Chuỗi lũy thừa tại mút

Standard

Trong bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/06/01/su-hoi-tu-cua-chuoi-luy-thua-chuoi-fourier/#more-1983

ta xét chuỗi lũy thừa thực

\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n.

Trong các bài này đều đề cập đến Định lý Abel về sự tồn tại bán kính hội tụ và công thức tính bán kính hội tụ. Ngoài ra ta còn xét đến sự hội tụ tại các mút. Bàn về sự hội tụ tại mút, trong bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2013/02/09/ham-giai-tich/

đưa ra ví dụ về một hàm thực, khả vi vô hạn trên toàn đường thẳng

\dfrac{1}{1+x^2}.

Hàm này có chuỗi Taylor

\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k x^{2k}

với bán kính hội tụ R=1 và hội tụ tại cả hai đầu mút!

Nếu nhìn dạng hàm phức của hàm trên

\dfrac{1}{1+z^2}

ta sẽ thấy hàm này có những điểm không tốt trên đường tròn đơn vị!

Dưới đây ta sẽ quan sát những hiện tượng xảy ra tại mút của chuỗi lũy thừa phức.

Một trong các công cụ để quan sát hiện tượng tại mút là Định lý Abel. Nhắc lại Định lý Abel trong trường hợp thực:

Giả sử chuỗi lũy thừa \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n có bán kính hội tụ là R=1.

Nếu chuỗi \sum\limits_{n=0}^\infty a_n hội tụ đến S

thì \lim\limits_{x\to 1_-}S(x)=S,

trong đó S(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n, x\in(-1, 1).

Trước khi chuyển sang phát biểu cho trường hợp phức, ta nói qua về chứng minh trong trường hợp thực.

Ta xét tổng

S_m(x)-S_n(x)=\sum\limits_{k=n+1}^m a_kx^k, m>n.

Dùng kỹ thuật biến đổi tổng của Abel

\sum\limits_{k=n+1}^m u_k(v_{k}-v_{k-1})=\sum\limits_{k=n+1}^{m-1} (u_k-u_{k+1})v_{k}-u_{n+1}v_{n}+u_mv_{m}

cho u_k=x^k, v_k=\sum\limits_{j=n}^k a_k (n< k\le m), v_{n}=0

\sum\limits_{k=n+1}^m a_kx^k=\sum\limits_{k=n+1}^{m-1}v_k(x^k-x^{k+1})+v_mx^m.

Khi đó

|S_m(x)-S_n(x)|\le \sum\limits_{k=n+1}^{m-1}|v_k|.|x^k-x^{k+1}|+|v_m|.|x^m|.

Do chuỗi \sum\limits_{k=1}^\infty a_k hội tụ nên theo Cauchy, tồn tại số tự nhiên n_0 để với n\ge n_0
|v_k|=|\sum\limits_{j=n}^k a_j|<\epsilon, \forall k=n+1, n+2, \dots.

Lại có

+) |x^m|=|x|^m,

+) |x^k-x^{k+1}|= |x|^k|1-x|.

Do đó

|S_m(x)-S_n(x)|\le \epsilon(|1-x|\sum\limits_{k=n+1}^{m-1}|x|^k +|x|^m)

<\epsilon(\dfrac{|1-x|}{1-|x|}+1) (khi |x|<1).

Đến đây, trong trường hợp thực

|1-x|=1-|x| khi 0<x<1.

Chuyện tiếp theo, các bạn tham khảo

http://www.proofwiki.org/wiki/Abel's_Theorem

Trong trường hợp phức nói chung ta không có đánh giá cận trên cho đại lượng

\dfrac{|1-x|}{1-|x|}

nếu chỉ có |x|<1.

Chẳng hạn lấy x_n=\cos^2(\theta_n)+i\sin(\theta_n)\cos(\theta_n), 0<\theta_n<\pi/2
|1-x_n|=\sin(\theta_n), 1-|x_n|=1-\cos(\theta_n).

anhHUC

Khi đó

\dfrac{|1-x_n|}{1-|x_n|}=\cot(\theta_n/2)\to +\infty khi \theta_n\to 0_+.

