Từ chuỗi Fourier đến tích phân Fourier

Standard

Trong bài giảng chiều 09/04/2013, tôi trình bày phương pháp tách biến để giải bài toán biên cho phương trình Laplace. Khi bài toán biên cho hình tròn hay hình vuông nghiệm cần tìm được viết dưới dạng chuỗi Fourier, chẳng hạn trong hình tròn ta có nghiệm dạng chuỗi

v(r, \theta)=a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty r^n(a_n\cos(n\theta)+b_n\sin(n\theta)).

Khi bài toán biên cho nửa dải hay cả dải thì nghiệm cần tìm được có phần viết dưới dạng tích phân Fourier, chẳng hạn trong dải ta có nghiêm dạng tích phân

u(x, y)=\int\limits_0^\infty (A(k)\sinh(kx)+B(k)\cosh(kx))\cos(ky)dk+

+\int\limits_0^\infty(C(k)\sinh(kx)+D(k)\cosh(kx))\sin(ky)dk,

0<x<1, -\infty<y<+\infty.

Tích phân Fourier có thể hiểu như sự liên tục hóa chuỗi Fourier như cách trình bày dưới đây (dựa theo các cuốn “PDEs of Mathematics Physics and Integral Equations” của R. B. Guenther, J. W. Lee và “BVPs and PDEs” của D. L. Powers).

Ta xuất phát từ một hàm f:\mathbb R\to \mathbb R đủ tốt, cụ thể:

+ liên tục, trơn từng khúc,

+ tích phân suy rộng \int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|dx hội tụ.

Với mỗi số dương a xét hàm f_a:\mathbb R\to\mathbb R xác định bởi

f_a(x)=f(x) khi |x|\le a,

sau đó thác triển tuần hoàn chu kỳ 2a lên toàn trục số, nghĩa là

f(x)=f(x-k2a) khi -a+k2a\le x<a+k2a, k\in\mathbb Z.

Khi đó, như đã biết về chuỗi Fourier, ta có khai triển Fourier của f_a(x)

S_a(x)=a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\cos(n\pi x/a)+b_n\sin(n\pi x/a))

với

a_0=\dfrac{1}{2a}\int\limits_{-a}^{a}f(x)dx, a_n=\dfrac{1}{a}\int\limits_{-a}^{a}f(x)\cos(n\pi x/a)dx,

b_n=\dfrac{1}{a}\int\limits_{-a}^{a}f(x)\sin(n\pi x/a)dx.

Chuỗi Fourier S_a(x) hội tụ đến đúng

f_a(x)=f(x) khi |x|<a. (Tại hai đầu mút x=\pm a thì sao?)

Giờ ta sẽ liên tục hóa chuỗi Fourier trên bằng cách đẩy a ra vô cùng.

Trước hết để ý tích phân \int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|dx hội tụ nên

a_0=\dfrac{1}{2a}\int\limits_{-a}^a f(x)dx\to 0 khi a\to+\infty,

và các tích phân

A_a(\lambda)=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-a}^a f(x)\cos(\lambda x)dx,

B_a(\lambda)=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-a}^a f(x)\sin(\lambda x)dx

hội tụ đều theo \lambda trên \mathbb R lần lượt đến các tích phân

A(\lambda)=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\cos(\lambda x)dx,

B(\lambda)=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\sin(\lambda x)dx

khi a\to\infty.

Đặt \lambda_n=n\pi/a

\pi/a=\lambda_{n+1}-\lambda_n=\Delta\lambda_n,

a_n=A(\lambda)\Delta\lambda_n, b_n=B(\lambda)\Delta\lambda_n,

và chuỗi Fourier

S_a(x)=a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty(A(\lambda_n)\cos(\lambda_n x)+B(\lambda_n)\sin(\lambda_n x))\Delta\lambda_n.

Cách viết này cho ta cảm giác tổng sau là “tổng Darboux” tích phân

\int\limits_{0}^\infty (A(\lambda)\cos(\lambda x)+B(\lambda)\sin(\lambda x))d\lambda

theo phân hoạch

P=\{\lambda_n, n\in\mathbb N\}

và các điểm chia \{\lambda_n, n\in\mathbb N\}.

