1/f là gì?

Standard

Cho một hàm số f: I \to\mathbb C, trong đó I là tập các số thực hay phức. Nếu f(x)\not=0 với mọi x\in I thì ta định nghĩa được hàm

1/f: I\to \mathbb C xác định bởi

(1/f)(x)=\dfrac{1}{f(x)}.

Điều này làm được nhờ \mathbb C là một trường. Tuy nhiên dưới đây tôi không đi sâu vào khía cạnh này. Tôi sẽ tìm hiểu xem khi f có tính chất “giải tích” nào đó, chẳng hạn liên tục, đo được, .v.v., thì 1/f cũng có tính chất “giải tích” đó hay không?

Một số tính chất đơn giản:

+) Nếu x_0 là điểm tụ của If có giới hạn hữu hạn và khác 0 tại x_0 thì 1/f cũng vậy. Hơn nữa ta có

\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{1}{\lim\limits_{x\to x_0} f(x_0)}.

Có hai trường hợp có “giới hạn” chưa xét như sau.

f có giới hạn ra vô cùng thì 1/f có giới hạn bằng 0. Trường hợp này có thể chỉ cần |f| có giới hạn ra vô cùng. Lưu ý điều kiện sau nhẹ hơn nhiều so với điều kiện trước, chẳng hạn xét ví dụ I=(0, 1), x_0=0f(x)=\dfrac{\sin(1/x)}{x}.

f có giới hạn bằng 0, nói chung chưa thể nói gì về 1/f. Bạn đọc thử tìm ví dụ không có giới hạn 1/f? Thử xem khi nào thì 1/f có “giới hạn”?

+) Nếu f không có “giới hạn” (cả hữu hạn và vô hạn) tại x_0, nghĩa là sẽ có hai dãy \{x_k\}_{k=1}^\infty, \{y_k\}_{k=1}^\infty mà hai dãy \{f(x_k)\}_{k=1}^\infty, \{f(y_k)\}_{k=1}^\infty hội tụ đến hai “giới hạn” khác nhau, thì 1/f cũng thế.

+) Nếu f là hàm liên tục trên I thì 1/f cũng liên tục trên I. Có điều này ta cần kiểm tra tính liên tục tại hai trường hợp:

– điểm x_0 là điểm cô lập,

– điểm x_0 là điểm tụ.

Bạn đọc thử xem khi không liên tục thì như nào? Một số tính chất khác: liên tục đều, liên tục tuyệt đối, biến phân bị chặn, đơn điệu, đo được, khả tích có điều gì xảy ra?

+) Nếu x_0 là điểm trong của tập If khả vi tại x_0 thì 1/f cũng khả vi tại x_0. Hơn nữa, ta có

(1/f)'(x_0)=-\dfrac{f'(x_0)}{f^2(x_0)}.

Từ đó, nếu I là tập mở và f khả vi trên I thì 1/f cũng khả vi trên I. Tiếp tục như vậy ta có nếu f khả vi vô hạn trên I thì 1/f khả vi vô hạn trên I.

Đến đây ta có thể nói đến tính giải tích. Trường hợp I là một tập mở trong mặt phẳng phức và f khả vi trong I sẽ dẫn đến f là hàm giải tích trên I1/f cũng vậy. Điều này có được nhờ hệ phương trình Cauchy-Riemann! Trong trường hợp I là tập mở trên đường thẳng thực có vẻ khó khăn hơn một chút. Câu hỏi của bạn “dũng” trong bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2013/02/09/ham-giai-tich/#comment-2491

về khai triển Maclaurin của f(x)=\dfrac{x}{e^x-1} là một trong những nguồn cảm hứng để tôi viết bài này!

Chú ý với hàm biến phức: từ tính khả vi sẽ dẫn đến tính giải tích, nghĩa là (một cách nôm na) khai triển Taylor sẽ hội tụ đến hàm. Với hàm biến thực, các bạn có thể thấy sự khác biệt khi xét hàm f(x)=e^{-x^{-2}} khi x\not=0f(0)=0. Với hàm biến thực khả vi vô hạn chưa đủ, ta cần đến tính giải tích thực. Để đơn giản xét I=(-1, 1). Khi đó f được gọi là giải tích tại điểm x_0=0 nếu nó khả vi vô hạn tại điểm x_0=0 và khai triển Taylor

\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n

hội tụ đến f(x) trong một lân cận (-\epsilon, \epsilon) với \epsilon>0 nào đó.

Nếu f giải tích tại điểm x_0=0 thì ta cũng có 1/f cũng giải tích tại x_0=0. Hơn nữa, nếu hàm f có khai triển Taylor

\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n,

với a_0=f(0)\not=0, hội tụ đến f(x) trong (-\epsilon, \epsilon)

thì

\sup_{n\in\mathbb Z_+}\dfrac{|a_n|}{R^n}=C_R\in(|a_0|, +\infty), \forall R\in(0, \epsilon).

