Hàm giải tích

Định dạng bài viết: Tiêu chuẩn

Như trong bài “Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa – chuỗi Fourier”

https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/06/01/su-hoi-tu-cua-chuoi-luy-thua-chuoi-fourier/#more-1983

ta gặp câu hỏi

“khi xét một hàm khả vi vô hạn có chuỗi Taylor, liệu chuỗi Taylor có xác định trở lại hàm ban đầu hay không?”

Câu hỏi này dẫn ta đến lớp hàm giải tích, hẹp hơn lớp hàm khả vi vô hạn. Có thể nói ngắn gọn về hàm giải tích như sau:

hàm khả vi vô hạn hoàn toàn được xác định xung quanh một điểm cụ thể nhờ việc biết giá trị của đạo hàm mọi cấp của hàm đó tại điểm cụ thể đó!

Nhờ đó ta làm được bài toán ngược của việc tính đạo hàm:

để tính đạo hàm tại một điểm ta cần biết giá trị của hàm tại quanh điểm đó.

Từ hai sự kiện này ta có thể hình dung một quá trình lan truyền như sau.

Xuất phát từ một điểm, như kiểu ta tạo ra một xung động, ta biết giá trị của một hàm giải tích và của đạo hàm mọi cấp của hàm tại đó. Từ đó giá trị biết được của hàm ban đầu được lan ra quanh điểm đó. Ta lại có thể tính đạo hàm mọi cấp tại những điểm đó. Rồi lại do hàm giải tích ta biết được giá trị của hàm ban đầu xung quanh các điểm vừa biết. Cứ thế giá trị của hàm cứ lan ra. Đến đây có câu hỏi: nó lan như nào? lan đến đâu? (Một liên tưởng đến nghịch lý Zeno.)

Trước hết ta xem cách lan ra của hàm giải tích. Bắt đầu từ một điểm x_0 trong miền xác định, ta có tất cả các giá trị đạo hàm các cấp của hàm giải tích f tại điểm x_0:

f^{(n)}(x_0), n=0, 1, 2, \dots.

Ta lập được chuỗi Taylor của hàm tại x_0

\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.

Chuỗi này sẽ hội tụ tuyệt đối trong một hình tròn bán kính R(x_0)

(bán kính hội tụ của chuỗi Taylor, cho bởi công thức Cauchy Hardamard:

R^{-1}(x_0)=\limsup\limits_{n\to\infty}\Big(\dfrac{|f^{(n)}(x_0)|}{n!}\Big)^{1/n}).

Hơn nữa, trong hình tròn đó, chuỗi Taylor tại x_0 trên hội tụ đến chính f(x). Ở đây ta có sự liên tưởng đến sóng cầu, nghĩa là tại bất cứ điểm nào của sóng cầu cũng có thể coi là nguồn sóng cầu! Sự liên tưởng này sẽ cho ta cảm giác chắc chắn trên đường tròn tâm x_0 bán kính R(x_0) phải có một điểm hàm f không giải tích! Vì nếu tại mọi điểm trên đường tròn này hàm f đều giải tích thì chúng sẽ là tâm của các hình tròn mà f giải tích trên đó. Nhờ tính compact ta sẽ dẫn đến có số R>R(x_0)f giải tích trên hình tròn tâm x_0 bán kính R. Khi đó, chuỗi Taylor sẽ hội tụ cả tại những điểm B(x_0, R)\setminus \bar{B}(x_0, R(x_0)) nằm ngoài hình tròn \bar{B}(x_0, R(x_0)). Điều này trái với tính chất của bán kính hội tụ (Định lý Abel)! Ta có thể nhìn chi tiết sự mâu thuẫn này qua Công thức Cauchy sau

f^{(n)}(x_0)=\dfrac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{\gamma}\dfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}dz

trong đó \gamma là đường cong đơn, trơn nằm trong miền mà hàm f giải tích và bao quanh điểm x_0.