Khi đó ta cho a\to\infty

d(P)=\max\limits_{n\in\mathbb N}\Delta\lambda_n=\lambda/a\to 0

nên

S_a(x)\to \int\limits_{0}^\infty(A(\lambda)\cos(\lambda x)+B(\lambda)\sin(\lambda x))d\lambda.

Hay nói cách khác

f(x)=\int\limits_{0}^\infty(A(\lambda)\cos(\lambda x)+B(\lambda)\sin(\lambda x))d\lambda, \forall x\in\mathbb R

với

A(\lambda)=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\cos(\lambda x)dx,

B(\lambda)=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\sin(\lambda x)dx.

Tuy nhiên ta cần chính xác lại hai vấn đề:

-) trong tích phân suy rộng ta chưa có tổng Darboux và các vấn đề khác như tích phân Riemann trên miền hữu hạn, do đó cần làm rõ quá trình hội tụ của S_a(x) khi a\to\infty,

-) từ việc hội tụ của S_a(x) làm sao lại chuyển sang f(x), hay tại sao

\lim\limits_{a\to\infty} S_a(x)=f(x), \forall x\in\mathbb R,

trong khi ta chỉ có S_a(x)=f_a(x)=f(x) khi |x|<a?

Vấn đề thứ hai khá rõ ràng vì với mỗi x\in\mathbb R  đều có |x|<a với mọi số dương a>a_0=|x|+1.  Khi đó, S_a(x)=f(x) với mọi a>a_0=|x|+1. Như vậy S_a(x) hội tụ điểm đến f(x) khi a\to\infty. (Thực ra việc chứng minh này cũng dẫn đến sự hội tụ này là hội tụ đều trên từng compact.)

Để làm rõ vấn đề 1, theo cách tôi học từ cuốn “Mathematical Analysis” của V. A. Zorich, lại nhờ vấn đề 2 và chứng minh

tích phân

\int\limits_0^\infty (A(\lambda)\cos(\lambda x)+B(\lambda)\sin(\lambda x))d\lambda

hội tụ đến f(x) tại những điểm f(x) khả vi phải và khả vi trái.

Với mỗi M>0 xét

T_M(x)=\int\limits_0^M (A(\lambda)\cos(\lambda x)+B(\lambda)\sin(\lambda x))d\lambda

=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_0^M d\lambda \int\limits_{-\infty}^\infty f(y)\cos(\lambda(x-y))dy.

Do \int\limits_{-\infty}^\infty |f(y)|dy<+\infty nên

\int\limits_{-\infty}^\infty f(y)\cos(\lambda(x-y))dy hội tụ tuyệt đối đều theo \lambda trên \mathbb R.

Khi đó ta có thể đổi thứ tự lấy tích phân như sau

\int\limits_0^M d\lambda \int\limits_{-\infty}^\infty f(y)\cos(\lambda(x-y))dy=\int\limits_{-\infty}^\infty f(y)dy \int\limits_0^M\cos(\lambda(x-y))d\lambda=

=\int\limits_{-\infty}^\infty f(y)\dfrac{\sin(M(x-y))}{x-y}dy

=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x-u)\dfrac{\sin(Mu)}{u}du (đặt y=x-u),

=\int\limits_0^\infty(f(x-u)+f(x+u))\dfrac{\sin(Mu)}{u}du.

Lại để ý

f(x)=f(x)\dfrac{2}{\pi}\int\limits_0^\infty\dfrac{\sin(Mu)}{u}du.

Khi đó

\pi(f(x)-T_M(x))=\int\limits_0^\infty \dfrac{(f(x)-f(x-u))+(f(x)-f(x+u))}{u}\sin(Mu)du.

Tách tích phân trên thành hai phần \int\limits_0^1, \int\limits_1^\infty có các điều sau.

