Bất đẳng thức Wirtinger – Bài toán đẳng chu

Standard

Trước hết ta nói qua về bài toán đẳng chu. Bài toán bắt đầu từ câu chuyện Queen Dido (năm 900 trước Công nguyên) được vua ban cho một mảnh đất ven bờ biển được bao quanh bởi sợi dây da bò kèm theo.

anh

Khi đó câu hỏi mảnh đất đó nên có hình như nào để diện tích của nó là lớn nhất? Nếu ta giả sử bờ biển là “đường thẳng” thì câu trả lời là mảnh đất có dạng nửa hình tròn sẽ có diện tích lớn nhất! Câu hỏi tiếp: tại sao có câu trả lời như này?

Giả sử ta có một cái gương lớn đặt ở bờ biển, khi đó mảnh đất của ta được nhân đôi (cộng với phần đối xứng của nó ở trong gương) và nó được bao quanh bởi hai lần sợi dây da bò.
anh (1)

Điều này dẫn đến bài toán đẳng chu:

trong các miền bị chặn có cùng chu vi, miền nào có diện tích lớn nhất?

Câu trả lời: miền hình tròn.

Cách nhìn ngược lại về bài toán đẳng chu: tại sao khi bị lạnh da của ta nổi da gà? Hiện tượng nổi da gà có thể hiểu đơn giản da nổi các hạt hình cầu. Một hiện tượng cũng gần như vậy: khi trời rét tại sao ta thường cuộn tròn người lại? Một hiện tượng khác: khi bị ngã tại sao các cầu thủ co người càng tròn càng tốt trước khi rơi xuống đất? Để trả lời một phần các câu hỏi ở trên có một lý do chung: giảm tối đa diện tích tiếp xúc với môi trường. Khi co lại ta không làm giảm thể tích mà chỉ làm giảm diện tích bề mặt. Điều này dẫn đến bài toán:

trong các vật có cùng thể tích, vật có hình dạng như nào có diện tích bề mặt nhỏ nhất?

Bài toán này là bài toán mặt cực tiểu. Đây là một bài toán không dễ trong hình học. Tuy nhiên trong phần tiếp theo của bài ta chỉ để cập đến bài toán trong mặt phẳng. Khi đó hai bài toán trên được tóm lại bởi bất đẳng thức đẳng chu

A\le\dfrac{L^2}{4\pi},

với A là diện tích còn L là chu vi của miền. Dấu bằng chỉ xảy ra khi miền có dạng hình tròn.

Một cách giải tích, miền đã cho D được bao quanh bởi đường cong kín, không tự cắt, trơn từng khúc có tham số hóa tự nhiên (x(t), y(t)), t chạy từ 0 đến L.

anh (3)

Từ tính khép kín của đường cong ta có

x(0)=x(L), y(0)=y(L).

Tham số hóa tự nhiên nên |x'(t)|^2+|y'(t)|^2=1. Do đó chu vi của đường cong bao quanh miền D

L=\int\limits_0^L (|x'(t)|^2+|y'(t)|^2)dt.

Dùng công thức Green ta có diện tích của miền D

A=|\int\limits_0^L x(t)y'(t)dt|.

Bằng cách đổi biến t=\dfrac{Ls}{2\pi}, f(s)=x(t), g(s)=y(t), dạng giải tích của bất đẳng thức đẳng chu

|\int\limits_0^{2\pi}f(s)g'(s)ds|\le \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi}(|f'(s)|^2+|g'(s)|^2)ds,

trong đó f, g là các hàm trơn từng khúc trên [0, 2\pi] với f(0)=f(2\pi), g(0)=g(2\pi).

Dấu bằng chỉ xảy ra khi f(s)=c_0+a\cos s+b\sin s, g(s)=c_1\pm a\sin s \mp b\cos s.

Bằng cách tịnh tiến, diện tích và chu vi không thay đổi, ta có thể giả sử gốc tọa độ là trọng tâm của miền D. Khi đó ta có

\int\limits_0^{2\pi}f(s)ds=\int\limits_0^{2\pi}g(s)ds=0.

