Trao đổi bài giảng Giải tích 1 Lớp K58 A3

Standard

Hôm nay, 16/09/2013, tôi bắt đầu dạy lý thuyết Giải tích 1 cho lớp K58 A3. Khung chương trình của môn này

Đề cương môn học-Ngành Toan tin-Giai tich 1

Ngoài ra các bạn có thể tham khảo thêm các bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2011/09/13/trao-d%E1%BB%95i-gi%E1%BA%A3i-tich-1-2-l%E1%BB%9Bp-k56a2/

https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/02/04/trao-d%E1%BB%95i-gi%E1%BA%A3i-tich-34-l%E1%BB%9Bp-k56/

https://bomongiaitich.wordpress.com/2010/09/18/trao-d%E1%BB%95i-bai-gi%E1%BA%A3ng-l%E1%BB%9Bp-k55a2/

https://bomongiaitich.wordpress.com/2011/02/24/trao-d%E1%BB%95i-gt34-v%E1%BB%9Bi-l%E1%BB%9Bp-k55a2/

Từ K56 trở về trước cách sắp xếp các môn Giải tích khác so với bây giờ. Cụ thể:

GT1 (bây giờ) =GT 1(ngày xưa) + GT 2(ngày xưa) + GT 3(ngày xưa).

Các bạn sinh viên cần trao đổi gì về môn học có thể viết vào phần Comments ở cuối bài.

22 responses »

  1. Hôm 16/09/2013 khi đưa ví dụ về một tập, trong tập các số hữu tỷ, bị chặn trên nhưng không có chặn trên bé nhất

    A=\{r\in \mathbb Q|\; r<\sqrt{2}\}

    tôi mắc một vài điểm. Các bạn có thể xem trong bài "Trao đổi Giải tích 1 và 2 Lớp K55 A2 ".

  2. Hôm nay 23/09/2013 tôi tiếp tục giảng về tập số thực, cụ thể mối liên hệ giữa sup và các phép toán tập hợp như sau.

    Cho A, B là các tập con của tập số thực, và số dương r. Khi đó ta có các kết luận sau.

    +) \sup(rA)=r\sup(A), \sup(-A)=-\inf(A).

    +) \sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B).

    +) \sup(A\cup B)=\max\{\sup(A), \sup(B)\}.

    +) \sup(A\cap B)\le \min\{\sup(A), \sup(B)\}.
    Tôi có chỉ ra ví dụ không có dấu bằng. Hỏi khi nào thì có dấu bằng?

    +) \sup(A\setminus B)\le \sup(A).

    +) \sup(A\Delta B)\le \max\{\sup(A), \sup(B)\}.

    Một cách tương tự tôi có yêu cầu các bạn phát biểu cho inf.

    Các kết quả trên thường dựa vào chú ý sau:

    + nếu A\subset B thì

    \sup(A)\le \sup(B\inf(A)\ge \inf(B).

    Một chú ý nữa A luôn có sup(A) với cách hiểu sau:

    + A không bị chặn trên ta nói \sup(A)=+\infty,

    + A bị chặn trên theo tiên đề cận trên đúng \sup(A)<+\infty.

    + Quy ước \sup(A)=-\infty khi A=\emptyset.

    Tiếp đến tôi nói về Định lý Archimede:

    Cho x\in\mathbb R, a>0.

    Khi đó ta luôn tìm được số nguyên n để

    na\le x_0<(n+1)a.

    Trong trường hợp a=1 ta gọi số tự nhiên n tìm được là phần nguyên của x, nghĩa là số nguyên lớn nhất bé hơn x. Các bạn tham khảo thêm

    http://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functions

    Tôi chứng minh cho trường hợp x>0.

    Khi chứng minh tôi xét tập A=\{na|\; na\le xn\in\mathbb Z\}.

    Dễ có A bị chặn trên bởi x nên theo tiên đề cận trên đúng

    x_0=\sup(A)\le x.

    Cách 1: Nếu x_0=\max(A) thì tôi đã dẫn đến điều cần tìm.

    Tôi đang cố gắng chứng minh x_0=\max(A).

    Có một bạn gợi ý xét tập

    A_+=\{na|\; na\le xn\in\mathbb Z_+\}.

    Thấy ngay rằng

    \sup(A)=\sup(A_+).

    Việc tiếp theo: chứng minh A_+ có hữu hạn phần tử. Khi đó

    \sup(A_+)=\max(A_+).

    x_0=\sup(A_+) nên x_0-a không là chặn trên của A_+. Do đó sẽ có n_0\in\mathbb Z_+ để

    n_0a\in A_+

    x_0-a< n_0a hay x_0< (n_0+1)a.