Ta cũng thấy dãy x_n chạy theo đường tròn tiếp xúc với đường tròn đơn vị tại điểm 1.

Trong khi đó, về kỹ thuật ta cần có

|1-x|<L(1-|x|).

Nói cách khác quá trình tiến đến 1 của x không được tiếp xúc với đường tròn và nên nằm trong một góc.

Từ đó ta có phát biểu Định lý Abel trong trường hợp phức:

Cho chuỗi lũy thừa \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n có bán kính hội tụ R=1. Giả sử có \theta_0\in[0, 2\pi) sao cho
chuỗi \sum\limits_{n=0}^\infty a_n e^{in\theta_0} hội tụ đến S(\theta_0).

Khi đó với mỗi góc \alpha\in [0, \pi/2) ta đều có S(x) hội tụ đến S(\theta_0) khi x hội tụ đến e^{i\theta_0} trong góc \{e^{i\theta_0}-re^{i\theta}|\; r>0, \theta\in[-\alpha, \alpha] \}.

anhHUC1

Sự hội tụ trong phần kết luận được gọi là hội tụ không tiếp xúc (non-tangential convergence) hay hội tụ trong góc (angular convergence).

Một số câu hỏi đặt ra:

+ Liệu chuỗi lũy thừa có bán kính R, có giới hạn không tiếp xúc (non-tangential limit) tại điểm Re^{i\theta_0}, nghĩa là có giới hạn S(x) khi x chạy trong góc \{Re^{i\theta_0}-re^{i\theta}|\; r>0, \theta\in[-\alpha, \alpha] \} đến Re^{i\theta_0} thì chuỗi \sum\limits_{n=0}^\infty a_ne^{in\theta_0} hội tụ? Hay, với giả thiết nhẹ hơn, chuỗi có giới hạn bán kính (radical limit) tại Re^{i\theta_0}, nghĩa là có giới hạn \lim\limits_{r\to R_-}S(re^{i\theta_0}) thì chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty a_ne^{in\theta_0} hội tụ?

+ Liệu có phải do kỹ thuật chứng minh nên ta chỉ kết luận được có giới hạn không tiếp xúc? Liệu có ví dụ nào cho thấy nếu bỏ “không tiếp xúc” thì kết luận sai?

Trả lời câu hỏi đầu tiên: nói chung là không. Bạn đọc có thể xem hàm f(x)=\dfrac{1}{1+x} có chuỗi lũy thừa

\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n x^n.

Định lý Tauber là một trong các cách tìm thêm điều kiện để có câu trả lời khẳng định cho câu hỏi đầu tiên. Bạn đọc xem

https://bomongiaitich.wordpress.com/2011/04/29/d%E1%BB%8Bnh-ly-abel-d%E1%BB%8Bnh-ly-tauber/

Một hướng khác, ta quan tâm đến không gian Hardy H^p, không gian các hàm giải tích bị chặn H^\infty và lớp Nevanlinna N trên đĩa đơn vị. Các không gian này được xác định nhờ các phiếm hàm

M_p(r, f)=\Big(\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^pd\theta\Big)^{1/p}, 0<p<\infty,

M_\infty(r, f)=\sup_{\theta\in[0, 2\pi]}|f(re^{i\theta})|,

N(r, f)=\int_0^{2\pi}\log^+|f(re^{i\theta})|d\theta.

Với 0<p\le \infty, không gian H^p và lớp Nevanlinna N là các không gian các hàm giải tích f trên đĩa đơn vị mà M_p(r, f) hay N(r, f) (một cách tương ứng) bị chặn khi r\to 1_-.

Khi đó ta có các phép nhúng

H^\infty\subset H^q \subset H^p\subset N, 0< p< q<\infty.

Giả sử f\in H^\infty. Khi đó:

-) nếu f hội tụ theo bán kính tại điểm e^{i\theta_0} thì nó sẽ hội tụ không tiếp xúc tại điểm đó;

-) f hội tụ theo bán kính tại hầu hết các điểm e^{i\theta} trên đường tròn đơn vị.