Ta chọn \gamma là đường tròn tâm x_0 bán kính R_1\in(R(x_0), R), rồi tham số hóa z=x_0+R_1e^{i\theta}

\dfrac{|f^{(n)}(x_0)|}{n!}\le A R_1^{-n},

với A=\max\limits_{0\le\theta\le 2\pi}|f(x_0+R_1e^{i\theta})|.

Khi đó, dễ có R(x_0)\ge R_1. Mâu thuẫn với điều giả sử!

Như vậy, tại mỗi điểm x_0 chuỗi Taylor của hàm giải tích tại x_0 ngoài việc xác định giá trị của hàm đó trong hình tròn B(x_0, R(x_0)), nó còn chỉ ra rằng hình tròn đó là lớn nhất có thể để hàm ban đầu giải tích trong đó hay nói cách khác nếu bạn lấy bán kính lớn hơn thì trong hình tròn tâm x_0 bán kính lớn hơn đó hàm ban đầu sẽ không giải tích tại một điểm nào đó! Điều này rất có ý nghĩa trong mối quan hệ giữa bán kính phổ và chuẩn, chẳng hạn của toán tử tuyến tính bị chặn A trong không gian Hilbert:

r(A)=\liminf\limits_{n\to\infty}||A^n||^{1/n}.

Mối quan hệ này nói rằng

hình tròn tâm tại gốc có bán kính bé nhất chứa tập phổ \sigma(A) của toán tử A

chính là

phần bù của tập các điểm mà chuỗi Neumann

\sum\limits_{n=0}^\infty z^{-n}A^n

hội tụ tuyệt đối.

Trước khi ta xem hàm giải tích sẽ lan đến đâu, ta xem một cách lan như sóng phẳng khác của hàm giải tích. Cách thức lan như này xuất hiện khi ta quan sát chuỗi Dirichlet

\sum\limits_{n=1}^\infty a_n n^{-z}.

Chuỗi Dirichlet là sự mở rộng của chuỗi điều hòa (hàm zeta Riemann)

\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^\infty n^{-s}.

Như đã biết khi s thực thì

chuỗi điều hòa hội tụ khi và chỉ khi s>1.

Khi s là số phức thì

với \Re s>1, dùng Weiertrass, chuỗi điều hòa hội tụ.

Đây chính là điểm cho ta cảm thấy chuỗi Dirichlet sẽ lan theo các đường song song với trục ảo. Thật vây, ta có kết quả như sau:

Nếu chuỗi Dirichlet hội tụ tại điểm s=s_0=\sigma_0+it_0\in\mathbb C thì nó sẽ hội tụ tại mọi điểm s=s+it, s>s_0.

Như vậy, sự lan truyền sẽ theo kiểu lan từ nửa mặt phẳng phải sang nửa mặt phẳng trái. Ta sẽ có một khái niệm, kiểu như ban kính hội tụ của chuỗi Taylor, hoành độ hội tụ (abscissa of the convergence) là số thực \sigma_c

+) với s=\sigma+it, \sigma>\sigma_c (các điểm phức nằm bên phải đường thẳng s=\sigma_c) chuỗi Dirichlet hội tụ,

+) với s=\sigma+it, \sigma<\sigma_c (các điểm phức nằm bên trái đường thẳng s=\sigma_c+it) chuỗi Dirichlet phân kỳ hay dao động.

Cũng giống chuỗi Taylor, rất khó để nói về sự hội tụ của chuỗi Dirchlet tại s=\sigma+it khi \sigma=\sigma_c (những điểm nằm trên đường thẳng s=\sigma_c+it). Mỗi chuỗi Dirichlet đều có và có duy nhất một hoành độ hội tụ được tính bởi công thức

+) nếu \sum\limits_{n=1}^\infty a_n phân kỳ

\sigma_c=\limsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{\log|a_1+\dots +a_n|}{\log n};

+) nếu \sum\limits_{n=1}^\infty a_n hội tụ

\sigma_c=\limsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{\log|a_{n+1}+a_{n+2}+\dots |}{\log n}.

Các bạn có thể xem thêm về chuỗi Dirichlet ở

http://en.wikipedia.org/wiki/General_Dirichlet_series

Tôi muốn nói thêm về đường ranh giới.