    Nếu n>n_0+1 thì

    x_o<na hay na\not\in A_+.

    Do đó A_+\subset\{0, a, 2a, \dots, (n_0+1)a\}. Ta có điều phải chứng minh.

    Cách 2: Ta bắt ngay ý cuối của chứng minh trên. Do x_0=\sup(A) nên x_0-a không là chặn trên của A. Khi đó có một số nguyên n_0 để

    n_0a\in A hay n_0a\le x_0

    x_0-a<n_0a hay x_0<(n_0+1)a.

    Kết thúc chứng minh Định lý Archimede.

    Với cách 1 tôi dẫn đến: tập con của tập các số nguyên không âm bị chặn khi và chỉ khi nó có hữu hạn phần tử. Với cách 2 tôi không cần giả thiết x>0.

    Tôi chưa trình bày tính trù mật của tập số hữu tỷ trong tập số thực. Tuần tới tôi sẽ trình bày phần này.

    Cuối cùng tôi chuyển sang chương 2: Giới hạn. Tôi đã trình bày các khái niệm:

    – dãy số thực hội tụ, dãy số thực không hội tụ,

    – dãy cơ bản hay còn gọi là dãy Cauchy.

  3. Hôm nay 30/09/2013, tôi đã viết lại chứng minh cho Định lý Archimede, sau đó tôi trình bày về tính trù mật của tập số hữu tỷ trong tập số thực. Có thể hiểu nôm na về tính trù mật: bất kỳ chỗ nào (khoảng mở khác rỗng nào) cũng chứa một số hữu tỷ. Tôi cũng đã đưa ra một số bài tập để các bạn làm. Các bạn cũng lưu ý những phần tôi chưa đưa ra chứng minh chi tiết và các bài tập tôi nêu khi dạy các bạn nên tự chi tiết hoặc hỏi thầy cô chữa bài tập hoặc hỏi tôi vì rất có thể tôi sẽ lấy phần đó hay bài tập đó làm bài kiểm tra ngắn.

    Tiếp đó tôi quay trở lại phần giới hạn của dãy số thực. Phần này tôi lưu ý việc học các Định lý hay Mệnh đề cần chú ý vài điểm:

    – Phát biểu mệnh đề ngược của các kết quả và xem nó có đúng không. Nếu đúng thử chứng minh, nếu không tìm phản ví dụ và tìm xem có trường hợp nào mệnh đề ngược đúng.

    – Xem xét các giả thiết trong các kết quả: liệu ta có thể bỏ đi được giả thiết nào không, nếu không tìm phản ví dụ để thấy khi không thỏa mãn giả thiết thì kết luận sai.

    – Khi áp dụng các kết quả có hai cách:

    + Kiểm tra tất cả các giả thiết mới được đưa ra kết luận vì rất có thể khi một giả thiết không thỏa mãn dẫn đến kết luận sai.

    + Áp dụng ngược: kiểm tra kết luận sai ta dẫn đến một trong các giả thiết sẽ phải sai.

    Tôi đã làm việc này cho các kết quả:

    – Dãy hội tụ thì mọi dãy con của nó hội tụ.

    – Dãy hội tụ thì bị chặn.

    Từ đó dẫn đến

    – Dãy bị chặn và đơn điệu thì hội tụ.

    Câu hỏi dãy đơn điệu thì hội tụ không? Câu hỏi này dẫn đến khái niệm hội tụ về vô cùng! Khái niệm này tuần sau tôi sẽ trình bày.

    Các bạn nên phân biệt

    – dãy hội tụ và dãy hội tụ đến một số thực;

    – dãy không hội tụ và dãy không hội tụ đến một số thực.

    Từ đó: một dãy hội tụ thì nó có giới hạn là một số thực mà

    bất kỳ số thực khác đều không là giới hạn của dãy đó.

  4. Hôm nay 07/10/2013, tôi đã trình bày xong phần dãy số. Tuần tới tôi sẽ chuyển sang giới hạn của hàm số.

    Tóm lại phần dãy số:

    Với một dãy số thực ta có ba tình huống sau:

    – Dãy có giới hạn, ta hiểu dãy hội tụ đến một số hữu hạn.

    – Dãy có giới hạn vô hạn, chẳng hạn dãy tăng và không bị chặn trên.

    Cả hai trường hợp trên đều dẫn đến tập các giới hạn riêng của dãy chỉ có đúng một phần tử, trong trường hợp 2 thì phần tử đó là vô cùng.

    – Dãy không có giới hạn hữu hạn và cũng không có giới hạn vô hạn. Lúc này ta nói dãy dao động, nó sẽ có ít nhất hai giới hạn riêng là giới hạn trên và giới hạn dưới.