Từ hai tính chất này dẫn đến: hàm f\in H^\infty hội tụ không tiếp xúc tại hầu hết các điểm trên đường tròn đơn vị.

Lại có nếu f\in N thì sẽ có g, h\in H^\infty để f=g/h.

Như vậy, mỗi hàm f\in N đều có giới hạn không tiếp xúc tại hấu hết các điểm e^{i\theta} trên đường tròn đơn vị. Lúc đó ta xác định được một hàm trên đường tròn đơn vị. Hàm này được gọi là hàm giá trị biên của f, ký hiệu f(e^{i\theta}).

Khi f\in H^p, 0<p\le\infty, thì

\lim\limits_{r\to 1_-}\int\limits_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^pd\theta=\int\limits_0^{2\pi}|f(e^{i\theta})|^pd\theta

\lim\limits_{r\to 1_-}\int\limits_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})-f(e^{i\theta})|^pd\theta=0.

Đến đây ta có mối nối giữa chuỗi lũy thừa và chuỗi Fourier: quá trình tiến ra biên của hàm giải tích trong đĩa đơn vị thành hàm giá trị biên. Cụ thể như sau, nếu hàm f\in H^1 có khai triển Taylor

\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n

và hàm giá trị biên f(e^{i\theta}) có khai triển Fourier

\sum\limits_{n\in\mathbb Z}c_ne^{in\theta}

thì c_n=a_n, n\ge 0c_n=0, n<0.

Theo Định lý Carleson-Hunt, khi 1<p\le\infty chuỗi \sum\limits_{n\in\mathbb Z}c_ne^{in\theta} hội tụ hầu khắp nơi. Từ đó dẫn đến với f\in H^p, 1<p\le\infty

+ chuỗi Taylor
\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n
hội tụ không tiếp xúc tại hầu hết các điểm e^{i\theta} trên đường tròn đơn vị đến hàm f(e^{i\theta});

+ chuỗi Fourier
\sum\limits_{n=0}^\infty a_ne^{in\theta}
hội tụ hầu khắp nơi trên đường tròn đơn vị đến hàm f(e^{i\theta}).

Như vậy với hầu hết điểm trên đường tròn đơn vị, giới hạn không tiếp xúc của chuỗi Taylor chính là giới hạn của chuỗi Fourier.

Ta chuyển sang câu hỏi thứ hai: Liệu ta bỏ được “không tiếp xúc”? Trong lớp \mathbb A gồm các hàm giải tích trên đĩa, có hệ số Taylor thỏa mãn

\sum\limits_{n=0}^\infty |a_n|<+\infty,

các hàm này sẽ liên tục đến tận biên. Nghĩa là, chuỗi Taylor của hàm giải tích thuộc lớp \mathbb A hội tụ tại bất cứ điểm nào trên đường tròn đơn vị. Một ví dụ cụ thể

\sum\limits_{n=1}^\infty n^{-2}x^n.

Ví dụ này chưa đủ để đưa ra câu trả lời khẳng định. Câu trả lời là phủ định dựa trên việc xây dựng tích Blaschke (Blaschke product). Với mỗi dãy \{a_n\}_{n=1}^\infty trong đĩa đơn vị thỏa mãn

\sum\limits_{n=1}^\infty (1-|a_n|)<+\infty

ta có tích

e^{i\gamma}z^{k}\Pi_{n=1}^\infty\dfrac{1}{|a_n|}\dfrac{z-a_n}{z-\bar{a_n}},

trong đó \gamma\in\mathbb R, k\in\mathbb Z_+,

hội tụ đến một hàm giải tích B(z) trong đĩa đơn vị. Hàm này được gọi là tích Blaschke.