+) Với chuỗi Taylor, đường ranh giới là đường tròn: trên đường tròn này chuỗi Taylor có thể hội tụ tại mọi điểm, hoặc phân kỳ tại mọi điểm như ví dụ dưới đây.

VD1: chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty z^n có bán kính hội tụ R=1, và trên đường tròn ranh giới chuỗi không hội tụ tại bất kỳ điểm nào.

VD2: \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-2}z^n có bán kính hội tụ R=1, và trên đường tròn ranh giới chuỗi  hội tụ tại mọi điểm.

Tuy nhiên hàm giải tích, ứng với chuỗi Taylor,  sẽ không giải tích tại một vài điểm. Điều này giải thích hàm khả vi vô hạn trên toàn đường thẳng thực

\dfrac{1}{1+x^2}

còn chuỗi Taylor tại x=0 của hàm số có bán kính hội tụ R=1.

Cũng có trường hợp hàm giải tích ứng với chuỗi Taylor không giải tích tại bất kỳ điểm nào trên đường tròn ranh giới, chẳng hạn chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty z^{2^n}

có bán kính hội tụ R=1 và không giải tích tại bất kỳ điểm nào trên đường tròn ranh giới. Trong trường hợp này, hàm giải tích chỉ xác định trong hình tròn hội tụ.

Trường hợp hàm giải tích chỉ không giải tích tại một vài điểm trên đường tròn ranh giới cho ta nhiều điều thú vị, chẳng hạn diện Riemann. Ta sẽ quan sát diện Riemann trong vài trường hợp đặc biệt.

Khai triển chuỗi Taylor hàm f(z)=\sqrt{z} tại z=1

f_0(z)=1-\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n(2n-1)!!}{2^nn!}(z-1)^n.

Chuỗi Taylor này có bán kính hội tụ R=1, phân kỳ tại z=0.

Ta thác triển tiếp f_0, B(1, 1) dọc theo đường \gamma(t)=e^{it}, 0\le t\le 4\pi

f_t(z)=e^{it/2}-\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n(2n-1)!!}{2^nn!}(z-e^{it})^n.

Khi t chạy từ 0 đến 4\pi đồ thị phần thực của hàm f_t(z) cho ta hình ảnh diện Riemann của hàm f(z)=\sqrt{z}.

Riemann_sqrt

Diện Riemann của hàm f(z)=\log z được tạo bởi các chuỗi Taylor

f_t(z)=it-\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^n}{n}(z-e^{it})^n

khi cho t chạy từ 0 ra vô cùng.

Riemann_surface_log

+) Với chuỗi Dirchlet, đường ranh giới là đường song song với trục ảo: trên đường thẳng này chuỗi Dirichlet có thể hội tụ tại mọi điểm, hoặc phân kỳ tại mọi điểm như ví dụ dưới đây.

VD3: chuỗi điều hòa \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-s} có đường ranh giới (còn gọi là đường hội tụ) s=1+it. Trên đường ranh giới này, chuỗi điều hòa tiến ra +\infty tại s=0, dao động hữu hạn tại những điểm còn lại.

VD4: chuỗi \sum\limits_{n=2}^\infty (\log n)^{-2}n^{-s} có đường ranh giới (còn gọi là đường hội tụ) s=1+it. Trên đường ranh giới này, chuỗi này hội tụ tại mọi điểm!

Khác với chuỗi Taylor, hàm giải tích tương ứng với chuỗi Dirichlet có thể giải tích trên toàn đường thẳng ranh giới hoặc có trường hợp mọi điểm trên đường ranh giới đều là điểm kỳ dị cốt yếu (essential singularities) như ví dụ sau đây.

VD5: chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}n^{-s} có đường ranh giới là trục ảo, và hàm giải tích tương ứng với chuỗi (1-2^{1-s})\zeta(s) là hàm nguyên (hàm giải tích trên toàn mặt phẳng phức).

VD6: chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty 2^{-2^ns} có đường ranh giới là trục ảo, và hàm giải tích tương ứng với chuỗi nhận các điểm trên đường này là kỳ dị cốt yếu.