    Tôi cũng nói một số chú ý về các phép toán cũng như tính bị chặn và đơn điệu của dãy. Các bạn tham khảo thêm bài “Tổng hợp về dãy số”. Ngoài ra tôi cũng chú ý việc tìm tất cả các giới hạn riêng: ngoài việc chỉ ra các số là giới hạn riêng còn phải chỉ ra các số không phải là giới hạn riêng. Việc tìm giới hạn trên (dưới) có hai cách:

    – tìm tất cả các giới hạn riêng rồi tìm chặn trên bé nhất (dưới lớn nhất) của tập vừa tìm,

    – tìm dãy các chặn trên bé nhất (dưới lớn nhất) của phần đuôi rồi tính giới hạn của dãy này.

    Chẳng hạn, ta xét dãy u_n=(-1)^n.

    Có thể thấy ngay -1, 1 là các giới hạn riêng của dãy đã cho.

    Ngoài ra, nếu a\not\in\{-1, 1\} thì a không là giới hạn riêng của dãy đã cho.

    Như vậy, tập các giới hạn riêng của dãy đã cho chỉ gồm -1, 1. Nên dãy đã cho có giới hạn trên 1 và giới hạn dưới -1.

    Lại có, với mỗi số tự nhiên n

    a_n=\sup_{k\ge n} u_k =1;

    b_n=\inf_{k\ge n} u_k=-1.

    Khi đó

    \limsup_{n\to\infty}u_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=1;

    \liminf_{n\to\infty}u_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=-1.

    Một số kết quả lý thuyết:

    – Nguyên lý Cantor về dãy lồng nhau, thắt lại.

    – Nguyên lý Bolzano-Weierstrass về dãy bị chặn thì tập các giới hạn riêng khác rỗng và bị chặn.

    – Nguyên lý Cauchy: dãy là cơ bản khi và chỉ khi nó hội tụ.

    – Nguyên lý kẹp: về thực chất là tính bảo toàn thứ tự của giới hạn.

    Lưu ý sự khác nhau giữa tập hợp và dãy:

    – một vài số hữu hạn phần tử trong tập hợp có thể ảnh hưởng nhiều đến tập hợp, chẳng hạn việc lấy chặn trên;

    – một số hữu hạn các phần tử của dãy không ảnh hưởng đến giới hạn, giới hạn riêng của dãy đó.

    • Như đã học

      \sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B),

      \lim\limits_{n\to\infty}(u_n+v_n)=\lim\limits_{n\to\infty}u_n+\lim\limits_{n\to\infty}v_n,

      khi hai giới hạn của vế phải cùng tồn tại,

      liệu có hay không

      \limsup\limits_{n\to\infty}(u_n+v_n)=\limsup\limits_{n\to\infty}u_n+\limsup\limits_{n\to\infty}v_n,

      khi cả hai giới hạn của vế phải hữu hạn?

      Một cách tương tự, với số dương a

      \sup(aA)=a\sup(A),

      \lim\limits_{n\to\infty}au_n=a\lim\limits_{n\to\infty}u_n,

      khi giới hạn của vế phải tồn tại,

      liệu có hay không

      \limsup\limits_{n\to\infty}au_n=a\limsup\limits_{n\to\infty}u_n,

      khi giới hạn của vế phải hữu hạn?

      Lưu ý với a<0, chẳng hạn a=-1

      \sup(-A)=-\inf(A),

      nhưng ta vẫn có

      \lim\limits_{n\to\infty}(-u_n)=-\lim\limits_{n\to\infty}u_n,

      khi giới hạn của vế phải tồn tại.

      Liệu có hay không

      \limsup\limits_{n\to\infty}(-u_n)=-\liminf\limits_{n\to\infty}u_n,

      khi giới hạn của vế phải hữu hạn?

      Giữa tập hợp và dãy có một mối quan hệ khá thú vị sau.

      \cup_{n=1}^\infty (-\infty, u_n)=(-\infty, \sup\limits_{n\ge 1}u_n),

      \cap_{n=1}^\infty (-\infty, u_n)=(-\infty, \inf\limits_{n\ge 1}u_n).

      Từ đó

      \cap_{n=1}^\infty \cup_{k=0}^\infty (-\infty, u_{n+k})=(-\infty, \limsup\limits_{n\to\infty}u_n),

      \cup_{n=1}^\infty \cap_{k=0}^\infty (-\infty, u_{n+k})=(-\infty, \liminf\limits_{n\to\infty}u_n).

      Với dãy các tập hợp A_n, n=1, 2, \dots, ngoài phép hợp tất cả và giao tất cả các tập này ta còn xét

      \limsup\limits_{n\to\infty}A_n=\cap_{n=1}^\infty \cup_{k=0}^\infty A_{n+k},

      \liminf\limits_{n\to\infty}A_n=\cup_{n=1}^\infty \cap_{k=0}^\infty A_{n+k}.