Lúc này bất đẳng thức đẳng chu trên được dẫn từ bất đẳng thức Wirtinger

\int\limits_0^{2\pi}|u(x)|^2dx\le \int\limits_0^{2\pi}|u'(x)|^2dx,

với u\in C^1[0, 2\pi], u(0)=u(2\pi)=0\int\limits_0^{2\pi}u(x)dx=0.

Dấu bằng chỉ xảy ra khi u(x)=a\cos x+b\sin x, a, b là các hằng số.

Bạn đọc có thể tham khảo trong khóa luận của Trịnh Thị Thể
https://bomongiaitich.files.wordpress.com/2011/06/muclucsua8.pdf.
(Một điểm thú vị nữa trong khóa luận của Nguyễn Thị Thể: đưa ra cách chứng minh đẹp của A. Hurwitz cho bất đẳng thức Wirtinger nhờ khai triển Fourier.)

Quay trở lại bài toán đẳng chu trong mặt phẳng. Sợi dây vua ban là sợi dây mềm nên có câu trả lời là nửa hình tròn. Nếu sợi dây cứng, nói rõ hơn nó chỉ có thể có dạng các đoạn thẳng nối với nhau, thì câu trả lời là gì? Lúc này ta chuyển sang trường hợp rời rạc, bất đẳng thức đẳng chu được phát biểu:

trong các đa giác n cạnh, có cùng chu vi thì đa giác đều có diện tích lớn nhất, hay

A\le\dfrac{L^2}{4n\tan(\pi/n)},

với A là diện tích còn L là chu vi của đa giác n cạnh.

Bằng cách thổi ta luôn có thể chuyển từ miền bị chặn bất kỳ sang miền mới

ảnh (2)

có tính chất:

+ giữ nguyên chu vi của miền ban đầu,

+ miền mới có diện tích lớn hơn miền ban đầu,

+ miền mới là tập lồi.

Nhờ chú ý các hình ảnh sau

ảnh

ảnh (1)

ta chuyển từ miền lồi bất kỳ sang miền mới có tính chất:

+ miền mới có chu vi bằng miền lồi ban đầu,

+ diện tích miền mới lớn hơn diện tích miền lồi ban đầu,

+ miền mới là tập lồi và có các cạnh bằng nhau!

Đến đây, nếu như đa giác của ta là tam giác thì miền lồi có các cạnh bằng nhau là tam giác đều. Từ đó ta có ngay bất đẳng thức

A\le \dfrac{L^2}{12\tan(\pi/3)}.

Nếu như đa giác của ta là tứ giác thì miền lồi có các cạnh bằng nhau là hình thoi. Ta lại phải lý luận tiếp:

+ trong các hình thoi có cạnh cùng chiều dài, hình vuông là hình có diện tích lớn nhất (vì giá trị hàm sin nhỏ hơn 1).

Mọi sự không còn dễ dàng khi ta tăng số cạnh của đa giác! Một trong những cách hữu ích ta xem dạng giải tích của bất đẳng thức đẳng chu trong trường hợp n-giác lồi có các cạnh bằng nhau là gì?

Ta sử dụng kết quả sau

anh (2)

(Công thức này được Trần Thế Dũng,xem http://datuan5pdes.files.wordpress.com/2012/06/khoa-luan.pdf, sử dụng để đưa ra chứng minh khác cho tính Pompeiu của miền đa giác, Định lý 2.9.)

Ta đặt hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ chính là trọng tâm của n-giác đã cho. Giả sử n-giác lồi, có các cạnh bằng nhau, đã cho là A_1A_2\dots A_n theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ,với tọa độ A_i=(x_i, y_i), i=1, 2, \dots, n. Khi đó, do gốc là trọng tâm của n-giác nên
\sum\limits_{i=1}^nx_i=\sum\limits_{i=1}^ny_i=0.

Do các cạnh của n-giác đã cho bằng nhau nên bình phương chu vi của nó
L^2=n\sum\limits_{i=1}^n|A_iA_{i+1}|^2, (A_{n+1}=A_1)

hay

L^2=n\sum\limits_{i=1}^n(|x_{i+1}-x_i|^2+|y_{i+1}-y_i|^2).

Trong khi đó diện tích của n-giác đã cho

A=\dfrac{1}{2}|\sum\limits_{i=1}^n (x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)|

hay

A=\dfrac{1}{4}|\sum\limits_{i=1}^n (x_i+x_{i+1})(y_{i+1}-y_i)+(x_i-x_{i+1})(y_{i+1}+y_i)|.

