYZ
      của bài toán thuần nhất
      \Delta u=0
      với các điều kiện biên thuần nhất
      u(0, y, z)=u_x(L, y, z)=0,
      u(x, 0, z)=u_y(x, 0, z)=0,
      u(x, y, 0)=0.

      Lưu ý không dùng điều kiện không thuần nhất
      u(x, y, L)=1
      khi tìm nghiệm tách biến.

      Khi đó ta có các phương trình
      X^{,,}+C_1X=0,
      Y^{,,}+C_2Y=0,
      Z^{,,}+C_3Z=0,
      và các điều kiện biên
      X(0)=X^{,}(L)=0,
      Y(0)=Y^{,}(L)=0,
      Z(0)=0,
      trong đó
      C_1+C_2+C_3=0.

      Sau khi tìm được tất cả các nghiệm tách biến có thể, lập chuỗi nghiệm.

      Dùng điều kiện không thuần nhất còn lại
      u(x, y, L)=1
      để tính các hệ số của chuỗi nghiệm.

      Bài toán sau là bài toán biên cho phương trình Laplace trên vành 1<x<2.

      Em lập chuỗi nghiệm cho bài toán trong vành rồi áp lên các điều kiện biên
      + trên đường tròn x=1
      u(1, y)=0,
      có thể đồng nhất hệ số;
      + trên đường tròn x=2
      u(2, y)=\begin{cases} 0 \; khi \; -\pi<y<0\\ 1 \; khi \; 0<y<\pi\end{cases},
      các hệ số tính qua công thức tích phân từ -\pi đến \pi.

      Để tính tích phân này ta tách tích phân thành hai phần rồi tính.

  44. thầy có thể dịch hộ em bài 7.19 trong sách của pinchover trang 204-207
    và gợi í em cách làm bài được không ạ. em cám ơn thầy nhiều

    • Bài 19/206 cho hàm điều hòa u(r, \theta) trong hình tròn bán kính R, nghĩa là hàm u(r, \theta) thỏa mãn phương trình Laplace, có giá trị trên biên
      u(R, \theta)=\begin{cases} \sin^2(2\theta)\; khi\; |\theta|<\pi/2, \\ 0 \; khi \; \pi/2<\theta<\pi.\end{cases}
      Câu a yêu cầu tính u(0, 0).
      Câu b yêu cầu chứng minh 0<u(r, \theta)<1 khi 0\le r<1.
      Câu a em dùng công thức chuỗi nghiệm rồi xem u(0, 0) là số hạng nào của chuỗi nghiệm? Từ đó tính u(0, 0).

      Câu b em thử dùng công thức chuỗi nghiệm xem có thể đánh giá được không?

  45. Thầy ơi. Cho em hỏi bài vê phương trình Laplace có ví dụ là Uxx+Uyy=0; U(x,-1)=0;
    U(x,1)=1+sin2x;
    Ux(0,y)=Ux(2∏,y)=0;
    Điều kiện biên vừa có dirichlet vừa có Neuman thì là thế nào ạ.
    Em cám ơn thầy!

    • Em tìm tất cả các nghiệm tách biến u=XY thỏa mãn
      \Delta u=0
      và các điều kiện biên thuần nhất
      u(x, -1)=0,
      u_x(0, y)=u_x(2\pi, y)=0.

      Sau khi tìm hết ta lập chuỗi nghiệm.

      Để tính hệ số của chuỗi nghiệm ta dùng điều kiện không thuần nhất
      u(x, 1)=1+\sin(2x).

    • Bài này không cần tách thành hai bài toán con và cũng không có điều kiện ban đầu. Đối với phương trình Lapace chỉ có điều kiện biên vì không có biến thời gian.

  46. Thưa thầy, thầy có thể dịch cho em bài số 18 trang 182 sách M.A.Pinsky với . Wedge domain là hình gì ạ? Và thầy cho em hỏi trong trường hợp này có được sử dụng luôn công thức chuỗi nghiệm u(p;\varphi)= p^{n}(Acosn\varphi +Bsinn\varphi ) để giải bài toán ko ạ hay là phải làm từng bước tách biến.

