Lỗ hổng giữa các không gian \ell_p, L^p

Standard

Không gian \ell_p(\mathbb N, \mathbb R) và không gian L^p(0, 1) có khá nhiều nét tương đồng, đặc biệt ta có đẳng cấu giữa \ell_2(\mathbb N, \mathbb R)L^2(0, 1). Ta dễ thấy hai dãy nhúng ngược nhau, với 1<p<q<\infty,

\ell_1(\mathbb N, \mathbb R) \subset \ell_p(\mathbb N, \mathbb R) \subset \ell_q(\mathbb N, \mathbb R)\subset \ell_\infty(\mathbb N, \mathbb R),

L^1(0, 1)\supset L^p(0, 1) \supset L^q(0, 1)\supset L^\infty(0, 1).

Câu hỏi bài này quan tâm: giữa các không gian \ell_p hay L^p còn có gì không?

Trước hết ta quan sát các lỗ hổng trong không gian dãy. Trong giải tích ta biết

chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^\alpha}

+) hội tụ khi \alpha>1,

+) phân kỳ khi \alpha\le 1.

Từ đây có thể thấy giữa \ell_1(\mathbb N, \mathbb R) và các \ell_p(\mathbb N, \mathbb R), p>1 có một khoảng trống

dãy a=\{a_n\}_{n=1}^\infty, a_n=\dfrac{1}{n} có tính chất

a\not\in\ell_1(\mathbb N, \mathbb R),

a\in\ell_p(\mathbb N, \mathbb R), \forall 1<p\le\infty.

Nói cách khác ta có

\ell_1(\mathbb N, \mathbb R)\subsetneqq \cap_{1<p\le\infty}\ell_p(\mathbb N, \mathbb R).

Một cách tương tự khi xét dãy

b=\{b_n\}_{n=1}^\infty, b_n=\dfrac{1}{n^{1/p}}, 1\le p<\infty

có tính chất

a\not\in\ell_p(\mathbb N, \mathbb R),

a\in\ell_q(\mathbb N, \mathbb R), \forall p<q\le\infty.

Nói cách khác ta có

\ell_p(\mathbb N, \mathbb R)\subsetneqq \cap_{p<q\le\infty}\ell_q(\mathbb N, \mathbb R).

Như vậy ta có thể nói thang các không gian \ell_p(\mathbb N, \mathbb R) không "liên tục" phải!

Liệu thang các không gian này có “liên tục” trái không?

Có thể thấy ngay

\cup_{1\le p<\infty}\ell_p(\mathbb N, \mathbb R)\subsetneqq \ell_\infty(\mathbb N, \mathbb R)

vì dãy c=\{c_n\}_{n=1}^\infty, c_n=1 có tính chất

+) c\in\ell_\infty(\mathbb N, \mathbb R),

+) c\not\in \ell_p(\mathbb N, \mathbb R), \forall 1\le p<\infty.

Với các trường hợp khác, câu trả lời dựa vào việc quan sát chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^\alpha(\log n+1)^\beta}

+) hội tụ khi \alpha\ge 1, \beta>1,
+) phân kỳ khi \alpha< 1, \beta >1

Khi đó dãy d=\{d_n\}_{n=1}^\infty, d_n=\dfrac{1}{n^{1/p}(\log n+1)}, 1<p<\infty có tính chất

+) d\in \ell_p(\mathbb N, \mathbb R),

+) d\not\in\ell_q(\mathbb N, \mathbb R), \forall 1\le q<p.

Như vậy, ta có
\cup_{1\le q<p}\ell_q(\mathbb N, \mathbb R)\subsetneqq \ell_p(\mathbb N, \mathbb R).

Như vậy trong thang không gian \ell_p(\mathbb N, \mathbb R), 1\le p\le\infty không “liên tục” trái! Nói tóm lại, thang không gian này không liên tục, nghĩa là

\cup_{1\le q<p}\ell_p(\mathbb N, \mathbb R)\subsetneqq \ell_p(\mathbb N, \mathbb R)\subsetneqq \cap_{p<q\le\infty}\ell_q(\mathbb N, \mathbb R).