Dạng giải tích của bất đẳng thức đẳng chu lúc này

\sum\limits_{i=1}^n (x_i+x_{i+1})(y_{i+1}-y_i)+(x_i-x_{i+1})(y_{i+1}+y_i)|\le
\le \dfrac{1}{\tan(\pi/n)}\sum\limits_{i=1}^n(|x_{i+1}-x_i|^2+|y_{i+1}-y_i|^2).

Dấu bằng chỉ xảy ra khi x_i=a\cos(i\pi/n+\alpha), y_i=a\sin(i\pi/n+\alpha).

Để chứng minh bất đẳng thức đẳng chu rời rạc này, ta lại thử dùng bất đẳng thức Wirtinger dạng rời rạc. Từ bất đẳng thức Wirtinger liên tục, được Ky Fan, Olga Taussky, John Todd chuyển sang dạng rời rạc vào năm 1955 trong bài

Ky Fan_Olga Taussky_John Todd

Việc chuyển gồm:

+ chuyển tích phân về tổng,

+ chuyển đạo hàm thành sai phân,

+ xem hằng số tốt nhất là gì?

Ky Fan, Olga Taussky, John Todd đã đưa ra dạng rời rạc của bất đẳng thức Wirtinger

\sum\limits_{i=1}^n u_i^2\le \dfrac{1}{4\sin^2(\pi/n)}\sum\limits_{i=1}^n (u_i-u_{i+1})^2,

trong đó u_1, u_2, \dots, u_{n+1} là các số thực thỏa mãn u_1=u_{n+1}\sum\limits_{i=1}^n u_i=0.

Dấu bằng chỉ xảy ra khi u_i=A\cos(2i\pi/n)+B\sin(2i\pi/n).

Việc dẫn từ bất đẳng thức Wirtinger dạng rời rạc sang bất đẳng thức đẳng chu dạng rời rạc bạn đọc có thể tham khảo ở bài báo của Jarmila Novotna

http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/118070/CasPestMat_105-1980-3_5.pdf

One response »

  1. Từ bất đẳng thức đẳng chu cho n-giác
    A\le \dfrac{L^2}{4n\tan(\pi/n)}

    ta thấy:

    + trong các đa giác đều cùng chu vi, đa giác có số cạnh lớn hơn thì có diện tích lớn hơn;

    + khi cho số cạnh tiến ra vô cùng ta được bất đẳng thức đẳng chu cho trường hợp liên tục.

    Hai nhận xét trên dựa vào hai tính chất sau của hàm f(x)=\dfrac{\tan x}{x}, 0<x<\pi/2:

    +) hàm f(x) là hàm tăng,

    +) \lim\limits_{x\to 0_+}f(x)=1.

    Câu hỏi: liệu ta có thể dùng bất đẳng thức đẳng chu rời rạc, bằng cách tiến qua giới hạn để chứng minh bất đẳng thức đẳng chu liên tục không?

    Một điểm trong bài viết chưa thật sự rõ ràng: quá trình chuyển từ n-giác bất kỳ sang n-giác lồi có các cạnh bằng nhau. Quá trình này không dừng lại sau hữu hạn bước mà nó là quá trình lấy giới hạn. Lúc này ta cần đến Định lý Blaschke Selection (https://bomongiaitich.wordpress.com/2013/08/01/tap-compact/#comments).

    Người ta cũng dùng Định lý Blaschke Selection cùng với Định lý đối xứng hóa Steiner để chứng minh bất đẳng thức đẳng chu trong trường hợp liên tục, xem
    http://www.math.utah.edu/~treiberg/Steiner/SteinerSlides.pdf

    Ngoài bài toán đẳng chu, tìm hình có diện tích lớn nhất trong các hình có cùng chu vi, người ta còn quan đến bài toán:

    trong các hình lồi, có bề dày không đổi, hình nào có diện tích nhỏ nhất?

    Trả lời câu hỏi này là nội dung của Định lý Blaschke-Lebesgue: Tam giác Reuleaux. Bạn đọc có thể xem

    http://en.wikipedia.org/wiki/Reuleaux_triangle

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s