Số Euler e và số pi

Standard

Số \pi xuất hiện khi ta đo chu vi của đường tròn đơn vị. Số \pi xuất hiện khá sớm (khoảng 2589–2566 BC), còn số Euler e xuất hiện muộn hơn (được công bố đầu tiên trong công trình của John Napier vào năm 1618). Khác với cách xuất hiện số \pi, số e xuất hiện khi Jacob Bernoulli nghiên cứu giới hạn

\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n.

Nhìn vào giới hạn này mọi người có thể nghĩ rằng số e có nguồn gốc toán học. Kỳ thực nguồn gốc của giới hạn trên là bài toán ngân hàng về việc tính lãi. Một người vay ngân hàng 100 đồng với tổng lãi một năm là 100%, nghĩa là

+ nếu người đó trả một lần vào cuối năm thì tổng tiền cả lãi một năm phải trả

100\times 100\%=100 đồng;

+ nếu người đó trả hai lần thì sau mỗi sáu tháng phải trả lãi 50\%, tổng tiền cả lãi một năm phải trả

100\times(1+1/2)\times(1+1/2)=100\times(1+1/2)^2 đồng;

(chú ý từ lần hai sẽ có chuyện “lãi mẹ đẻ lãi con”)

+ nếu người đó trả bốn lần thì sau mỗi quý phải trả lãi 25\%, tổng tiền cả lãi một năm phải trả

100\times(1+1/4)^4 đồng;

+ nếu người đó trả mười hai lần thì sau mỗi tháng phải trả lãi (100/12)\%, tổng tiền cả lãi một năm phải trả

100\times(1+1/12)^{12} đồng;

+ nếu người đó trả hàng ngày thì mỗi ngày phải trả lãi (100/365)\%, tổng tiền cả lãi một năm phải trả

100\times(1+1/365)^{365} đồng.

Cứ thế, nếu người đó trả lãi hàng giờ, hàng phút, hàng giây thì sẽ xuất hiện giới hạn

\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n.

Xuất phát ở những thời điểm khác nhau, tình huống khác nhau nhưng số \pi và số e có cùng tính chất là: vô tỷ và siêu việt.

Câu chuyện sau hay xảy ra với sinh viên khi không nhận ra được \pi là số vô tỷ. Khi chứng minh dãy \{\sin n\}_{n=1}^\infty không hội tụ các bạn sinh viên chỉ ra hai “dãy con”

+) n=2k\pi, k=1, 2, \dots,

\sin(2k\pi)=0\to 0 khi k\to\infty,

+) n=2k\pi+\pi/2, k=1, 2, \dots,

\sin(2k\pi+\pi/2)=1\to 1 khi k\to\infty.

Từ đó dẫn đến dãy có hai giới hạn riêng khác nhau nên dãy ban đầu không hội tụ. Các lý luận có vẻ đúng nhưng chú ý

n, k là các số tự nhiên nên không thể có

n=2k\pi.

Do đó dãy \{\sin(2k\pi)\}_{k=1}^\infty không phải là dãy con của dãy \{\sin n\}_{n=1}^\infty!

Có khá nhiều cách để chỉ ra \pi là số vô tỷ. Các bạn có thể tham khảo

http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational

Dưới đây tôi nói gọn cách chứng minh của Ivan Niven đưa ra năm 1946. Giả sử \pi=a/b với a, b là các số tự nhiên. I. Niven xét hai đa thức

f(x)=\dfrac{x^n(a-bx)^n}{n!},

F(x)=\sum\limits_{j=0}^n(-1)^jf^{(j)}(x),

với n là số tự nhiên xác định sau.

+) F(0)+F(\pi) là số nguyên,

+) \int\limits_0^\pi f(x)\sin xdx= F(0)+F(\pi),

+) 0\le f(x)\sin x\le \dfrac{\pi^n a^n}{n!}<1 (khi n đủ lớn).

Từ đó dẫn đến điều vô lý: có một số nguyên nằm trong khoảng (0, 1).

Việc chứng minh số e là số vô tỷ có phần dễ hơn dựa vào biểu diễn sau

e=1+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n!}.

Nếu e=\dfrac{p}{q}, với p, q là các số nguyên dương. Khi đó

q! e= A+\sum\limits_{n=q+1}^\infty\dfrac{q!}{n!}

là một số tự nhiên, trong đó

A=q!(1+\sum\limits_{n=1}^q\dfrac{1}{n!})

cũng là số tự nhiên.

Tuy nhiên

0<\sum\limits_{n=q+1}^\infty\dfrac{q!}{n!}<1.

Do đó ta cũng có điều vô lý: có một số tự nhiên nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp!

Việc chứng minh các số \pi, e là siêu việt khó khăn hơn rất nhiều! Các bạn có thể tham khảo

http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_transcendental#Transcendence_of_e_and_.CF.80

Dưới đây tôi trình bày sơ qua chứng minh số e là số siêu việt của David Hibert (đơn giản hóa chứng minh của Charles Hermite). Giả sử có các số nguyên c_0, c_1, \dots, c_n với c_0, c_n\not=0 sao cho

\sum\limits_{j=0}^n c_je^j=0.

Với mỗi số tự nhiên k xét đa thức

f_k(x)=x^k[(x-1)(x-2)\dots(x-n)]^k.

Khi đó

\sum\limits_{j=0}^nc_je^j\int\limits_0^\infty f_k(x)e^{-x}dx=0.

Ta phân tích tổng trên thành hai phần

A=\sum\limits_{j=0}^n c_je^j\int\limits_j^\infty f_k(x)e^{-x}dx,

B=\sum\limits_{j=1}^n c_je^j\int\limits_0^j f_k(x)e^{-x}dx.

Có vô số số tự nhiên k để

\dfrac{A}{k!} là số nguyên khác 0.

Lại có

\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{B}{k!}=0.

Từ đó dẫn đến điều vô lý: có một dãy các số nguyên khác 0 hội tụ đến 0. (Tại sao vô lý?)

Việc chứng minh số \pi là số siêu việt dựa vào Định lý Lindemann–Weierstrass như sau.

Cho a_1, \dots, a_n là các số đại số khác 0\alpha_1, \dots, \alpha_n là các số đại số đôi một khác nhau. Khi đó

\sum\limits_{j=1}^n a_je^{\alpha_j}\not=0.

Chú ý, từ công thức Euler có 1+e^{\pi i}=0 ta có:

nếu \pi là số đại số thì chọn a_1=a_2=1, \alpha_1=0, \alpha_2=\pi i sẽ dẫn đến điều mâu thuẫn với Định lý Lindemann–Weierstrass.

Từ Định lý Lindemann–Weierstrass cũng dễ dàng dẫn đến e là số siêu việt. (Bạn đọc thử nghĩ một chút xem?) Ngoài ra nó cũng dẫn đến kết quả đường thẳng thực \mathbb R là không gian vô hạn chiều trên trường số hữu tỷ \mathbb Q. (Kết quả này tôi biết từ năm thứ nhất 1998, đến giờ mới biết chứng minh rõ ràng của nó!)

Về số \pi các bạn có thể tham khảo thêm

http://en.wikipedia.org/wiki/Pi

Về số e các bạn có thể xem thêm

http://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)

2 responses »

  1. Em thưa thày,

    Em biết một cách ngắn gọn để chứng minh R là một Q không gian vector vô hạn chiều đó là chứng minh tập hợp {log p| p nguyên tố} là độc lập tuyến tính trên Q. Chứng minh dựa vào tính phân tích duy nhất trên tập số nguyên. Đây là một bài trong thi cuối kì của bọn em hồi năm nhất.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s