  5. Hôm nay 14/10/2013, tôi bắt đầu bằng bài kiểm tra ngắn:

    Chứng minh rằng \sqrt[3]{2013}\not\in\mathbb Q.

    Tiếp đó tôi đã chuyển sang giới hạn của hàm số một biến và hai biến bằng khái niệm điểm tụ. Tôi đã nói một số nét về giới hạn kép và giới hạn lặp.

    Một điểm lưu ý khi tính giới hạn của hàm số:

    – ta không quan tâm hàm số tại điểm đang xét giới hạn;

    – ta chỉ quan tâm hàm số tại những điểm gần điểm đang xét.

    Điều này thể hiện khá rõ khi tôi thử tính giới hạn lặp

    \lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\dfrac{x+y}{x-y}.

    Về giới hạn của hàm một biến các bạn có thể xem bài tổng hợp

    https://bomongiaitich.files.wordpress.com/2011/12/thieuthilananh_k56a2.pdf

    Về giới hạn kép và giới hạn lặp các bạn tham khảo thêm

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2011/02/09/gi%E1%BB%9Bi-h%E1%BA%A1n-l%E1%BA%B7p-gi%E1%BB%9Bi-h%E1%BA%A1n-kep/

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/02/19/tinh-gi%E1%BB%9Bi-h%E1%BA%A1n-kep-c%E1%BB%A7a-phan-th%E1%BB%A9c/

  6. Hôm nay 21/10/2013, tôi bắt đầu với khái niệm hội tụ của dãy điểm trong mặt phẳng. Có thể thấy sự hội tụ của dãy điểm trong mặt phẳng tương đương với sự hội tụ của hai dãy tọa độ của chúng. Một khái niệm nữa trong mặt phẳng khái niệm tập bị chặn. Lưu ý khi so sánh với đường thẳng thực, trên mặt phẳng không có chặn trên và chặn dưới. Sau đó tôi trình bày các kết quả tương tự từ đường thẳng thực lên mặt phẳng: Định lý Bolzano-Weierstrass cho tập bị chặn, nguyên lý Cantor, nguyên lý Cauchy cho dãy điểm hội tụ.

    Tiếp đến tôi quay trở lại khái niệm giới hạn hàm số. Cũng giống dãy số hội tụ thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ, hàm số có giới hạn tại điểm tụ thì bất kỳ dãy điểm khác điểm tụ, hội tụ đến điểm tụ có tính chất ảnh của dãy qua hàm số là dãy số hội tụ đến đúng giới hạn hàm số tại điểm tụ. Điều ngược lại cũng đúng. Một vài tính chất: tính duy nhất của giới hạn hàm số, tính cộng tính, v.v cũng được đưa ra. Với hàm xác định trên một tập trong đường thẳng ta còn có khái niệm đơn điệu. Từ đó dẫn đến Định lý giống Định lý Weierstrass trong phần dãy số.

    Bài giảng hôm nay kết thúc với câu hỏi: ta biết gì về số e?

  7. Hôm nay 28/10/2013, tôi đã kết thúc phần giới hạn hàm số với các khái niệm:

    – hàm xác định trên tập con trong đường thẳng:

    + giới hạn tại vô cùng,

    + giới hạn trái, giới hạn phải;

    – hàm xác định trên tập con trong đường thẳng hay xác định trên tập con trong mặt phẳng:

    + giới hạn bằng vô cùng.

    Tôi quên chưa nói vô cùng bé, vô cùng lớn. Các bạn có thể tham khảo bài

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2011/11/09/vo-cung-l%E1%BB%9Bn-vo-cung-be/

    Tôi bắt đầu chuyển sang tính liên tục của hàm số với khái niệm: điểm cô lập và điểm tụ. Trong trường hợp hàm xác định trên một tập con trong đường thẳng ta có các khái niệm: gián đoạn loại I, gián đoạn loại II, v.v.. Tôi quên chưa nói liên tục trái, liên tục phải.

    Tôi cũng đã trình bày một số tính chất của hàm liên tục và kết thúc với hai khái niệm tập compact và tập liên thông.

  8. Hôm nay 04/11/2013 tôi đã trình bày xong phần tính liên tục của hàm một biến cũng như hàm hai biến. Có một số kết quả quan trọng sau.

    Định lý về sự tồn tại GTLN và GTNN của hàm liên tục xác định trên tập compact.

    Định lý về tính liên thông của hàm liên tục xác định trên [0, 1] hay [0, 1]*[0, 1]. Một cách tổng quát, ảnh của một tập liên thông qua ánh xạ liên tục là tập liên thông.