Ngoài ra từ ví dụ trên ta cho "p\to\infty" ta có dãy f=\{f_n\}_{n=1}^\infty, f_n=\dfrac{1}{\log n+1} có tính chất

+) f\in c_0(\mathbb N, \mathbb R),

+) f\not\in\ell_p(\mathbb N, \mathbb R), \forall 1\le p<\infty.

Ta có

c_{00}(\mathbb N, \mathbb R)\subsetneqq \cap_{1\le p\le\infty}\ell_p(\mathbb N, \mathbb R)\subset\cup_{1\le p<\infty}\ell_p(\mathbb N, \mathbb R)\subsetneqq c_0(\mathbb N, \mathbb R).

Chuyển sang thang các không gian hàm L^p(0, 1), 1\le p\le\infty, ta quan sát tích phân suy rộng

\int\limits_{\mathbb R}\dfrac{1}{x^\alpha}dx

+) hội tụ khi \alpha<1,

+) phân kỳ khi \alpha\ge 1.

Khi đó hàm số f(x)=\dfrac{1}{x^{1/p}}, 1< p<\infty có tính chất

+) f\not\in L^p(0, 1),

+) f\in L^q(0, 1), \forall 1\le q<p.

Do đó

\cap_{1\le q<p}L^q(0, 1)\supsetneqq L^p(0, 1).

Khi p=\infty ta xét hàm g(x)=\log x có tính chất

+) g\not\in L^\infty(0, 1),

+) g\in L^p(0, 1), \forall 1\le p<\infty.

Từ đó ta có

\cap_{1\le p<\infty}L^p(0, 1)\supsetneqq L^\infty(0, 1).

Như vậy thang các không gian L^p(0, 1), 1\le p\le\infty không liên tục trái!

Liệu thang các không gian hàm này có liên tục phải hay không?

Để trả lời câu hỏi này ta quan sát tích phân suy rộng

\int\limits_0^1 \dfrac{1}{x^\alpha(1-\log x)^\beta}dx

+) hội tụ khi \alpha\le 1, \beta>1,

+) phân kỳ khi \alpha> 1, \beta>1.

Từ đó ta xét hàm g(x)=\dfrac{1}{x^{1/p}(1-\log x)^2}, 1\le p<\infty có tính chất

+) g\in L^p(0, 1),

+) g\not\in L^q(0, 1), \forall p<q\le\infty.

Nói cách khác

L^p(0, 1)\supsetneqq \cup_{p<q\le\infty} L^q(0, 1).

Như vậy thang các không gian hàm L^p(0, 1), 1\le p\le \infty không liên tục, nghĩa là

+) L^1(0, 1)\supsetneqq \cup_{1<q\le+\infty} L^q(0, 1),

+) \cap_{1\le q<p}L^q(0, 1)\supsetneqq L^p(0, 1) \supsetneqq \cup_{p<q\le\infty}L^q(0, 1), 1<p<\infty,

+) \cap_{1\le q<\infty} L^q(0, 1)\supsetneqq L^\infty(0, 1).

3 responses »

  1. Như vậy thang các không gian \ell_pL^p trong bài không liên tục về mặt tập hợp. Tuy nhiên chúng lại liên tục về chuẩn. Nghĩa là

    +) nếu a\in \cup_{p<q}\ell_p thì
    \lim\limits_{p\to q_-}||a||_p=||a||_q , với 1<q\le \infty;

    +) nếu a\in \cap_{p>q}\ell_p thì
    \lim\limits_{p\to q_+}||a||_p=||a||_q, với 1\le q<\infty.

    Một cách gần tượng tự ta cũng có tính liên tục về chuẩn như trên cho không gian L^p.

    Ngoài ra ta còn có tính nội suy trong hai thang không gian này, nghĩa là

    nếu f\in L^p\cap L^q, p<q thì với mọi r\in(p, q) ta có

    ||f||_r\le ||f||_p^{\theta}||f||_{q}^{1-\theta}

    trong đó \theta=\dfrac{q-r}{q-p}.

  2. Pingback: Định lý nhúng – Hàm lũy thừa – Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s