Trong phần bài tập phương trình đạo hàm riêng có một số bài yêu cầu sử dụng đồ thị để tìm nghiệm, chẳng hạn bài 4.3, 4.5 trong sách “An introduction to PDEs” của Y. Pinchover và J. Rubinstein. Hôm qua, ngày 29/01/2013, bạn Đức đã trình bày tương đối rõ lời giải bằng đồ thị cho bài 4.3. Dưới đây tôi sẽ trình bày qua lời giải bài 4.5.
Bài 4.5 yêu cầu tìm nghiệm của bài toán Cauchy
khi
với điều kiện ban đầu
(đã sửa lại)
Như đã biết nghiệm tổng quát của phương trình truyền sóng
trong đó, đồ thị của sẽ tiến theo chiều dương khi tăng (sóng tiến),
còn đồ thị của sẽ lùi về phía âm khi tăng (sóng lùi).
Để giải nghiệm bằng cách vẽ đồ thị ta cần xác định qua Điều này làm được nhờ việc tách công thức nghiệm D’Alembert.
Các bạn có thể xem hình ảnh qua file dưới đây
http://datuan5pdes.files.wordpress.com/2013/01/anh-tuan.pdf
Lưu ý các đường cong đặc trưng đi qua sẽ là những nơi nghiệm bị gẫy, nghĩa là không có đạo hàm riêng. Do đó nghiệm tìm được là không cổ điển (nonclassical) và kỳ dị (singular) tại những chỗ đó.
Thưa thầy em là Đức K55 ạ.e có thấy thầy viết trong đề cương ôn tập hè 2012 có một mục là thác triển tuần hoàn trong phương trình sóng.em đã tìm nhưng không thấy trong sách tiếng Anh(chỉ có thác triển lẻ vã thác triển chẵn
).e có thể tìm đọc ở đau ạ?Em cám ơn thầy
Khi dùng công thức D’Alembert, phương pháp đồ thị để giải bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyền sóng trong một đoạn hữu hạn, với các điều kiện biên thuần nhất, ta thác triển lẻ và tuần hoàn chu kỳ bằng hai lần độ dài đoạn đó các điều kiện ban đầu. Cách thác triển như sau, đầu tiên lấy đối xứng qua gốc, sau đó dịch hình ảnh qua các chu kỳ. Em có thể tìm hiểu trong sách Giáo trình Giải tích của các thầy Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn về phần khai triển Fourier, đặc biệt khai triển thành chuỗi cosin hoặc khai triển thành chuỗi sine.
Hình vẽ quá trình thác triển
em cám ơn thầy ạ
Sáng nay, ngày 19/02/2013, tôi có chữa ở lớp K55TT+TN bài toán sau.
Xét phương trình truyền sóng trên đoạn hữu hạn
, ,
với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất
và điều kiện ban đầu
Tôi có nói nghiệm tuần hoàn theo với chu kỳ với lý do hàm được cho là đặc biệt. Tôi cũng thử giải thích bằng hình vẽ, nhưng cách giải thích đó thiếu dấu nói cách khác
Từ đây, chu kỳ theo của nghiệm , như một số bạn có thắc mắc, thực sự phải là
Điều này không chỉ đúng cho Nó được lý giải qua công thức chuỗi nghiệm, giải bằng phương pháp tách biến
Trong trường hợp bài toán ban đầu, nghiệm của nó
Thưa thầy, tại sao lại có các giá trị F(x)=-32 khi x>4; G(x)=32 khi x>4 ?
Toi giai thich khi Con lai em tu lam mot cach tuong tu.
Co
Khi
con
Phan tinh toan con lai em tu lam nhe.
em thưa thầy thầy có thể hướng dẫn cho e bài 2.4.12 trong quyển của Bernard đc ko ạ?
Bài này cũng giống bài 11 có hai phần:
+) phần thứ nhất có đường cong đặc trưng đi qua;
+) phần thứ hai không có đường cong đặc trưng nào đi qua (chân không – rarefaction).
Ở phần chân không em tìm nghiệm dạng .
thưa thầy thầy có thể hướng dẫn cụ thể hơn từng phần đc ko ạ?
như câu a), sao lại có characteristic in the (x,t)-plane mà lại ko có characteristic in a whole sector of the plane?
Tôi nhớ phần này tôi đã giảng chi tiết trên lớp nên có lẽ nói lại không chắc đã hơn được gì.
nhưng thầy ơi, trên lớp em thầy chưa dạy ạ. thầy mới chỉ dạy về shock wave trong khi chữa bài 9 thôi ạ
thưa thầy em nhầm, trên lớp thầy có giảng qua rồi. em cảm ơn thầy ạ
Thầy ơi chỗ G(x) khi x thuộc (0,4) thì G(x)= 12x- (x^2)/2 chứ ạ. Sao lại bằng 12x – x^2 ạ.
Em phát hiện đúng rồi. Trong đề bài (tôi đã sửa lại cho giống sách) khi thì nên
Vâng.Em cảm ơn thầy ạ