Tuy nhiên E. Landau đưa ra kết quả thú vị sau:

Chuỗi Dirichlet với hệ số a_n không âm thì số thực trên đường ranh giới là điểm kỳ dị của hàm giải tích tương ứng.

Trường hợp hàm zeta Riemann \zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^\infty n^{-s} là trường hợp đơn giản với điểm kỳ dị s=1. Hàm zeta Riemann được la ra sang trái đường ranh giới s=1+it như nào?

Đầu tiên ta có biểu diễn, khi s=\sigma+it, \sigma>1

\zeta(s)=1+\dfrac{1}{s-1}-s\int\limits_1^\infty \dfrac{\{u\}}{u^{s+1}}ds.

Có thể thấy vế phải của đẳng thức trên là hàm phân hình trên nửa mặt phẳng s=\sigma+it, \sigma>0 với một cực điểm đơn s=1.

Tiếp tục sử dụng phương trình hàm Riemann

\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin(\frac{\pi s}{2})\Gamma(1-s)\zeta(1-s)

với chú ý

2^s\pi^{s-1}\sin(\frac{\pi s}{2})\Gamma(1-s)

là hàm nguyên và nhận s=0 là không điểm đơn.

Do đó, cứ lấn dần sang bên trái ta thu được hàm phân hình với cực điểm đơn s=1. Từ đó (1-2^{s-1})\zeta(s) là hàm nguyên!

Như vậy ta có hàm zeta Riemann \zeta(s) là hàm phân hình với cực điểm đơn s=1.

Từ phương trình hàm Riemann có thể thấy

-2, -4, -6, \dots

là các không điểm của hàm zeta Riemann \zeta(s). Các không điểm này được gọi là không điểm tầm thường. Các không điểm không tầm thường của hàm zeta Riemann nằm trong dải s=\sigma+it, 0<\sigma<1.

B. Riemann đã đặt ra giả thuyết sau:

“Tất cả các không điểm không tầm thường của hàm \zeta(s) đều nằm trên đường thẳng s=1/2+it.

Các bạn có thể tham khảo thêm “Giả thuyết Riemann” ở đây

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_hypothesis

Advertisements

24 responses »

  1. Trong bài có mối quan hệ giữa tập phổ và chuẩn của toán tử tuyến tính. Ta biết hàm số cũng có khái niệm tập phổ như trong bài

    https://datuan5pdes.wordpress.com/2008/05/03/b%E1%BA%A5t-d%E1%BA%B3ng-th%E1%BB%A9c-h-bohr-b%E1%BA%A5t-d%E1%BA%B3ng-th%E1%BB%A9c-s-bernstein/

    Các bất đẳng thức Bohr và Bernstein cho ta mối quan hệ giữa tập phổ và các đánh giá giữa hàm và đạo hàm của hàm đó. Trong bài báo

    “A property of infinitely differential differentiable functions”, Proc. AMS, Vol 108, No 1, 1990, pp. 73-76,

    giáo sư Hà Huy Bảng đã đưa ra kết quả đẹp, giống như trường hợp toán tử tuyến tính, về mối quan hệ giữa bán kính của tập phổ của hàm số và chuẩn trong không gian L^p của các đạo hàm của nó.

    Chi tiết các bạn có thể xem bài báo qua đường link

    http://www.ams.org/journals/proc/1990-108-01/S0002-9939-1990-1024259-9/

    • Nhắc lại định nghĩa tập phổ (Bohr) của hàm suy rộng f\in S^{,}(\mathbb R) là tập giá của biến đổi Fourier
      supp\mathcal Ff=\{\xi\in\mathbb R|\; \mathcal Ff\not=0 tại \xi\}.

      Để tiện cho việc tiếp theo, tôi dùng biến đổi Fourier
      \mathcal Ff(\xi)=\int\limits_{\mathbb R}e^{-ix\xi}f(x)dx.

      Khi đó bán kính phổ
      \sigma_f=\sup\{|\xi||\; \xi\in supp\mathcal Ff\}.