    Tiếp đến tôi trình bày tính liên tục của hàm đơn điệu một biến. Hàm đơn điệu chỉ có gián đoạn loại 1. Hàm đơn điệu trên đoạn [0, 1] là hàm liên tục khi và chỉ khi tập ảnh của nó là đoạn nối f(0) và f(1). Hàm đơn điệu tăng chặt trên [0, 1] là song ánh đi từ [0, 1] vào [f(0), f(1)]. Hơn nữa hàm ngược cũng là hàm liên tục.

    Ngoài ra tôi cũng nói về VCL, VCB tại một điểm, tính liên tục trái và liên tục phải. Tôi cũng nói đến tính liên tục đều và Định lý Cantor.

    Tôi chưa nói về tính liên tục theo từng biến.

    Tuần sau tôi sẽ chuyển sang tính khả vi của hàm số.

  9. Hôm nay 11/11/2013, tôi trình bày mối khái niệm liên tục theo từng biến và liên hệ nó với tính liên tục. Ngoài ra tôi đưa ra mối quan hệ giữa giới hạn kép và giới hạn lặp khi các giới hạn này tồn tại. Về sự tồn tại của các giới hạn này độc lập với nhau các bạn xem

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2011/02/09/gi%E1%BB%9Bi-h%E1%BA%A1n-l%E1%BA%B7p-gi%E1%BB%9Bi-h%E1%BA%A1n-kep/

    Tiếp đến tôi chuyển sang phép tính vi phân với các khái niệm:

    – đạo hàm (hàm một biến), đạo ánh (hàm hai biến),

    – đạo hàm riêng và cách tìm đạo ánh của hàm hai biến,

    – đạo hàm trái và phải (hàm một biến), đạo hàm theo hướng bất kỳ (hàm hai biến) và mối liên hệ với tính khả vi.

    Từ tính khả vi ta sẽ có

    – tính liên tục,

    – đạo hàm theo mọi hướng.

    Tuy nhiên điều ngược lại không đúng. Ví dụ tôi đưa ra

    f:\mathbb R^2\to \mathbb R

    f(x, y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^2+y^2} \; khi \; (x, y)\not=(0, 0), \\ 0 \; khi \; (x, y)=(0, 0)\end{cases}

    – có các đạo hàm riêng tại (0, 0),

    – không liên tục tại (0, 0) và cụ thể không liên tục theo bất kỳ hướng v=(v_1, v_2), v_1v_2\not=0, do đó không có đạo hàm theo các hướng này tại (0, 0),

    – không khả vi tại (0, 0).

    Chỉ cần sửa đôi chút ví dụ trên như sau.

    f:\mathbb R^2\to \mathbb R

    f(x, y)=\begin{cases}\dfrac{xy^2}{x^2+y^2} \; khi \; (x, y)\not=(0, 0), \\ 0 \; khi \; (x, y)=(0, 0)\end{cases}

    – có các đạo hàm theo mọi hướng v=(v_1, v_2)\not=(0, 0) tại (0, 0),

    \dfrac{\partial f}{\partial v}(0, 0)=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{t^3v_1v_2^2}{t^3(v_1^2+v_2^2)}=\dfrac{v_1v_2^2}{v_1^2+v_2^2},

    – liên tục tại (0, 0) dựa vào

    |xy^2|\le (x^2+y^2)^{3/2},

    – không khả vi tại (0, 0) vì không tồn tại giới hạn kép

    \lim\limits_{x\to 0\atop y\to 0}\dfrac{xy^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}.

    Lưu ý trong tính khả vi khi lấy giới hạn kép tại (x_0, y_0) ta cần cho (x, y) chạy theo mọi cách về (0, 0). Khi đó, trong quá trình dùng kẹp ta cần xem hàm kẹp có xác định quanh (x_0, y_0), không cần thiết xác định tại (x_0, y_0). Chẳng hàm

    \dfrac{x}{|x|}

    không xác định tại (0, y), y\not=0.

    Ngoài ra tôi đưa một số tính chất của đạo hàm và đạo ánh:

    + tuyến tính (cho cả hàm một biến và hai biến),

    + đạo hàm của thương (hàm một biến).

    Với hàm nhiều biến, đạo ánh của thương được tính nhờ đạo hàm riêng. Các bạn thử viết cụ thể?

    • Có vài câu hỏi:

      – liệu có hàm liên tục mà không có đạo hàm riêng?

      – liệu có hàm có đạo hàm mọi hướng mà không liên tục?

      – điều kiện gì để hàm có đạo hàm riêng là hàm khả vi?