    • “Wedge domain” là miền hình nêm, giống như cái nêm. Cụ thể hơn ở bài 18/182 miền nêm này là góc phần tư hình tròn 0<\rho<1, 0<\varphi<\pi/2.
      Chuỗi nghiệm của bài này không giống chuỗi nghiệm trong hình tròn như em viết. Bài 18/182 yêu cầu tìm tất cả các nghiệm tách biến u(\rho, \varphi)=R(\rho)\Phi(\varphi) thỏa mãn phương trình Laplace

      \dfrac{1}{\rho}(\rho u_\rho)_\rho+\dfrac{1}{\rho^2} u_{\varphi\varphi}=0

      với điều kiện biên Dirichlet trên hai cánh quạt

      u(\rho, 0)=u(\rho, \pi/2)=0.

      Bài 18/182 chính là bài lập chuỗi nghiệm cho bài 19/182.

  47. Em thưa thầy!
    Cho em hỏi ạ! Ở trong bài 7.11 trang 206 sách Y.Pinchover họ cho lim u(x,y) = 0 khi |x|+|y|–>vô cùng để làm gì ạ?
    Khi làm bài em chưa dùng gì đến nó ạ?
    Em cảm ơn thầy ạ.

    • Đề bài này cho khá may nên điều kiện triệt tiêu ở vô cùng không dẫn đến vô nghiệm. Nếu cho điều kiện trên đường đơn vị u(x, y)=1 thì bài toán sẽ không có nghiệm triệt tiêu ở vô cùng. Tóm lại điều kiện triệt tiêu ở vô cùng ở đây nhằm kiểm tra lại nghiệm em tính được có triệt tiêu ở vô cùng không?

  48. Em thưa thầy, với phương trình Laplace trên hình chữ nhật em chưa hiểu việc tìm hàm v để khử 4 đỉnh có tác dụng gì và khi nào thì cần phải tìm hàm v. Thầy có thể giải thích lại cho em được không ạ?

    • Tôi không rõ em hỏi bài toán biên nào? Khi hỏi các bạn nên đặt câu hỏi trong hoàn cảnh nhất định nếu không câu trả lời sẽ trở nên lạc lõng với cái các bạn mong muốn hoặc tôi lại phải giảng lại tất cả lý thuyết là điều tôi không muốn làm!

      • Em thưa thầy, ý em là bài toán trên biên 0<x<L1, 0<y<L2. Em không hiểu việc tìm v nhằm mục đích gì và khi nào thì cần phải chia bài toán thành 2 bài toán nhỏ ạ?

    • Em vẫn chưa hiểu ý tôi. Tôi muốn em nói cụ thể bài toán biên Dirichlet hay Neumann? Nếu được em đưa ra bài toán cụ thể hơn thì tôi không phải nói như những gì tôi đã từng nói.

      • Dạ vậy cho em hỏi bài 4c trang 273 sách D.L.Power ạ? Từng bước cụ thể để giải quyết bài toán này như thế nào ạ?

      • Đây là bài toán biên Dirichlet trong nửa dải, khác so với bài toán trong hình chữ nhật! Rất khó cho tôi khi em hỏi lúc thì bài toán trong hình chữ nhật lúc lại yêu cầu giải bài toán trong nửa dải. Bài toán trong nửa dải tôi cũng đã dạy trên lớp nên tôi nói các bước và không đi cụ thể từng bước.

        Tìm tất cả các nghiệm tách biến của bài toán thuần nhất
        \Delta u=0,
        và các điều kiện biên thuần nhất
        u(a, y)=0, u(x, 0)=0.
        Chú ý chỉ tìm nghiệm bị chặn.

        Sau khi tìm được tất cả các nghiệm tách biến có thể thì lập chuỗi nghiệm.

        Dùng điều kiện biên không thuần nhất còn lại
        u(0, y)=f(y)
        để tính các hệ số của chuỗi nghiệm.