      Trong trường hợp f\in L^1(\mathbb R, (1+|x|^2)^{-k}dx) với k\in\mathbb Z_+ nào đó, nghĩa là

      \int\limits_{\mathbb R}|f(x)|(1+|x|^2)^{-k}dx<+\infty.

      Người ta đã chứng minh được rằng, trong trường hợp này, \xi là phổ Bohr khi và chỉ khi hàm biến đổi Carleman

      \hat{f}(z)=\begin{cases}\int\limits_0^{+\infty}e^{-zt}f(t) \; khi \; \Re z>0\\ -\int\limits_0^{+\infty}e^{zt}f(-t)dt \; khi \; \Re z<0\end{cases}

      là hàm giải tích trên \mathbb C\setminus\{i\mathbb R\}

      không chính quy tại i\xi, nghĩa là không có thác triển giải tích nào trong bất kỳ lân cận nào của điểm i\xi.

      Nói cách khác lúc này tập phổ Bohr supp f trùng với tập phổ Carleman sp(f).

      Cũng lưu ý, với bất kỳ 1\le p\le +\infty đều có số k\in\mathbb Z_+ để

      L^p(\mathbb R, dx)\subset L^1(\mathbb R, (1+|x|^2)^{-k}dx).

      Gần đây giáo sư Nguyễn Văn Minh cùng các đồng nghiệp, trong công trình

      http://facstaff.columbusstate.edu/nguyen_minh2/cir-spe-talk.pdf

      đưa ra khái niệm “phổ tròn” (circular spectrum) \sigma(f) là tập những điểm không chính quy z trên đường tròn đơn vị \Gamma của hàm giải tích

      R(z, S)f trên \mathbb C\setminus\Gamma.

      Ở đây S là toán tử dịch chuyển

      Sf(x)=f(x-1).

      Toán tử dịch chuyển S có phổ chính là đường tròn đơn vị \Gamma nên toán tử giải R(z, S) là hàm, giá trị toán tử, giải tích trên \mathbb C\setminus \Gamma.

      Tập phổ tròn và phổ Carleman có mối quan hệ như sau

      \sigma(f)=\overline{e^{i sp(f)}}.

  2. Thưa thầy, em xin phép đăng câu hỏi của em ở đây vì không biết nên đăng ở chỗ nào, mong thầy cho phép ạ.

    Em gặp một vấn đề trong bài toán thiết kế với các thông số cụ thể, khi tính toán thì công thức cuối cùng lại đụng phải 1 hàm elliptic (complete elliptic integrals of the first and second kind), biểu thức của nó như sau:

     K(k)=\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2sin^2\theta} }

     E(k)=\int\limits_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-k^2sin^2\theta}d\theta

    Em muốn hỏi là hàm K và E có thể rút gọn được hơn nữa không ạ? Hoặc là có phương pháp xấp xỉ hàm nào có thể áp dụng cho nó để làm mất hàm tích phân không ạ? Em cảm ơn thầy rất nhiều.

    • Khai triển Maclaurin là khai triển Taylor tại x=0. Vậy em xem hàm f(x) có khả vi vô hạn tại điểm x=0 hay không? Đầu tiên kiểm tra tính liên tục

      \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{e^x-1}=1?

      Sau đó kiểm tra tính khả vi. Để ý rằng hàm

      g(x)=\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{e^x-1}{x}

      khả vi vô hạn và có khai triển Maclaurin

      \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{(n+1)!}

      nên g^{(n)}(0)=\dfrac{1}{n+1}

      g^{(n)}(x)=n!\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{x^k}{(n+k+1)!}.

      Từ đó dẫn đến f(x) khả vi vô hạn tại x=0f^{(n)}(0) được tính nhờ công thức truy hồi

      \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)}(0)g^{(n-k)}(0)=0 khi n\ge 1.

      • Đặt g_n(x)=\dfrac{e^x-\sum\limits_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}}{x^{n+1}}, n=0, 1, 2, \dots thì

        g_n^{,}(x)=g_n(x)-(n+1) g_{n+1}(x).