Hàm này có các không điểm là dãy \{a_n\}_{n=1}^\infty, |B(z)|\le 1 khi |z|<1. Do đó B\in H^p, \forall p>0. Khi đó nó sẽ hội tụ không tiếp xúc tại hầu hết các điểm trên đường tròn. Hơn nữa, giới hạn không tiếp xúc B(e^{i\theta})=1 hầu khắp nơi trên đường tròn đơn vị. Như vậy, để tìm ra chuỗi lũy thừa có giới hạn không tiếp xúc mà không có giới hạn tại một điểm trên đường tròn đơn vị ta chỉ cần chọn dãy không điểm \{a_n\}_{n=1}^\infty hội tụ đến điểm e^{i\theta_0} trên đường tròn đơn vị thỏa mãn:

+ tại đó B(e^{i\theta_0})=1.

Bằng cách chọn \gamma không phụ thuộc vào dãy \{a_n\}_{n=1}^\infty ta có thể cho \theta_0=0. Lúc này ta chọn

a_n=x_n=\cos^2(\theta_n)+i\sin(\theta_n)\cos(\theta_n)

như ở trên, với dãy góc \theta_n giảm dần về 0 và thỏa mãn

\sum\limits_{n=1}^\infty \theta_n^2<+\infty.

Khi đó

\sum\limits_{n=1}^\infty(1-|a_n|)=\sum\limits_{n=1}^\infty 2\sin^2(\theta_n/2)\le \sum\limits_{n=1}^\infty\theta^2_n<+\infty.

Tích Blaschke được chọn lúc này có tính chất:

+) B(a_n)\to 0 khi a_n\to 1,

+) giới hạn không tiếp xúc của B(x) tại x=1B(1)=1.

Trong cuốn "Trigonometric series I" của A. Zygmund, Định lý 7.44 (trang 280) còn khẳng định: có thể xây dựng được tích Blaschke sao cho nó không có giới hạn tiếp xúc tại hầu hết các điểm trên đường tròn đơn vị. Đường link cuốn sách

http://en.bookfi.org/book/1468585

Về mút (hay giá trị biên) của chuỗi lũy thừa, ngoài Định lý Abel và những vấn đề tôi vừa viết trên, còn khá nhiều vấn đề, chẳng hạn bài toán biên của hàm giải tích:

+ sự tồn tại,

+ tính duy nhất.

Về tính duy nhất, ta có Định lý sâu sắc của I. I. Privalov và N. N. Luzin:

Một hàm phân hình (thương của hai hàm giải tích) có giới hạn không tiếp xúc trên đường tròn đơn vị bằng 0 trên một tập có độ đo dương thì hàm đó phải bằng 0.

I. I. Privalov và N. N. Luzin cũng xây dựng ví dụ về một hàm giải tích bị chặn có giới hạn bằng 0 trên một tập có độ đo không trên đường tròn đơn vị. Hai ông cũng xây dựng ví dụ hàm giải tích có giới hạn theo bán kính bằng 0 hầu khắp nơi trên đường tròn đơn vị.

Bạn đọc có thể xem thêm

http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Uniqueness_properties_of_analytic_functions

http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASENS_1925_3_42__143_0

Về sự tồn tại, ta có kết quả sau:

với hàm giá trị biên f(e^{i\theta})\in L^p, p>1 thì hàm f được xác định nhờ công thức Poisson sẽ thuộc vào không gian H^p.

One response »

  1. Vài chuyện nhỏ về Blaschke. Ngoài tích Blaschke ta còn có Định lý Blaschke Selection về họ các tập compact cùng nằm trong tập bị chặn. Định lý này có mặt trong các kết quả về bài toán đẳng chu cũng như phương trình Monge-Ampere (Tôi biết điều này nhờ bài giảng của Lê Quang Nẫm). Về tích Blaschke, L. Carleson trước khi chứng minh giả thuyết Luzin có câu trả lời khẳng định ông đã nói chuyện với A. Zygmund về việc dùng tích Blaschke để tìm phản ví dụ cho giả thuyết Luzin. Các bạn có thể xem

    http://www.ams.org/notices/200702/comm-carleson.pdf

    Shiing-Shen Chern, Luis Santaló, và Emanuel Sperner là học trò của Wilhelm Johann Eugen Blaschke người nghĩ ra tích Blaschke và Định lý Blaschke Selection.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s