        Tôi mong lần sau em hỏi tập trung vào vấn đề cần làm rõ. Như thế cũng là giúp tôi đấy! Khi tôi hỏi lại các câu em hỏi trước nhằm vào việc em hỏi cho tập trung vấn đề hơn.

  49. em thưa thầy!
    thầy cho em hỏi về bài toán biên Dirichlet trên hình chữ nhật cho phương trình Laplace.chẳng hạn:
    0<x<1, 0<y<1 với các điều kiện biên
    u(x, 0) = u(x, 1) = 1
    u(0, y) = f(y); u(1, y) = g(y)
    tại sao để bài toán có nghiệm thì hàm f và g phải thỏa mãn điều kiện là
    f(0) = f(1) = g(0) = g(1) = 0
    Và nếu điều kiện này không được thỏa mãn thì ta phải xử lý thế nào ạ?
    ta kết luận bài toán không có nghiệm hay phải tìm hàm v sau đó đưa về bài toán của w = u – v trong đó các điều kiên biên của w bằng 0 tại các đầu 0 và 1 rồi chia làm 2 bài toán như trong trường hợp tổng quát thầy đã giảng?

    Em cảm ơn thầy!

    • Điều kiện em viết là điều kiện tương thích cần sửa lại
      f(0)=f(1)=g(0)=g(1)=1.
      Điều kiện này cùng điều kiện liên tục của các hàm f, g đảm bảo cho bài toán biên Dirichlet có nghiệm liên tục đến tận biên. Lúc đó nghiệm tìm được sẽ có giá trị trên biên, trên bốn cạnh hình vuông, như đã cho ban đầu.
      Để giải bài toán này cần chia bài toán thành hai bài toán con. Tuy nhiên nếu chia ngay từ bài toán ban đầu lập tức ta có hai bài toán con không thoả mãn điều kiện tương thích. Lúc đó ta vẫn tìm được nghiệm, nhưng nghiệm tìm được không liên tục tại bốn đỉnh và giá trị của nghiệm tại bốn đỉnh không giống như đã cho ban đầu. Vì vậy trước khi chia thành hai bài toán con ta cần khử bốn đỉnh bởi đa thức v.
      Cũng cần nói thêm, nếu trong bài toán biên Dirichlet ban đầu, điều kiện biên không liên tục thì ta chia luôn chứ không phải khử. Bài toán biên Dirichlet nói chung trong các bài tập đều có nghiệm. Vấn đề giá trị của nghiệm trên biên tại những chỗ không liên tục sẽ không như đã cho ban đầu.

      • Có thể kiểm tra lại những gì tôi viết ở trên trong trường hợp đơn giản nhất
        f(y)=g(y)=1.
        Nếu em dùng hàm khử bốn đỉnh rồi chia thành hai bài toán con thì em sẽ thấy nghiệm
        u(x, y)=1 (khá đẹp).
        Nếu chia ngay mà không khử em sẽ thấy nghiệm
        u(x, y)=\sum\limits_{n=1}^\infty (a_ne^{n\pi y}+b_ne^{-n\pi y})\sin(n\pi x)+
        +\sum\limits_{n=1}^\infty (a_ne^{n\pi x}+b_ne^{-n\pi x})\sin(n\pi y).
        Giá trị của nghiệm tại bốn đỉnh đều bằng 0 khác với giá trị đã cho ban đầu!

        Còn nếu cho
        f(y)=g(y)=0
        thì ngay từ đầu điều kiện biên không liên tục tại bốn đỉnh
        và em cũng không thể tìm được hàm v nào để khử.
        Lúc này ta để ý đã có hai điều kiện biên trên hai cạnh đối diện là thuần nhất
        u(0, y)=u(1, y)=0
        nên không phải chia thành hai bài toán con mà dùng tách biến xây dựng chuỗi nghiệm luôn.
        Chuỗi nghiệm lúc này
        u(x, y)=\sum\limits_{n=1}^\infty (a_ne^{n\pi y}+b_ne^{-n\pi y})\sin(n\pi x)
        có giá trị tại bốn đỉnh đều bằng 0.