+) Tại những điểm x mà hàm f khả vi phải và khả vi trái thì các hàm

g_1(u)=\dfrac{f(x)-f(x-u)}{u},

g_2(u)=\dfrac{f(x)-f(x+u)}{u}

có thể coi là các hàm liên tục trên [0, 1].

Khi đó theo Bổ đề Riemann-Lebesgue

\lim\limits_{M\to\infty}\int\limits_0^1 g_j(u)\sin(Mu)du=0, j=1, 2.

+) Do \int\limits_{-\infty}^\infty|f(y)|dy<+\infty nên

\int\limits_1^\infty f(x\pm u)\sin(Mu)du hội tụ.

Lại có hàm \dfrac{1}{u} đơn điệu giảm về 0 nên theo Dirichlet

\int_1^\infty \dfrac{f(x\pm u)}{u}\sin(Mu)du hội tụ.

Lấy \epsilon>0 cố định bất kỳ. Khi đó có M_0>1 để

|\int\limits_{M_0}^\infty \dfrac{f(x\pm u)}{u}\sin(Au)du|<\epsilon/2.

Lại có hàm các hàm

\dfrac{f(x\pm u)}{u}, j=1, 2 liên tục trên [1, M_0]

nên theo Bổ đề Riemann-Lebesgue có số A_0>1 để với mọi M>A_0

|\int\limits_1^{M_0} \dfrac{f(x\pm u)}{u}\sin(Mu)du|<\epsilon/2.

Như vậy ta có

\lim\limits_{M\to\infty}\int_1^\infty \dfrac{f(x\pm u)}{u}\sin(Mu)du=0.

+) Do \int\limits_0^\infty\dfrac{\sin u}{u}du hội tụ nên

\lim\limits_{M\to\infty}\int\limits_M^\infty\dfrac{\sin u}{u}du=0

hay

\lim\limits_{M\to\infty}\int\limits_1^\infty\dfrac{\sin (Mv)}{v}dv=0 (đặt u=Mv).

Từ đó

\lim\limits_{M\to\infty}f(x)\int\limits_1^\infty\dfrac{\sin (Mu)}{u}du=0.

Như vậy, với giả thiết f là hàm liên tục, trơn từng khúc (có đạo hàm phải và trái tại mọi nơi), và khả tích tuyệt đối trên toàn đường thẳng, ta có

\lim\limits_{M\to\infty}(f(x)-T_M(x))=0

hay ta có công thức tích phân Fourier

f(x)=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_0^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty f(y)\cos(\lambda(x-y))dy.

Đến đây ta có thể chuyển sang biến đổi Fourier như sau.

Như ở trên chứng minh ta có

\pi f(x)=\lim\limits_{M\to \infty}\int\limits_0^M d\lambda\int\limits_{-\infty}^\infty f(y)\cos(\lambda(x-y))dy

=\lim\limits_{M\to \infty}\int\limits_0^M d\lambda\int\limits_{-\infty}^\infty f(y)\dfrac{e^{i\lambda(x-y)}+e^{-i\lambda(x-y)}}{2}dy

=\dfrac{1}{2}\lim\limits_{M\to \infty}\int\limits_{-M}^M e^{i\lambda x}d\lambda\int\limits_{-\infty}^\infty f(y)e^{-i\lambda y}dy.

Như vậy nếu định nghĩa biến đổi Fourier của một hàm f:\mathbb R\to\mathbb R liên tục, trơn từng khúc và khả tích tuyệt đối

\mathcal F f(\lambda)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-i\lambda y}f(y)d\lambda

thì

f(x)=pv\int\limits_{-\infty}^\infty e^{i\lambda x}\mathcal Ff(\lambda)d\lambda.

Ngoài ra, cũng giống như chuỗi Fourier có khai triển Fourier-sine, khai triển Fourier-cosine ta cũng có tích phân Fourier-sine, tích phân Fourier-cosine như sau:

f(x)=\int\limits_0^\infty A(\lambda)\cos(\lambda x)d\lambda

với

A(\lambda)=\dfrac{2}{\pi}\int\limits_0^\infty f(y)\cos(\lambda y)dy,

f(x)=\int\limits_0^\infty B(\lambda)\sin(\lambda x)d\lambda

với

B(\lambda)=\dfrac{2}{\pi}\int\limits_0^\infty f(y)\sin(\lambda y)dy.

