Ánh xạ tuyến tính

Standard

Ánh xạ tuyến tính f: \mathbb R\to\mathbb R có dạng

f(x)=ax,

trong đó a là hằng số thực.

Từ đây có thể thấy ngay ánh xạ f là ánh xạ liên tục.

Trong trường hợp nhiều chiều ta cũng có tình trạng tương tự. Cụ thể mỗi ánh xạ tuyến tính f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m đều là ánh xạ liên tục. Hơn thế nữa nó là ánh xạ compact nhờ tính chất

tập bị chặn = tập compact tương đối (trong không gian hữu hạn chiều).

Những tính chất thú vị trên của ánh xạ tuyến tính không còn đúng khi chuyển sang trường hợp vô hạn chiều.

Có thể thấy ngay vài ví dụ sau.

Ánh xạ đạo hàm

\dfrac{d}{dx}: C^1[0, 1]\to C[0, 1],

trong đó C^1[0, 1] là không gian tất cả các hàm khả vi liên tục đến cấp 1 trên [0, 1] với chuẩn

||f||_{C}=\sup\limits_{x\in[0, 1]}|f(x)|,

còn C[0, 1] là không gian tất cả các hàm liên tục trên [0, 1] với chuẩn

||f||_{C}=\sup\limits_{x\in[0, 1]}|f(x)|,

là ánh xạ tuyến tính, nhưng không liên tục. Tính không liên tục được thấy nhờ việc chọn dãy hàm f_n(x)=\dfrac{\sin(nx)}{n}.

Hay đơn giản hơn, xét ánh xạ

A_1: (C^1[0, 1], ||.||_C) \to\mathbb R, A_1f=f'(0),

là ánh xạ tuyến tính, nhưng không liên tục.

Một ví dụ khác trong không gian dãy như sau.

Xét ánh xạ tuyến tính A_2: c_{00}(\mathbb N, \mathbb R) \to \mathbb R xác định bởi

A_2x=\sum\limits_{n=1}^\infty x_n, x=(x_1, x_2, \dots),

trong đó c_{00}(\mathbb N, \mathbb R) là không gian các dãy số thực x=(x_1, x_2, \dots) mà trong dãy này tất cả các thành phần đều bằng 0 trừ ra một số hữu hạn (finite support) với chuẩn

||x||_\infty=\max\limits_{n\in\mathbb N}|x_n|.

Ánh xạ A_2 cũng là ánh xạ tuyến tính nhưng không bị chặn. Bạn đọc thử tìm dãy \{x^{(n)}\}_{n\in\mathbb N} trong c_{00}(\mathbb N, \mathbb R)

||x^{(n)}||_\infty\to 0, n\to\inftyA_2x^{(n)}=1.

Điểm lưu ý, trong các ví dụ trên các không gian nguồn (tập xác định của ánh xạ tuyến tính) đều là không gian vô hạn chiều. Trong trường hợp không gian nguồn là hữu hạn chiều thì ta luôn có

ánh xạ tuyến tính A: X\to Y, trong đó X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều (chẳng hạn \mathbb R^n), Y là không gian định chuẩn, đều là ánh xạ liên tục.

Một điểm lưu ý nữa, các không gian nguồn ở trên đều không là không gian đầy đủ! Câu hỏi: liệu ánh xạ tuyến tính A:X \to Y, trong đó X, Y là các không gian Banach, có liên tục không? Câu trả lời: không. Vậy có xây dựng được phản ví dụ đơn giản không? Ví dụ thường sẽ mắc phải Định lý đồ thị đóng:

Nếu ánh xạ tuyến A: X\to Y, trong đó X, Y là các không gian Banach, là ánh xạ đóng nghĩa là tập đồ thị \{(x, Ax)|\; x\in X\} là tập đóng trong không gian tích X\times Y, thì nó liên tục.

Một trong các cách xây dựng là dùng Bổ đề Zorn khi thác triển.

Ta tạm gác vấn đề này và chuyển qua xem khi nào toán tử tuyến tính trong không gian vô hạn chiều là compact?

Có thể thấy ngay ánh xạ tuyến tính là compact thì nó liên tục. Điều ngược lại, trong trường hợp vô hạn chiều là không đúng. Ví dụ đơn giản ánh xạ đồng nhất trong không gian định chuẩn vô hạn chiều là liên tục nhưng không compact. Lý do trong không gian vô hạn chiều

tập bị chặn chưa chắc là tập compact tương đối, chẳng hạn hình cầu đơn vị không compact tương đối.

Khi không gian đích là không gian hữu hạn chiều thì ánh xạ tuyến tính liên tục là compact. Ta cũng có thể nói ánh xạ tuyến tính liên tục A: X\to Y, mà tập ảnh của nó AX là không gian hữu hạn chiều thì nó là compact.
Câu hỏi: liệu ảnh của ánh xạ tuyến tính compact là hữu hạn chiều?
Trả lời: không. Nhờ Định lý Azela-Ascoli phép nhúng
Id: (C^1[0, 1], ||.||_{C^1})\to (C[0, 1], ||.||_C),
trong đó chuẩn
||f||_{C^1}=\sup\limits_{x\in[0, 1]}(|f(x)|+|f'(x)|),
là ánh xạ tuyến tính, compact.

Một kết quả thú vị khác do H. R. Pitt đưa ra vào năm 1936:

Ánh xạ tuyến tính bị chặn T: X_p\to \ell_q(\mathbb N, \mathbb R), 1\le q<p\le+\infty

trong đó

+ khi 1<p<+\infty thì X_p=\ell_p(\mathbb N, \mathbb R) là không gian các dãy số thực x=(x_1, x_2, \dots) với chuẩn

||x||_p=(\sum\limits_{n=1}^\infty |x_n|^p)^{1/p},

+ khi p=+\infty thì X_{+\infty}=c_0(\mathbb N, \mathbb R) là không gian các dãy x=(x_1, x_2, \dots) hội tụ về 0 với chuẩn

||x||_\infty=\max\limits_{n\in\mathbb N}|x_n|,

là compact.

Gần đây, Sylvain Delpech đưa ra chứng minh gọn cho kết quả này. Bạn đọc có thể xem

http://www.ams.org/journals/proc/2009-137-04/S0002-9939-08-09617-2/S0002-9939-08-09617-2.pdf

One response »

  1. Định lý đồ thị đóng (Closed graph Theorem) cho ta biết khi nào một ánh xạ tuyến tính giữa các không gian Banach là liên tục. Trong không gian Hilbert ta có kết quả đẹp:

    Định lý Hellinger–Toeplitz cho ta thấy ánh xạ tuyến tính T: H\to H, trong đó H là không gian Hilbert mà đối xứng (symmetry), nghĩa là
    \langle Tx, y\rangle=\langle x, Ty\rangle, \forall x, y\in H,
    thì T liên tục.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s