    • vâng.em hiểu rồi ạ.
      còn bài toán biên Neumann trên hình chữ nhật 0<x<a, 0<y<b với các điều kiện biên Neumann trên các cạnh y=0, y=b, x=0, x=a lần lượt là f_1(x), f_2(x), g_1(y), g_2(y)

      ở trong tài liệu tách biến của thầy ở trang
      https://bomongiaitich.wordpress.com/2008/04/15/ph%C6%B0%C6%A1ng-phap-tach-bi%E1%BA%BFn/
      điều kiện để bài toán có nghiệm là :
      \int\limits_0^af_1(x)dx  +  \int\limits_0^af_2(x)dx + \int\limits_0^bg_1(y)dy + \int\limits_0^bg_2(y)dy=0
      nếu điều kiện này không được thỏa mãn ta có thể kết luận là bài toán vô nghiệm và không cần giải nữa đúng không ạ?

      giả sử bài toán có f_1(x) = f_2(x) = 0
      nếu có
      \int\limits_0^bg_1(y)dy  = \int\limits_0^bg_2(y)dy =0
      thì nghiệm của bài toán cũng liên tục trên biên
      ngược lại
      \int\limits_0^bg_1(y)dy  = - \int\limits_0^bg_2(y)dy 0 thì bài toán vẫn có nghiệm nhưng không liên tục trên biên.
      như thế có đúng không ạ?

      • Nếu có điều kiện tích phân trên biên bằng 0 thì bài toán sẽ có nghiệm và có vô số nghiệm sai khác nhau hằng số. Còn chuyện nghiệm có liên tục trên biên hay không thì chưa nói được gì.

        Khi không có điều kiện trên biên bằng 0 kết luận ngay bài toán vô nghiệm.

    • Bài 10/286 yêu cầu kiểm tra hàm đã cho có thỏa mãn phương trình Laplace
      \Delta u=0
      trong góc phần tư dương x>0, y>0 không?

      Sau đó hỏi giá trị của hàm đã cho trên mỗi trục 0x, 0y là gì?

      Như vậy bài này chỉ việc thay vào và tính toán cụ thể.

      Chú ý hàm \tan^{-1} là hàm \arctan, hàm ngược của hàm \tan.

  50. thầy cho em hỏi là em làm bài 20 sách pinsky trang 181-183 thì sau khi em đưa được hàm u(x,y) về v(r,fi) thì em tách biến v(r,fi) = R(r).Fi(fi). em xét trường hợp c=-k^2 ,khi tìm R(r) em có pt với c=-k^2 là -r^2.R” – r.R’ = -k^2.R, thầy cho em hỏi vậy R(r) bằng bao nhiêu ạ.

    • Phương trình vi phân
      r^2 R^{,,}+rR^{,}+k^2R=0
      là phương trình Euler.
      Ta đi tìm nghiệm đặc biệt có dạng R=r^m. Từ đó ta có hai nghiệm độc lập tuyến tính. Không gian nghiệm của phương trình Euler, phương trình tuyến tính cấp 2, có số chiều 2. Do đó lập được nghiệm tổng quát cho phương trình Euler. Cần lưu ý thêm về tính bị chặn của hàm R(r).

    • Bài 9/280 yêu cầu giải bài toán biên Dirichlet trong góc phần tư hình tròn. Em chuyển về hệ tọa độ cực rồi dùng tách biến lập chuỗi nghiệm. Lưu ý khi tìm nghiệm tách biến dùng các điều kiện trên hai cánh quạt, còn điều kiện trên cung tròn dùng để tìm hệ số của chuỗi nghiệm.

  51. Em chào thầy ạ, bài 14 trang 181-183 sách Pinski đó có phải là miền hình trụ không ạ??thầy hướng dẫn em được k ạ?em cảm ơn thầy.