24 responses »

      • em đã tách biến nhưng ở đây là bài 7(285_294) sách power DL, lại có điều kiện U(a,y)=0,U(x,a)=0,U(0,y)=f(y),U(x,0)=f(x) ở đây phải đặt nghiệm dừng như pt truyền nhiệt ạ ?

      • Bài 7/286 yêu cầu giải bài toán biên Dirichlet cho phương trình Laplace trong hình chữ nhật. Ở đây không có việc đặt nghiệm dừng! Để giải bài này em tách thành hai bài toán con:

        +) \Delta u_1=0,

        với các điều kiện biên
        u_1(0, y)=u_1(a, y)=0,
        u_1(x, a)=0, u_1(x, 0)=f(x),

        +) \Delta u_2=0,

        với các điều kiện biên
        u_2(0, y)=f(y), u_2(a, y)=0,
        u_2(x, a)=u_2(x, 0)=0.

        Dùng tách biến để giải từng bài toán.

        Chú ý viết phương trình của f(x) khi biết đồ thị của nó tạo thành tam giác cân với chiều cao h ứng với đáy có độ dài a. Cụ thể hơn, nó chính là đường gấp khúc gồm hai đoạn:

        -) đoạn đầu đi từ gốc đến điểm (a/2, h),

        -) đoạn thứ 2 đi từ điểm (a/2, h) đến (a, 0).

      • Bài 2/279 yêu cầu giải bài toán biên Dirichlet cho phương trình Laplace trong hình tròn. Em sử dụng chuỗi nghiệm rồi tính các hệ số của nó qua các công thức tích phân. Câu hỏi cuối: điều kiện biên có thỏa mãn tại \theta=\pm\pi? Ý câu hỏi này chính là hỏi tính tuần hoàn chu kỳ 2\pi của điều kiện biên không? Em tự trả lời xem?

      • à em quên chưa nói rõ, là bài toán Neumann trong hình tròn đấy ạ, xác định vecto pháp tuyến n và r cùng hay ngược hướng để xác định dấu ∂u/∂n và ∂u/∂r đấy ạ

      • Trên đường tròn em vẽ các véc-tơ pháp tuyến ngoài, nghĩa là chỉ ra ngoài hình tròn. Khi đó có thể thấy nó chỉ ra xa gốc nên nó có cùng hướng với hướng tăng của r.

      • Cùng hướng hay không không phụ thuộc vào bán kính. Trước khi hỏi em cũng nên nghĩ một chút. Hỏi là cần, nhưng cũng nên nghĩ xem mình có tự trả lời được không.

    • Em nên đọc các phản hồi tôi đã trả lời, ít nhất trong bài “Trao đổi bài giảng môn PT ĐHR lớp toán tin K56”. Bài này giống bài bạn Nguyễn Đức Trung hỏi (4c/273) hay bạn LND (9b/274), .v.v.

      Tôi xin phép không trả lời câu hỏi này và mong bạn đọc thêm các trả lời tôi đã viết giúp tôi! Cám ơn bạn!

  1. Pingback: Sử dụng tích phân Fourier để giải PTĐHR | Giải tích

  2. Em thưa thầy, thầy bảo em tài liệu về biến đổi Fourier nhanh (the fast fourier transform) và các ứng dụng và bài toán liên quan của nó như Giải phương trình sai phân tuần hoàn,giải ptdhr bằng cách tách biến, bài toán phụ thuộc thời gian, phương pháp Phổ, Đa thức Chebysev với điều kiện biên bằng 0,… được không ạ. Em mới chỉ được nghe qua về những cái trên và muốn tìm hiểu về nó. Thầy bảo em với ạ. Em cảm ơn thầy ạ.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s