Giới hạn của đạo hàm là đạo hàm?

Standard

Trong đề thi giữa kỳ môn Phương trình vi phân đạo hàm riêng của lớp K55TT+TN cũng như các lớp K56 Toán tin (lớp 13h-15h: Đề 1, Đề 4; lớp 15h-17h: Đề 4, Đề 7 ) có hỏi về tính khả vi theo từng biến của nghiệm tìm được. Chẳng hạn ta xét tính khả vi của u(x, t) theo biến x, cách làm theo định nghĩa:

+ lấy điểm cần xét  (x_0, t_0),

+ tính đạo hàm phải

\lim\limits_{h\to 0^+}\dfrac{u(x_0+h, t_0)-u(x_0, t_0)}{h},

+ tính đạo hàm trái

\lim\limits_{h\to 0^-}\dfrac{u(x_0+h, t_0)-u(x_0, t_0)}{h},

+ ta khẳng định hàm u(x, t) không khả vi theo x tại (x_0, t_0)

-hoặc một trong hai đạo hàm trái và đạo hàm phải không tồn tại,

-hoặc cả hai tồn tại và chúng có giá trị khác nhau;

và khẳng định u(x, t) khả vi theo x tại (x_0, t_0) chỉ khi

+cả hai đạo hàm trái và đạo hàm phải tồn tại và chúng có giá trị bằng nhau.

Sáng nay, ngày 09/04/2013, tôi có chữa bài kiểm tra giữa kỳ cho lớp K55TT+TN, bạn Độ đã làm theo cách khác:

+ tính u_x(x, t_0) khi x<t_0,

+ tính u_x(x, t_0) khi x>t_0,

+ nhận thấy

\lim\limits_{x\to x_0^+}u_x(x, t_0)\not=\lim\limits_{x\to x_0^-}u_x(x, t_0)

nên kết luận u(x, t) không khả vi theo x tại (x_0, t_0).

Thoạt đầu nhìn về bản chất hai cách rất khác nhau và tôi đã nghĩ chiều hướng: bạn Độ không đúng. Rất có thể vẫn khả vi?

Tuy nhiên khi nghĩ lại tôi nhận ra bằng việc dùng L’Hospital đã chỉ ra cách của bạn Độ là đúng!

Từ việc tính được giới hạn

\lim\limits_{x\to x_0^+}u_x(x, t_0) (nghĩa là giới hạn này tồn tại)

và tính liên tục của hàm u(x, t)

\lim\limits_{h\to0^+}(u(x_0+h, t_0)-u(x_0, t_0))=0,

dẫn đến, theo L’Hospital, giới hạn

\lim\limits_{h\to0^+}\dfrac{u(x_0+h, t_0)-u(x_0, t_0)}{h}=\lim\limits_{x\to x_0^+}u_x(x, t_0).

Nói cách khác nhờ sự tồn tại của giới hạn phải của đạo hàm u_x(x, t_0) khi x\to x_0^+ dẫn đến đạo hàm phải u_x^+(x_0, t_0) tồn tại và

u_x^+(x_0, t_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}u_x(x, t_0).

Tương tự ta có đạo hàm trái

u_x^-(x_0, t_0)=\lim\limits_{x\to x_0^-}u_x(x, t_0).

Từ đó cho thấy cách làm của bạn Độ là đúng.

Như vậy, nếu

+ tính được các đạo hàm u_x(x, t_0) khi x<x_0x>x_0,

+ các giới hạn

\lim\limits_{x\to x_0^+}u_x(x, t_0),

\lim\limits_{x\to x_0^-}u_x(x, t_0)

đều tính được (tồn tại hữu hạn hoặc vô hạn),

thì

+ hàm u(x, t) khả vi theo biến x tại (x_0, t_0) nếu các giới hạn trên hữu hạn và bằng nhau;

+ hàm u(x, t) không khả vi theo biến x tại (x_0, t_0) nếu

– hoặc một trong hai giới hạn trên vô hạn;

– hoặc cả hai giới hạn trên hữu hạn và chúng khác nhau.

Các bài trong các đề thi giữa kỳ của các lớp K56 Toán tin đều có thể làm cách này của bạn Độ.

Cũng cần chú ý rằng trong điều kiện của L’Hospital cần có giới hạn của đạo hàm có thể hữu hạn hoặc vô hạn cũng được. Trong trường hợp không tồn tại giới hạn của đạo hàm (dao động) thì không khẳng định được gì! Cụ thể hơn, trong cách làm của bạn Độ vẫn có thể có tính khả vi khi:

+ cả hai giới hạn

\lim\limits_{x\to x_0^+}u_x(x, t_0),

\lim\limits_{x\to x_0^-}u_x(x, t_0)

không tồn tại!

Các bạn có thể kiểm tra qua ví dụ sau

u(x, t)=\begin{cases} (x+t)^2\sin(1/x) \; khi \; x\not=0,\\ 0 \; khi \; x=0\end{cases}

tại điểm (0, 0).

6 responses »

  1. Trong một lần trao đổi với thầy Trịnh Viết Dược, thầy Dược có nói một kết quả thú vị về đạo hàm phải. Ở bài trên cho thấy hàm liên tục trên một khoảng sẽ khả vi tại một điểm x trong khoảng đó nếu:
    +trong một lân cận đủ nhỏ, trừ điểm đang xét, hàm khả vi trên đó,
    +đạo hàm của hàm trên đó có giới hạn tại điểm đang xét,
    thì hàm sẽ khả vi tại điểm đang xét.

    Kết quả thầy Dược nói đến như sau.
    Một hàm liên tục trên một khoảng và có đạo hàm phải tại mọi điểm. Đạo hàm phải này cũng là hàm liên tục trên khoảng đó. Khi đó hàm ban đầu sẽ khả vi trên khoảng đó.

    Nếu bỏ giả thiết hàm liên tục thì có thể thấy hàm bậc thang (như hàm phần nguyên f(x)=[x], x\in\mathbb R là số nguyên lớn nhất trong các số nguyên không lớn hơn x) là phản ví dụ.

    Nếu bỏ giả thiết đạo hàm phải liên tục thì có thể thấy hàm liên tục, tuyến tính từng khúc (như hàm trị tuyệt đối f(x)=|x|, x\in\mathbb R) là phản ví dụ.

    Việc chứng minh kết quả thầy Dược nêu dựa vào hai điều sau:

    +) hàm liên tục thì có nguyên hàm là hàm khả vi,

    +) hàm liên tục, có đạo hàm phải tại mọi nơi đều bằng 0 thì nó là hàm hằng. (Xem
    http://en.wikipedia.org/wiki/Semi-differentiability)

    • Câu hỏi đầu: khẳng định. Bạn tự nghĩ xem sao?

      Câu hỏi sau liên quan đến lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh. Tính liên tục ở đây thường là liên tục phải.

  2. Pingback: Định lý thác triển | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s