  10. Hôm nay 18/11/2012, tôi trình bày các tính chất liên tục và khả vi của hàm hợp. Ngoài ra từ công thức đạo hàm hàm hợp tôi dẫn đến Định lý hàm ngược. Tôi cũng trình bày một số kết quả cơ bản:

    Định lý Fermat về cực trị,

    Định lý Rolle,

    Định lý Lagrange – Công thức số gia hữu hạn

    cho hàm một biến và nhiều biến.

    Lưu ý các Định lý trên không áp dụng được cho hàm véc-tơ.

    Tôi cũng cho hai bài kiểm tra ngắn.

    Bài kiểm tra 1:

    Chứng minh sự không tồn tại giới hạn của các giới hạn sau.

    \lim\limits_{x\to+\infty}\sin x,

    \lim\limits_{x\to 0_+}\sin(1/x).

    Bài kiểm tra 2:

    B1. Cho hàm f: \mathbb R\to \mathbb R xác định bởi

    f(x)=\begin{cases}x \; khi \; x\ge 0, \\ x^2 \; khi \; x<0.\end{cases}

    Tính các đạo hàm trái và phải f'_-(0), f'_+(0).

    B2. Cho hàm f: \mathbb R^2\to \mathbb R xác định bởi

    f(x)=\begin{cases}\frac{xy^2}{x^2+y^2} \; khi \; (x, y)\not=(0, 0), \\ 0 \; khi \; (x, y)=(0, 0).\end{cases}

    Tính đạo hàm theo hướng v\not=(0, 0) tại (0, 0).

    • Trong bài đầu của bài kiểm tra thứ hai nhiều bạn tính:

      f'(x)=1 khi x>0,

      f'(x)=2x khi x<0,

      rồi từ đó dẫn đến

      f'_+(0)=1, f'_-(0)=0.

      Cách tính này không đúng với yêu cầu tính đạo hàm trái và phải của f tại 0. Cách tính này cho ta giới hạn trái và giới hạn phải của đạo hàm f' tại 0. Các khái niệm này khác nhau. Một trong các điểm khác: để tính đạo hàm trái của f tại 0 ta cần biết f(0), còn tính giới hạn trái của đạo hàm f' tại 0 ta không cần đến f(0). Ta có cụ thể điều này qua các ví dụ.

      VD1. Xét f(x)=x khi x\not=0 và f(0)=1. Dễ thấy

      f không có đạo hàm trái tại 0 vì không có giới hạn

      \lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{x-1}{x},

      f' có giới hạn trái tại 0

      \lim\limits_{x\to 0^-} 1=1.

      VD2. Xét f(x)=0 khi x hữu tỷ và f(x)=x^2 khi x vô tỷ. Tính toán ta được

      f có đạo hàm trái tại 0 vì

      \lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=0,

      f không liên tục tại x\not=0 nên nó không khả vi tại đó, và không có giới hạn trái của đạo hàm tại 0.

      VD3. Xét f(x)=x^2\sin(1/x) khi x\not=0 và f(0)=0. Tính toán ta được

      f có đạo hàm trái tại 0

      \lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{x^2\sin(1/x)}{x}=0,

      khi x\not=0

      f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)

      không có giới hạn trái tại 0 (tại sao?).

      Trong VD1 hàm không liên tục tại 0, ở VD2 hàm không khả vi quanh 0, còn VD3 đạo hàm không có giới hạn trái tại 0. Khắc phục các yếu tố này dẫn đến kết quả sau.

      Nếu f:(-1, 1)\to \mathbb R thoả mãn

      liên tục trái tại 0,

      có đạo hàm f'(x) khi x<0,

      đạo hàm f' có giới hạn trái tại 0

      thì giới hạn trái của đạo hàm f' tại 0 chính là đạo hàm trái của f tại 0.

      Các bạn có thể tham khảo thêm bài

      https://bomongiaitich.wordpress.com/2013/04/09/gioi-han-cua-dao-ham-la-dao-ham/

  11. Hôm nay 25/11/2013 về cơ bản tôi đã trình bày xong phần phép tính vi phân hàm một biến. Chi tiết tôi đã trình bày:

    – các Định lý Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy với chú ý:

    + sử dụng Cauchy dẫn đến quy tắc L’Hopital,

    + dùng Lagrange dẫn đến khai triển Taylor,

    – đạo hàm và vi phân cấp cao:

    + cách tính: chú ý công thức Leibniz,

    + khai triển Taylor dạng Lagrange và dạng Peano: chú ý dạng Peano dùng để dẫn đến các VCB tương đương,

    – dùng khai triển Taylor vào việc tìm GTLN và GTNN trong hai trường hợp:

    + có đạo hàm cấp 1 không đổi dấu thì GTLN và GTNN đạt được trên biên,

    + có đạo hàm cấp 2 không đổi dấu có khái niệm hàm lồi (đạo hàm cấp 2 không âm) và hàm lõm (đạo hàm cấp 2 không dương): hàm lồi có GTLN đạt được trên biên, hàm lõm có GTNN đạt được trên biên.

