Bài tập sử dụng đồ thị giải nghiệm cho bài toán Cauchy

Standard

Trong phần bài tập phương trình đạo hàm riêng có một số bài yêu cầu sử dụng đồ thị để tìm nghiệm, chẳng hạn bài 4.3, 4.5 trong sách “An introduction to PDEs” của Y. Pinchover và J. Rubinstein. Hôm qua, ngày 29/01/2013, bạn Đức đã trình bày tương đối rõ lời giải bằng đồ thị cho bài 4.3. Dưới đây tôi sẽ trình bày qua lời giải bài 4.5.

Bài 4.5 yêu cầu tìm nghiệm của bài toán Cauchy

u_{tt}(x, t)-u_{xx}(x, t)=0 khi -\infty<x<+\infty, t>0,

với điều kiện ban đầu

u(x, 0)=f(x)=\begin{cases} 8x-x^2 \; khi \; 0<x<4,\\ 0 \; khi \; x<0 \; hay \; x>4,\end{cases}

u_t(x, 0)=g(x)=\begin{cases} 16 \; khi \; 0<x<4,\\ 0 \; khi \; x<0 \; hay\; x>4.\end{cases}

Như đã biết nghiệm tổng quát của phương trình truyền sóng

u(x, t)= F(x-t)+G(x+t),

trong đó, đồ thị của F(x-t) sẽ tiến theo chiều dương khi t tăng (sóng tiến),

còn đồ thị của G(x+t) sẽ lùi về phía âm khi t tăng (sóng lùi).

Để giải nghiệm bằng cách vẽ đồ thị ta cần xác định F(x), G(x) qua f(x), g(x). Điều này làm được nhờ việc tách công thức nghiệm D’Alembert.

Các bạn có thể xem hình ảnh qua file dưới đây

http://datuan5pdes.files.wordpress.com/2013/01/anh-tuan.pdf

Lưu ý các đường cong đặc trưng đi qua (0, 0), (0, 4) sẽ là những nơi nghiệm bị gẫy, nghĩa là không có đạo hàm riêng. Do đó nghiệm tìm được là không cổ điển (nonclassical) và kỳ dị (singular) tại những chỗ đó.

13 responses »

  1. Thưa thầy em là Đức K55 ạ.e có thấy thầy viết trong đề cương ôn tập hè 2012 có một mục là thác triển tuần hoàn trong phương trình sóng.em đã tìm nhưng không thấy trong sách tiếng Anh(chỉ có thác triển lẻ vã thác triển chẵn
    ).e có thể tìm đọc ở đau ạ?Em cám ơn thầy

    • Khi dùng công thức D’Alembert, phương pháp đồ thị để giải bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyền sóng trong một đoạn hữu hạn, với các điều kiện biên thuần nhất, ta thác triển lẻ và tuần hoàn chu kỳ bằng hai lần độ dài đoạn đó các điều kiện ban đầu. Cách thác triển như sau, đầu tiên lấy đối xứng qua gốc, sau đó dịch hình ảnh qua các chu kỳ. Em có thể tìm hiểu trong sách Giáo trình Giải tích của các thầy Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn về phần khai triển Fourier, đặc biệt khai triển thành chuỗi cosin hoặc khai triển thành chuỗi sine.

      Hình vẽ quá trình thác triển

      Thác triển lẻ - tuần hoàn

  2. Sáng nay, ngày 19/02/2013, tôi có chữa ở lớp K55TT+TN bài toán sau.

    Xét phương trình truyền sóng trên đoạn hữu hạn
    u_{tt}(x, t)=u_{xx}(x, t), 0<x<1, t>0,

    với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất
    u(0, t)=u(1, t)=0, t>0,

    và điều kiện ban đầu

    u(x, 0)=f(x)=0, 0\le x\le 1,
    u_t(x, 0)=g(x)=1, 0\le x\le 1.

    Tôi có nói nghiệm u(x, t) tuần hoàn theo t với chu kỳ 1 với lý do hàm g(x) được cho là đặc biệt. Tôi cũng thử giải thích bằng hình vẽ, nhưng cách giải thích đó thiếu dấu (-), nói cách khác

    u(x, t+1)=-u(x, t).

    Từ đây, chu kỳ theo t của nghiệm u(x, t), như một số bạn có thắc mắc, thực sự phải là 2.

    Điều này không chỉ đúng cho f(x)=0, g(x)=1. Nó được lý giải qua công thức chuỗi nghiệm, giải bằng phương pháp tách biến

    u(x, t)=\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\cos(n\pi t)+b_n\sin(n\pi t))\sin(n\pi x).

    Trong trường hợp bài toán ban đầu, nghiệm của nó

    u(x, t)=\sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{4}{(2k+1)^2\pi^2}\sin((2k+1)\pi t)\sin((2k+1)\pi x).

    • Bài này cũng giống bài 11 có hai phần:

      +) phần thứ nhất có đường cong đặc trưng đi qua;

      +) phần thứ hai không có đường cong đặc trưng nào đi qua (chân không – rarefaction).

      Ở phần chân không em tìm nghiệm dạng u(x, t)=f(x/t).

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s