    • Có phải em hỏi bài toán trong nửa dải? Nếu đúng em tìm tất cả các nghiệm tách biến có thể của phương trình Laplace với các điều kiện biên thuần nhất. Sau đó lập công thức nghiệm dạng tích phân. Cuối cùng dùng điều kiện biên không thuần nhất để tìm hệ số trong công thức nghiệm.

  52. em thưa thầy là bài 21 trong sách Pinsky trang 182-183 sau bài 20 em tìm được nghiệm U(r,fi) = Ao+ Tổng xích ma (cosn.fi (Cn.r^n+Dn.r^-n)) . đề bài cho U(1, fi) = fi(pi-fi). làm thế nào để tính Ao, Cn, Dn hả thầy?

    • Em quên chú ý về tính bị chặn của R(r)! Chuỗi nghiệm đơn giản hơn. Để tính hệ số của chuỗi nghiệm em dùng công thức tích phân.

  53. Em thưa thầy . Thầy dịch giúp em bài này với ạ!
    Sole the potential equations in the rectangle 0<x<a; 0<y<b with the boundary conditial
    u(o,y) = 1; u(a,y)=0 ( 0<y<b)
    u(x,o) = 0; u(x,b)= 0 (0<x<a)
    Em cám ơn thầy ạ!

    • Bài 15/287 là bài toán biên Dirichlet trong hình tròn bán kính c. Em sử dụng chuỗi nghiệm rồi dùng điều kiện biên tính các hệ số nhờ công thức tích phân. Việc tính tích phân ở đây, giống một số bài tôi đã trả lời, cần tách tích phân thành hai phần tương ứng với giá trị trên biên. Sau khi tính tích phân trên từng phần ta cộng các kết quả với nhau được tích phân cần tính.

      Bài 36/291 là bài toán biên Dirichlet trên nửa vành. Em dùng tách biến để tìm chuỗi nghiệm. Chú ý, lúc này không có điều kiện tuần hoàn như đối với bài toán trong cả vành mà thay vào đó là điều kiện trên hai cạnh của vành bằng 0. Sau khi có chuỗi nghiệm, dùng các điều kiện trên hai cung tròn tính hệ số của chuỗi.

    • ví dụ như bài này Utt=4Uxx x>0,t>0
      U(x,0)=x^2 khi x>0
      Ut(x,0) =1 khi x>0
      U(0,t)=t khi t>0
      đây là dạng bt biên hỗn hợp trên nửa trục thì e có thể dùng thác triển chẵn cho bài này rồi áp dụng ct D’Alembert được luôn k ạ

      • Điều kiện bài này
        U(0, t)=t
        không thuần nhất
        nên chưa dùng cách thác triển ngay được.
        Muốn dùng cách thác triển phải khử điều kiện biên.

    • Thác triển chẵn như này là đúng rồi. Tuy nhiên khi giải bài toán trên miền hữu hạn còn phải thác triển tuần hoàn chu kỳ 2L.

  54. Em thưa thầy. Hôm nay em có làm lại bài 2 đề 7 giữa kỳ K56 nhóm 2. Trong đó có khi chia khoảng để tính nghiệm theo công thức D’Alembert, có 1 khoảng là: -1<x-2t<x+2t<0.
    Nhưng khi vẽ hình với t=1/2, 1, 2, thì nó điều kiện đấy sẽ trở thành:
    -1<x-1<x+1<0, thì sẽ không giải được miền của x.
    Nếu thế thì khoảng này mình bỏ đi không vẽ hay như thế nào ạ?

  55. Thưa thầy, đề giữa kỳ vừa rồi lớp MAT2024 1, đề số 1 câu 2 nội dung câu hỏi về phương trình truyền sóng. Thầy có thể gơi ý cho e hướng giải bài tập này? Bài này liệu có dùng phương pháp thác triển lẻ rồi áp dụng công thức D’Alambert ?

    • Bài này không dùng được cách thác triển lẻ vì miền xác định của nghiệm không phải góc phần tư dương. Nên chia thành hai miền: một áp dụng được công thức D’Alembert, một sử dụng công thức hình bình hành.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s