    Phần hàm lồi các bạn tự đọc chi tiết.

    Sau đó tôi chuyển sang hàm hai biến với các kết quả:

    – nếu hàm hai biến có các đạo hàm riêng liên tục thì nó khả vi,

    – (Định lý Schwarz) nếu hàm hai biến có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục thì việc đổi thứ tự lấy đạo hàm riêng không thay đổi kết quả.

    Tiếp đến tôi trở lại việc tìm GTLN và GTNN của hàm hai biến, tôi cũng đưa ra các kết quả tương tự hàm một biến:

    + có các đạo hàm riêng cấp 1 không đổi dấu thì GTLN và GTNN đạt được trên biên,

    + tại điểm dừng có ma trận đạo ánh cấp 2 (ma trận Hessian) xác định dương thì điểm đó là điểm cực tiểu địa phương, xác định âm điểm đó là điểm cực đại địa phương.

    Với hàm hai biến cực trị trên biên có hai cách tiếp cận:

    + C1: giải điều kiện biên rồi đưa hàm đang xét về hàm một biến,

    + C2: (tôi đang trình bày dở) dùng nhân từ Lagrange.

  12. Hôm nay 02/12/2013 tôi đã kết thúc phần phép tính vi phân hàm nhiều biến với:

    + ví dụ cụ thể về việc tìm GTLN và GTNN của hàm nhiều biến trong hình tròn tính cả biên, công việc có hai phần

    + tìm các điểm dừng bên trong hình tròn, không tính các điểm trên đường tròn, dùng vi phân cấp 2 xác định cực đại hay cực tiểu hay điểm uốn,

    + tìm cực trị có điều kiện dựa vào nhân tử Lagrange rồi dùng vi phân cấp 2 xác định cực đại hay cực tiểu hay điểm uốn;

    + áp dụng phép tính vi phân viết phương trình tiếp tuyến của đường cong, mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong, véc-tơ tiếp tuyến và véc-tơ pháp tuyến của đường cong và mặt cong.

    Trước khi chuyển sang phần nguyên hàm tôi trình bày Định lý Darboux về tính chất của đạo hàm. Lưu ý:

    + đạo hàm của hàm khả vi chưa chắc liên tục mặc dù bản thân hàm đó liên tục,

    + không phải hàm nào cũng là đạo hàm của hàm khả vi.

    Khi đó không phải hàm nào cũng có nguyên hàm. Tiếp đến tôi trình bày về sự tồn tại vô số nguyên hàm, hai nguyên hàm sai khác nhau hằng số của một hàm. Lưu ý đạo hàm của một hàm bằng 0 không dẫn đến nó là hằng số!

    Cuối giờ tôi cho các bạn tính vài ví dụ cụ thể về việc tìm nguyên hàm.

  13. Hôm qua 09/12/2013, tôi quay trở lại phần phép tính vi phân với hai Định lý khó Định lý hàm ngược và Định lý hàm ẩn. Việc chứng minh các kết quả này là khó nhưng sử dụng chúng để tính các đạo hàm riêng của hàm ẩn và ngược lại khá dễ nắm bắt. Các bạn tham khảo thêm bài

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/04/01/phep-tinh-vi-phan-d%E1%BB%8Bnh-ly-ham-%E1%BA%A9n-ham-ng%C6%B0%E1%BB%A3c-c%E1%BB%B1c-tr%E1%BB%8B-co-di%E1%BB%81u-ki%E1%BB%87n/

    Sau đó tôi chuyển sang phần tính toán nguyên hàm của một phân thức hữu tỷ. Các bạn tự đọc một số kỹ thuật tính nguyên hàm của dạng có căn thức hay dạng lượng giác.

    Tiếp đến tôi xây dựng tích phân xác định. Về ký hiệu tích phân xác định và nguyên hàm, tích phân không xác định tương đối giống nhau chỉ khác nhau cận tích phân. Về bản chất hai khái niệm này hoàn toàn khác nhau. Chẳng hạn hàm đơn điệu gián đoạn khả tích, nghĩa là có tích phân xác định, nhưng nói chung không có nguyên hàm; ngược lại hàm 1/x không khả tích trên [0, 1] nhưng có nguyên hàm trên (0, 1). Tôi xây dựng tổng tích phân qua phân hoạch (tập điểm chia) và bộ điểm \xi tương thích rồi định nghĩa tính khả tích và tích phân xác định của một hàm. Một ví dụ tính toán cụ thể, tính tích phân \int\limits_0^1 xdx, dùng hoàn toàn bằng định nghĩa cũng đã được trình bày. Ngoài tính bị chặn của miền lấy tích phân, điều kiện cần để hàm khả tích là hàm bị chặn. Với hàm bị chặn tôi xây dựng các tổng Darboux trên và dưới rồi đưa ra các tính chất. Đặc biệt tôi dẫn đến điều kiện cần và đủ để một hàm bị chặn là khả tích dựa vào tổng Darboux trên và dưới. Một số tính chất khác cũng được đưa ra. Tôi cũng quay trở lại ví dụ hàm Dirichlet là hàm không có nguyên hàm và nó cũng không khả tích.