Khi đó khai triển Taylor của 1/f

\sum\limits_{n=0}^\infty b_nx^n,

với b_0=\dfrac{1}{f(0)}, hội tụ đến (1/f)(x) trong (-\frac{R}{C_R+1}, \frac{R}{C_R+1}) với mỗi R\in(0, \epsilon).

Chi tiết các bạn xem cuốn “A Primer of Real Analytic Functions” của Steven G. Krantz, Harold R. Parks.

Đường link

http://www.libgen.net/view.php?id=441481

Câu hỏi: liệu bán kính hội tụ của chuỗi

\sum\limits_{n=0}^\infty b_nx^n

có phải \sup_{R\in(0, \epsilon)}\dfrac{R}{C_R+1} hay \epsilon?

Các bạn có thể dùng hàm f(x)=\dfrac{1}{1+x^2} làm mẫu.

Từ đây nếu f giải tích trên I thì 1/f cũng giải tích trên I.

+) Quay trở lại hàm giải tích phức, để đơn giản ta xét I=D là đĩa đơn vị mở trong mặt phẳng phức và f là hàm giải tích trên D. Khi đó, như trên ta có 1/f cũng giải tích trên D. Tuy nhiên nếu f\in H^p, 0<p\le \infty chưa chắc 1/f\in H^p. Chẳng hạn các bạn xét hàm f(z)=z^2+1. Ví dụ này cho thấy dáng điệu của hàm f ở gần đường tròn đơn vị sẽ giúp ta trả lời câu hỏi

với f\in H^p nào thì 1/f\in H^p?

Bài “Chuỗi lũy thừa tại mút”
https://bomongiaitich.wordpress.com/2013/09/09/chuoi-luy-thua-tai-mut/

nói rằng hàm f\in H^p, 0<p\le \infty, có giới hạn không tiếp xúc tại hầu hết các điểm trên đường tròn đơn vị. Khi đó, ta xác định được hàm giá trị biên f(e^{i\theta})\in L^p(0, 2\pi). Khi p>1 từ hàm giá trị biên f(e^{i\theta})\in L^p(0, 2\pi) ta sẽ dựng lại được một cách duy nhất hàm f\in H^p. Do đó câu hỏi

khi nào f\in H^p1/f\in H^p

chuyển thành câu hỏi

khi nào f(e^{i\theta})\in L^p(0, 2\pi)(1/f)(e^{i\theta})\in L^p(0, 2\pi)?

Câu hỏi này dẫn ta đến Định lý Wiener như sau.

Nếu f(e^{i\theta}) là hàm liên tục khác 0 tại mọi điểm và có hệ số Fourier

\{c_n\}_{n\in\mathbb Z}\in \ell_1(\mathbb Z)

thì (1/f)(e^{i\theta}) cũng là hàm liên tục và có hệ số Fourier

\{d_n\}_{n\in\mathbb Z}\in\ell_1(\mathbb Z).

Nói cách khác f(e^{i\theta})\in \mathbb A, không gian các hàm có chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối, không bằng 0 tại bất kỳ đâu thì (1/f)(e^{i\theta})\in \mathbb A.

Các bạn có thể xem một trong các chứng minh của Định lý thú vị của N. Wiener ở bài

http://www.ams.org/journals/proc/1975-048-01/S0002-9939-1975-0365002-8/S0002-9939-1975-0365002-8.pdf

Định lý Wiener mở ra lý thuyết Gelfand với chứng minh của I. M. Gelfand, các bạn có thể xem

wiener1

Tuy nhiên câu hỏi ban đầu vẫn chưa được giải quyết? Để ý nếu f(e^{i\theta})\in \mathbb A thì f\in H^\infty. Đến đây ta sẽ gặp một định lý thú vị khác của L. Carleson: Định lý corona, các bạn xem

http://en.wikipedia.org/wiki/Corona_theorem
Trường hợp đơn giản của Định lý corona chính là

Với f\in H^\infty khác 0 tại mọi điểm trong đĩa đơn vị. Điều kiện cần và đủ để

1/f\in H^\infty

\sup_{|z|}|f(z)|\ge\epsilon>0.

One response »

  1. Các bạn có thể tham khảo thêm về Định lý corona trong bài

    http://people.math.gatech.edu/~bwick6/talks/AMSSectional_2011.pdf

    Một kết quả thú vị của L. Hormander về Định lý corona trong bài

    http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183529116

    được E. K. Petersen & G. H. Meisters sử dụng để dẫn đến mối liên hệ giữa số Liouville và vành các hàm nguyên dưới đa thức mũ. Các bạn có thể tìm hiểu điều này trong bài

    http://datuan5pdes.wordpress.com/2011/11/02/s%E1%BB%91-khong-liouville-hai-tinh-ch%E1%BA%A5t-thu-v%E1%BB%8B/

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s