        Từ đó dẫn đến g=g_0 khả vi vô hạn. Mà g(x)\not=0 ở gần điểm x=0 nên f=\dfrac{1}{g} khả vi vô hạn ở gần điểm x=0.

        Do f(x)g(x)=1 nên (f(x)g(x))^{(n)}=0 khi n\ge 1.

    • Tôi đã chỉ cách tính đạo hàm các cấp của f. Phải có gì để em ngồi làm việc chứ nhỉ? Trong trường hợp em không tự làm được thì tôi xin phép không giúp phần việc này cho em được.

      • Có vài cách để trả lời câu hỏi chuỗi Maclaurin hội tụ đến đúng hàm f.

        Cách 1 khá lý thuyết: hợp thành của hai hàm giải tích là hàm giải tích, trong trường hợp đang xét

        f(x)=h(g(x))=(hog)(x)

        trong đó h(x)=\dfrac{1}{x} là hàm giải tích trong lân cận của 1=g(0).

        Em có thể xem cuốn “A Primer of Real Analytic Functions” của Steven G. Krantz, Harold R. Parks.

        Đường link

        http://www.libgen.net/view.php?id=441481

        Cách 2 ta dùng Định lý Bernstein:

        Hàm giải tích tại x=0 nếu trong một lân cận của x=0 đạo hàm mọi cấp của nó đều dương trong lân cận đó. Kết quả này xem

        https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/06/01/su-hoi-tu-cua-chuoi-luy-thua-chuoi-fourier/#more-1983

        Cách 3: dựa vào cách tính mà tôi chỉ ra rồi dùng quy nạp chứng minh

        \dfrac{|f^{(n)}(x)|}{n!}<M khi |x|<1, n=0, 1, 2, \dots.

        Chú ý rằng điều kiện tất cả các đạo hàm bị chặn trong một lân cận là khá chặt. Điều kiện trên cũng đủ dẫn đến chuỗi Maclaurin hội tụ đến f trong một lân cận đủ nhỏ!

      • ok thanks thầy, cách 1 và 2 là xong rồi. còn cách 3 e nghĩ sẽ rất khó vì mình chứng minh bằng quy nạp thì còn có cả đạo hàm các cấp của hàm g(x) không biết có chặn được không.

      • Đúng rồi! Cách 2 không dùng được. Cảm ơn em! Cách 2 chỉ dùng được cho hàm g. Còn ở cách 3, từ công thức

        g^{(n)}(x)=n!\sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{x^k}{(n+k+1)!}

        ta có với |x|<1

        \dfrac{|g^{(n)}(x)|}{n!}\le \dfrac{2}{(n+1)!}g(x)>\dfrac{1}{2}.

        Lại dùng công thức

        \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)=0

        g(x)\dfrac{f^{(n)}(x)}{n!}=-\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{f^{(n-k)}(x)}{(n-k)!}\dfrac{g^{(k)}(x)}{k!}.

        Từ đó với |x|<1

        \dfrac{|f^{(n)}(x)|}{n!}\le 8.

    • Với công thức của hàm Gamma

      \Gamma(z)=\int\limits_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt

      chỉ có nghĩa khi Re(z)>0. Trên đó không khó khăn để thấy \Gamma(z) khả vi vô hạn nên nó là hàm chỉnh hình trên nửa mặt phẳng phức phải.

      Sau đó người ta dùng tính chất

      \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)

      để thác triển nó thành hàm phân hình với các cực điểm 0, -1, -2, \dots. Chi tiết phần này em tham khảo thêm ở

      http://www.math.utah.edu/~milicic/zeta.pdf

    • Các chuỗi lũy thừa

      \sum_{n=0}^\infty n! x^n, \sum_{n=0}^\infty n^n x^n

      đều có bán kính hội tụ bằng 0, nghĩa là chúng đều phân kỳ tại mọi điểm trừ gốc.

      Định lý Borel khẳng định bất kỳ chuỗi lũy thừa đều là khai triển Taylor của một hàm khả vi vô hạn nào đó.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

w

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.