  14. Hôm nay 16/12/2013, tôi tiếp tục phần tích phân xác định với việc chỉ ra các hàm đơn điệu, hàm liên tục trên đoạn [a, b] là các hàm khả tích nhờ điều kiện cần và đủ. Sau đó tôi chứng minh kết quả quan trọng:

    – mối liên hệ giữa nguyên hàm (tích phân không xác định) và tích phân xác định của một hàm liên tục.

    Để chứng minh kết quả này tôi cần đến:

    – Định lý trung bình của tích phân xác định.

    Tôi cũng chứng minh Định lý trung bình bằng cách dùng tính bảo toàn thứ tự của tích phân. Một vài lưu ý:

    – tích phân xác định của hàm không âm có giá trị không âm,

    – tích phân xác định của hàm dương có giá trị dương.

    Lưu ý đầu giống với giới hạn còn lưu ý sau khác giới hạn.

    Tôi cũng đề cập đến tính khả tích của trị tuyệt đối của hàm khi hàm đó khả tích và đưa ra ví dụ để thấy rằng điều ngược lại không đúng.

    Tôi cũng phát biểu Định lý trung bình mở rộng với tính không đổi dấu là cần thiết (ban đầu tôi nhầm tính đơn điệu nhưng nhờ có ví dụ tôi đã phát hiện mình nhầm).

    Tiếp đến tôi chuyển sang tích phân suy rộng và đưa ra các ví dụ tính toán của tích phân suy rộng loại I. Ngoài ra tôi còn đưa ra tiêu chuẩn Cauchy cũng như dấu hiệu so sánh. Một điểm khác so với tích phân xác định:

    – hàm khả tích thì trị tuyệt đối của nó khả tích, điều ngược lại sai.

    – tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối thì tích phân suy rộng hội tụ, điều ngược lại sai.

    Ngoài ra tôi cũng cho bài kiểm tra ngắn:

    Tính các đạo hàm riêng cấp 1 và 2 của hàm z=z(x, y) tại điểm x=y=z=1 biết

    x^2+y^2-z^2=1.

    Tôi cũng đã đưa cho lớp trưởng nội dung chính của thi cuối kỳ. Thứ Tư tới các bạn có thể hỏi các vấn đề này.

  15. Hôm nay 18/12/2013 tôi kết thúc 15 buổi dạy lý thuyết môn Giải tích I với phần tích phân suy rộng. Tôi dùng tiêu chuẩn Cauchy để chứng minh một ví dụ cụ thể

    – tích phân suy rộng \int\limits_1^\infty \dfrac{\sin x}{x}dx hội tụ,

    – tích phân suy rộng \int\limits_1^\infty \Big|\dfrac{\sin x}{x}\Big|dx phân kỳ.

    Tôi cũng đưa ra dấu hiệu so sánh cho tích phân suy rộng của hàm không âm. Dấu hiệu so sánh chỉ phát huy tác dụng khi nó có các “vật chuẩn”. Tôi cũng đưa ra vật chuẩn với các tính toán chi tiết

    – tích phân suy rộng \int\limits_1^\infty x^\alpha dx

    + hội tụ khi \alpha<-1,

    + phân kỳ khi \alpha\ge -1;

    – tích phân suy rộng \int\limits_0^1 x^\alpha dx

    + hội tụ khi \alpha>-1,

    + phân kỳ khi \alpha\le -1.

    Sau đó tôi có dành thời gian trao đổi về nội dung thi cuối kỳ. Rất tiếc các bạn mới chỉ hỏi về

    – tính liên tục của hàm hai biến,

    – tính khả vi của hàm hai biến.

    Tôi đã chỉ ra vài cách để chỉ ra:

    – sự không liên tục tại một điểm,

    – sự không khả vi tại một điểm

    một cách lý thuyết.

    Hy vọng các bạn có thể trao đổi tiếp được qua trang web này.

  16. Pingback: Trao đổi bài giảng Giải tích 1 lớp K59A3 | Giải tích

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s